Основы бортовых вычислительных машин
 Скачать 3.2 Mb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО ОБОРОНЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ставропольское высшее военное авиационное инженерное училище (военный институт) имени маршала авиации В.А. Судца А.В. Баженов ОСНОВЫ БОРТОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН Учебное пособие Рекомендовано государственным образовательным учреждением высшего профессионального образования «Военно- воздушной академией имени Ю.А. Гагарина» в качестве учебного пособия для курсантов Ставропольского высшего военного авиационного инженерного училища (военного института) имени маршала авиации В.А. Судца, обучающихся по специальности «Техническая эксплуатация транспортного радиооборудования» Ставрополь Издание училища 2008 ББК 32.97 Баженов , А.В. ОСНОВЫ БОРТОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН/ Учебное пособие с грифом УМО. [Текст]/ А.В. Баженов- 2-е изд., перераб. – Ставрополь: СВВАИУ (ВИ) , 2008. – 338 с. Учебное пособие написано в соответствии с учебным планом дисциплин «Основы бортовых вычислительных машин» специальностей 160905.65 «Техническая эксплуатация транспортного радиооборудования». В нем изложены математические основы построения и функционирования бортовых вычислительных машин. Приведены примеры реализации теоретических положений в современных и перспективных бортовых ЦВМ летательных аппаратов. Второе издание дополнено контрольными вопросами и заданиями для самостоятельной работы обучаемых. Кроме этого добавлена глава «Технические средства цифровой обработки сигналов», в которой изложены основы теории цифровой обработки информации и их реализация в бортовом РЭО на современной элементной базе: микроконтроллерах и цифровых сигнальных процессорах. 3 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………. 8 Раздел 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ……………………………………… 10 Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ БОРТОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН …………………….. 10 1.1 Позиционные системы счисления и их основные свойства 10 1.1.1 Основные сведения о системах счисления ……….......... 10 1.1.2 Двоичная система счисления……………………………. 13 1.1.3 Двоично-десятичная система счисления…………........... 14 1.1.4 Системы счисления по основанию 2 n …………………… 15 1.2 Арифметические действия в позиционных системах счис- ления и перевод чисел из одной системы счисления в другую …… 16 1.2.1 Арифметические действия в двоичной системе счисле- ния …………………………………………………………………….. 16 1.2.2 Сложение и умножение чисел по модулю ……………… 19 1.2.3 Перевод чисел из одной системы счисления в другую 19 1.2.4 Понятие о системах счисления в остаточных классах 22 1.3 Машинные двоичные коды и действия с ними ……………. 26 1.3.1 Формы представления чисел ……………………………. 26 1.3.2 Машинные двоичные коды ……………………………… 27 1.3.3 Арифметические действия в кодах ………………........... 29 1.4 Общие сведения о функциях алгебры логики …………….. 37 1.4.1 Функции и операции …………………………………… 37 1.4.2 Основные законы и правила алгебры логики …………. 42 1.4.3 Алгебры Жегалкина, Шеффера и Пирса ………………. 44 1.4.4 Элементарные конъюнкции и дизъюнкции …………… 46 1.5 Переключательные функции и их минимизация …………. 48 1.5.1 Канонические формы функций ………………………… 48 1.5.2 Общие понятия о минимизации переключательных функций ……………………………………………………………… 51 1.5.3 Минимизация переключательных функций посредством диаграмм Вейча ……………………………………………………… 54 1.5.4 Минимизация неполностью определенных переключательных функций и представленных в форме СКНФ … 57 Глава 2. СХЕМОТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ БОРТОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН ……………………. 60 2.1 Синтез цифровых автоматов ……………………………….. 60 2.1.1 Основные понятия из теории автоматов ………………. 62 2.1.2 Этапы синтеза схем автоматов …………………………. 66 4 2.1.3 Функционально полные системы логических функций .. 68 2.1.4 Техническая реализация переключательных функций .. 72 2.2 Особенности синтеза цифровых автоматов с памятью …… 74 2.2.1 Общие сведения о триггере как элементе памяти .......... 74 2.2.2 Триггеры с одним информационным входом и законы их функционирования ………………………………………………. 76 2.2.3 Триггеры с двумя информационными входами ….......... 79 2.3 Переходные процессы в цифровых автоматах …………..... 83 2.3.1 Анализ переходных процессов в комбинационных схемах ……………………………………………………………… 83 2.3.2 Синтез логических схем с учетом риска сбоя …………. 85 2.3.3 Проблемы гонок в цифровых автоматах с памятью…… 86 Глава 3. ЭЛЕМЕНТНАЯ БАЗА ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВ …. 90 3.1 Дешифраторы, шифраторы, схемы сравнения …………… 90 3.1.1 Дешифраторы одноступенчатого и многоступенчатого типов ………………………………………………………………….. 90 3.1.2 Преобразователи кодов, шифраторы …………………… 94 3.1.3 Многоразрядные схемы сравнения ……………….......... 97 3.2 Цифровые коммутаторы ……………………………………. 99 3.2.1 Мультиплексоры ………………………………………… 99 3.2.2 Демультиплексоры ……………………………………… 101 3.2.3 Синтез комбинационных схем на мультиплексорах 103 3.3 Регистры ……………………………………………………… 107 3.3.1 Общие сведения о регистрах ……………………………. 107 3.3.2 Регистры параллельного действия ……………………… 109 3.3.3 Регистры последовательного действия ………………… 111 3.4 Счетчики …………………………………………………… 113 3.4.1 Общие сведения о счетчиках ……………………………. 113 3.4.2 Суммирующий счетчик …………………………………. 114 3.4.3 Вычитающий и реверсивный счетчики ………………… 117 3.4.4 Счетчик с заданным коэффициентом пересчета ……… 119 3.5 Комбинационные сумматоры ……………………………..... 121 3.5.1 Одноразрядный комбинационный сумматор …….......... 121 3.5.2 Многоразрядный комбинационный сумматор последовательного действия ………………………………………… 124 3.5.3 Многоразрядный параллельный сумматор ………... 125 3.5.4 Способы ускорения переноса в сумматорах ………. 127 Раздел 2. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ И ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ БОРТОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН ……………………………………………………………… 129 5 Глава 4. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О НАЗНАЧЕНИИ И ПРИНЦИПАХ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ БОРТОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН …………………………………… 129 4.1 Назначение, характеристики и классификация БВМ ……… 129 4.1.1 Роль и место БВМ в составе авиационного радиоэлектронного комплекса ………………………………… 129 4.1.2 Классификация БВМ ……………………………………. 133 4.2 Структура и принцип работы аналоговых БВМ …………... 133 4.3 Состав и принципы работы цифровой БВМ ………………. 136 4.3.1 Принцип программного управления БЦВМ…………… 136 4.3.2 Структура и порядок функционирования цифровых БВМ …………………………………………………………………… 138 4.3.3 Основные характеристики БВМ ………………….......... 141 4.3.4 Форматы представления команд и чисел в БЦВМ …….. 143 4.4 Особенности программирования в кодах команд БВМ …… 146 4.5 Общие сведения о системе команд БВМ ………………… 151 Глава 5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА БОРТОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН …………………………………… 154 5.1 Устройства памяти БЦВМ …………………………………. 154 5.1.1 Назначение, основные характеристики и классификация запоминающих устройств ………………………… 154 5.1.2 Оперативные запоминающие устройства ……………… 157 5.1.3 Постоянные запоминающие устройства …………......... 161 5.1.4 Внешние запоминающие устройства ………………….. 164 5.1.5 Способы организации памяти …………………………. 165 5.1.6 Виды адресации и способы их реализации в БЦВМ…… 171 5.2 Процессоры БВМ ……………………………………………. 178 5.2.1 Основные сведения о процессорах БВМ ………….. 178 5.2.2 Классификация и основные характеристики арифметико-логических устройств ………………………………… 180 5.2.3 Выполнение арифметических и логических операций в арифметико-логическом устройстве ……………………………….. 181 5.2.4 Устройства управления со схемной организацией ……. 184 5.2.5 Микропрограммный принцип управления …………….. 189 5.2.6 Микропроцессоры и их программирование ………….... 193 5.3 Интерфейсные устройства БВМ ……………………………. 198 5.3.1 Назначение, классификация и основные характеристики интерфейсов …………………………………………………………. 198 5.3.2 Режимы работы БВМ при взаимодействии с внешними устройствами …………………………………………... 203 6 5.3.3 Особенности организации информационного обмена по прерываниям ………………………………………... 204 5.3.4 Аналого-цифровые и цифроаналоговые преобразователи сигналов ………………………………………….. 212 5.3.5 Микропроцессорные средства информационного обмена ………………………………………………………………... 225 Глава 6. ОСОБЕННОСТИ ЭКСПЛУАТАЦИИ БОРТОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН …………………………………. 229 6.1 Основное содержание и этапы эксплуатации БВМ ……….. 229 6.2 Программные методы контроля работоспособности БВМ .. 229 6.3 Помехоустойчивое кодирование сигналов и его применение для схемного контроля БВМ …………………………. 236 6.3.1 Общие сведения об избыточном кодировании сигналов 236 6.3.2 Коды, контролирующие ошибки ………………….......... 240 6.3.3 Коды, исправляющие ошибки …………………………. 242 6.3.4 Каскадные коды ……………………………………. ….. 246 Глава 7. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О БОРТОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ………………………………. 249 7.1 Краткая характеристика бортовых вычислительных систем и их классификация ………………………………………….. 249 7.2 Особенности функционирования БЦВС авиационных радиоэлектронных комплексов …………………………………...... 257 7.2.1 Программное обеспечение БЦВС АРЭК ………………. 257 7.2.2 Выполнение программ, жестко связанных с временной диаграммой ……………………………………………… 260 7.2.3 Выполнение программ по асинхронным заявкам ......... 262 7.3 Надежность бортовых вычислительных систем ………….. 267 7.4 Повышение живучести системы за счет автоматической реконфигурации ……………………………………………………… 270 Глава 8. ТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ …………………………………………. 275 8.1 Общие принципы технической реализации алгоритмов цифровой обработки…………………………………………............. 275 8.2 Применение однокристальных микроконтроллеров для цифровой обработки сигналов………………………………………. 279 8.2.1 RISC – архитектура современных микроконтроллеров .. 284 8.3 Программируемые процессоры цифровой обработки сигналов …………………………………………………………......... 291 8.3.1 Основные операции обработки сигналов в цифровых системах и их влияние на структуру сигнального процессора ........ 291 8.3.2. Обобщенная архитектура DSP…………………………… 292 7 8.4 Процессоры семейства DSP56000………………………….. 295 8.4.1. Обзор архитектуры и шинной организации DSP56000 295 8.4.2 Порты ввода/вывода……………………………………… 319 8.5 Специализированная цифровая вычислительная машина «Багет-55» …………………………………………………………… 324 ЗАКЛЮЧЕНИЕ. ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ БОРТОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН И СИСТЕМ …………………….. 333 ЛИТЕРАТУРА 337 8 ВВЕДЕНИЕ Любая форма человеческой деятельности, функционирование любой из организованных систем (как искусственных, так и естест- венных) немыслимы без обработки информации. Понятие информа- ция, в этом случае, означает совокупность данных, сведений подле- жащих хранению, обработке и передаче. Для управления современным самолетом и его вооружением ис- пользуется разнообразная и в большинстве случаев быстроизменяю- щаяся информация. Возможности летчика-оператора по ее правиль- ному восприятию и переработке ограничены, особенно в условиях дефицита времени, присущего боевым режимам. Все возрастающие объемы информации при ограниченном вре- мени ее переработки обуславливают широкое внедрение средств ав- томатизированной обработки, основным элементом которых являют- ся бортовые вычислительные машины (БВМ). В зависимости от формы представления информации БВМ де- лятся на два класса: аналоговые и цифровые (дискретные). В настоя- щее время все более широкое применение в авиационном радиоэлек- тронном оборудовании (РЭО) (в системах связи, радиолокации, при обработке речевых сигналов, изображений и др.) находят цифровые ЭВМ, имеющие по сравнению с аналоговыми ряд преимуществ, таких как: более высокая надежность; стабильность параметров при воздей- ствии дестабилизирующих факторов; высокая точность обработки информации; значительное сокращение трудоемкости и упрощение операций регулировки и настройки; возможность создания микро- схем с очень высокой степенью интеграции. Успехи в области разработки быстродействующих элементов цифровой техники позволили создать бортовые ЦВМ, выполняющие десятки миллионов арифметических операций в секунду. Принципиально новые возможности открывает применение цифровых интегральных схем в радиосвязи. Так, использование циф- ровых синтезаторов частоты позволило существенно снизить аппара- турные затраты и повысить фазовую стабильность генерируемых сиг- налов. Обработка сигналов цифровыми методами позволяет обеспе- чить высокую точность, стабильность параметров и получить харак- теристики, не достижимые аналоговыми методами. В частности, обеспечение очень высокой прямоугольности амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) фильтра на аналоговых элементах практически 9 невозможно. Цифровые же фильтры позволяют реализовать произ- вольную форму АЧХ, в том числе и сколь угодно близкую к прямо- угольной. Цифровая схемотехника интенсивно внедряется и в радиопри- емную аппаратуру, главным образом в системы управления. В част- ности, беспоисковая настройка приемника на любую из принимаемых частот осуществляется набором на пульте управления соответствую- щего кода, предварительно занесенного в устройство памяти. Исполь- зуя электронные таймеры, также выполняемые на цифровых инте- гральных микросхемах, можно обеспечить последовательную пере- стройку радиостанции по любой заранее заданной программе. При этом указанная программа может долговременно храниться в памяти и при отключенном питании. Возможно также управление режимом работы приемника (коэффициентом усиления, полосой пропускания, диаграммой направленности антенны и т.п.). Является перспективным внедрение цифровой техники и в опти- ко-локационные и телевизионные системы. Цифровое телевидение позволяет повысить качество передачи сигналов благодаря сущест- венному уменьшению накопления искажений в цифровых линиях связи по сравнению с аналоговыми, а также за счет применения спе- циальных способов кодирования, обнаруживающих и исправляющих ошибки передачи информации. Сигналы представленные в цифровой форме, практически не подвержены амплитудным и фазовым искаже- ниям, что позволяет передавать телевизионную информацию на большие расстояния с сохранением ее высокого качества. В результа- те использования методов и устройств цифровой техники становится возможным длительный бесподстроечный режим работы. С помощью цифровых устройств обеспечивается кодирование сигналов командных радиолиний управления, что обеспечивает высо- кую помехозащищенность и скрытность передаваемых сообщений. Широкое применение средств цифровой вычислительной техни- ки в бортовых радиоэлектронных комплексах позволяет значительно повысить боевую эффективность современных и перспективных са- молетов, а также безопасность полетов. Однако это предъявляет вы- сокие требования к уровню подготовки авиационных радиоинжене- ров в области цифровой вычислительной техники. Дать основы такой подготовки ставит своей целью дисциплина «Основы бортовых вы- числительных машин». 10 Раздел 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ БОРТОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН 1.1 Позиционные системы счисления и их основные свойства 1.1.1 Основные сведения о системах счисления Цифровые сигналы, с которыми работают цифровые вычисли- тельные машины, представляют собой числа или цифры некоторой системы счисления. Происхождение чисел и способов счета связано с практическими потребностями людей в измерении различных вели- чин. Числом выражают отношение между измеряемой величиной и величиной, принятой за единицу измерения. Число является отвле- ченным, абстрактным выражением количества. Для пользования чис- лами их необходимо свести в определенную систему, условиться о названиях чисел и способах их обозначения. Система счисления (СС) - это совокупность приемов и правил, устанавливающих взаимно однозначное соответствие между числом и его записью. Каждому числу А или каждой цифре d в записи числа А можно сопоставить некоторый количественный эквивалент, выражаемый числом. Систему счисления называют позиционной (ПСС), если значе- ние цифр определяется не только особенностями их начертания, но и зависит от места (позиции), занимаемого ими в числе. В противном случае систему счисления называют непозиционной (НПСС). Приме- рами ПСС и НПСС являются, соответственно, десятичная и римская системы счисления. Действительно, пусть А дес = 55 = 5’5 и B рим = XX – Х’Х, тогда (5’) = 50; (5) = 5, то есть (5') не равно (5), но (Х') = (X) = 10. Количество р различных символов, используемых в ПСС для за- писи цифр, называют основанием системы счисления. Цифрами обо- значают первые р целых чисел от 0 до р - 1. В современных ЭВМ при- меняют десятичную, шестнадцатеричную, восьмеричную и двоичную системы счисления. 11 Для этих систем с основанием р ( р = 2,8,10,16) применяют сле- дующие наборы символов - цифр d (d= 0,1,..., р- 1 ): для p = 2; d = 0,1; для р = 8; d = 0,1,2,3,4,5,6,7; для р = 10; d = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9; для р = 16; d = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F, где буквы A,В,C,D,Е,F означают цифры 10,11,12,13,14,15. Запись числа А (А ≥ 0) в р - ичной ПСС имеет вид: , , 1 0 1 1 m n p d d d d d А − − − = где через 0 1 1 d d d n − обозначены п цифр целой, а через m d d − − 1 т цифр дробной части числа А. Условно место (позицию) цифры в записи числа можно охарак- теризовать весом этой позиции. На примере десятичной системы счисления вес первых четырех цифр целой и дробной части числа бу- дет равен: 1000 100 10 1; 0,1 0,01 0,001 0,0001, что соответствует: 10 3 10 2 10 1 10 0 ; 10 -1 10 -2 10 -3 10 -4 Тогда число А может быть представлено в виде полинома: m m n n p d p d p d p d А − − − − − + + + = 1 1 0 0 1 1 или , p d A n m i i i ∑ − − = ⋅ = 1 (1.1) где р - основание ПСС; i - номер позиции или разряда; d i - циф- ра i-го разряда; р i - вес i -го разряда; d i р i - количественный эк- вивалент цифры d , расположенной на i-ой позиции. Приведем пример использования формулы (1.1). Пусть необхо- димо определить значение восьмеричного числа А = 173,2 (8) в деся- тичной системе счисления: ∑ − − = − = ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = 1 3 1 1 0 1 2 8 25 123 8 8 2 8 3 8 7 8 1 2 173 i i i ) ( . , d , Совокупность п + m = r разрядов, используемое для записи чис- ла, с указанием положения запятой, образует разрядную сетку (рису- нок 1.1). 12 Рисунок 1.1 Позиционные системы счисления имеют следующие свойства. 1. Наибольшее число, которое можно записать в r - разрядной сетке, где r = n + m, получается, когда цифры всех разрядов имеют наибольшую величину: i d = p - 1. При этом, ( ) ( ) ) ( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 1 1 1 1 1 m n n m m n n m n m i i n m i n m i i i i n m i i наиб p p p p p p p p p p p p p p А − − − − − − − − − − = − − = − − = + + − − = − = + + + − + + + = = − = − = − = ∑ ∑ ∑ ∑ В частности для целого числа ( m = 0) А наиб = р n - 1, a для дроб- ного числа ( п = 0) А наиб = 1 – р -m 2. Наименьшее число, не равное нулю, получается, когда цифра младшего разряда равна 1, а во всех остальных разрядах цифры 0 i d = Для числа, записываемого в r - разрядной сетке (r = n + m), А наим = р -m . Для целого числа (m = 0) А наим = 1. 3. Шагом (дискретностью) чисел h называется интервал между двумя ближайшими числами, которые могут быть записаны в задан- ной разрядной сетке. Величина шага равна весу младшего разряда: m p h − = Все числа от А наим до А наиб распределены с шагом h. 4. Количество различных чисел, которые можно записать в r- разрядной сетке (где r = n + m) равно: 1 1 r m n m m n наим наиб p p p p p А А N = = + − = + = + − − 5. Количество разрядов, нужное для записи целого числа А в системе с основанием р, находится из условия , 1 − = ≤ n наиб p A A откуда ) 1 ( log + ≥ A n p или int log ( 1) p n A = + , 13 где функция int осуществляет округление аргумента до ближайшего большего целого числа. 1.1.2 Двоичная система счисления Основанием двоичной системы счисления является число 2, то есть в ней используются только две цифры: 0 и 1. Любое число в дво- ичной системе счисления записывается как комбинация цифр 0 и 1. Двоичная система счисления нашла широкое применение в циф- ровых ЭВМ. Это обусловлено следующими основными её достоинст- вами. 1. Существует большое число устройств, имеющих два устойчи- вых состояния (закрытый или открытый транзистор, намагниченный или размагниченный сердечник, наличие или отсутствие импульса) которые могут быть приняты в качестве физического эквивалента символов 0 и 1. Это значительно упрощает автоматическую реализа- цию процессов записи, хранения, считывания и обработки двоичных чисел. 2. Арифметические и особенно логические операции над двоич- ными числами выполняются наиболее просто. 3. Для представления каждой цифры любого алфавита отводится определенный поддиапазон некоторой физической переменной. За счет помех и погрешностей измерения возникают ошибки представ- ления информации этой переменной. Эти ошибки минимальны при двоичном алфавите. В соответствии с формулой (1.1) некоторое число А в двоичной системе счисления (р = 2) можно записать в виде ∑ − − = − − − = = 1 1 0 1 1 , 2 n m i i i m n d d d d d d A (1.2) где цифры d i равны 0 или 1. Для известных значений цифр d i можно найти значение числа в десятичной системе счисления. Например, А = 11011,11 = 1 ⋅ 2 4 + 1 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 + 1 ⋅ 2 -1 + 1 ⋅ 2 -2 = 27,75 Одними из основных недостатков двоичной СС является: трудо- емкость перевода в нее чисел из десятичной СС, которой пользуется человек, и громоздкая форма записи. 14 Так для записи трехзначного числа десятичной СС требуется не менее 10 разрядов двоичной СС. Для более компактной записи чисел двоичной СС используют вспомогательные системы счисления с ос- нованием 2 n - восьмеричную (2 3 ) или шестнадцатеричную (2 4 ) CC и двоично-десятичную СС. 1.1.3 Двоично-десятичная система счисления Двоично-десятичная система счисления является гибридной, в этой системе цифры десятичной системы счисления представлены в виде двоичного кода. Для этой цели под каждый разряд десятичного числа отводится четыре разряда двоичного числа. Запись и чтение чисел в двоично-десятичной системе счисления поясним на примерах. Пример 1. Записать число 1983 в двоично-десятичной системе счисления. Для этого каждый знак числа в десятичной системе счисления представляем в виде четырехразрядного двоичного кода (рисунок 1.2) и записываем полученное выражение в ряд: 1983 → 0001100110000011 Рисунок 1.2 - Переход от десятичной к двоично-десятичной записи числа Пример 2. Прочитать число, записанное в двоично-десятичной системе счисления 1000010010010101. Для прочтения числа необходимо разделить его на декады, на- чиная с младшего (самого правого) разряда, по четыре разряда дво- ичного числа в каждой. Далее прочитать результат для каждой дека- ды в виде цифры десятичной системы счисления (рисунок 1.3). 1000 0100 1001 0101 8 4 9 5 Рисунок 1.3 – Результат преобразования: 8495 15 Двоично-десятичная система широко используется в контроль- но-проверочной аппаратуре самолетных ответчиков СО-69, СО-73 и других устройствах, в которых информация о десятичном числе запи- сана в виде двоичного кода. 1.1.4 Системы счисления по основанию 2 n На практике часто возникает проблема компактной записи дво- ичных чисел. При этом перевод записанного числа в двоичную сис- тему должен быть простым и не требовать громоздких вычислений. Этим требованиям удовлетворяют системы счисления с основанием 2 n : четверичная (2 2 ), восьмеричная (2 3 ), шестнадцатеричная (2 4 ), три- дцатидвухричная (2 5 ) и т.д. Для перевода из двоичной системы счис- ления в СС с основанием 2 n число разбивается на части по п разрядов и каждая часть записывается цифрой новой системы счисления. Для р =4 d ∈ {0, 1, 2, 3}, для р =8 d ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, для р = 2 n d ∈ {0, 1, ...р- 1}. При использовании р = 4 (п = 2) исходное слово двоичной СС разбивается на части по 2 разряда, поэтому результирующее число имеет всего лишь в два раза меньше цифр. Поэтому использование четверичной СС малоэффективно. Системы счисления с п > 4 также малоэффективны так как в этом случае необходимо помнить много символов, обозначающих цифры этих СС. Например, для n = 5 число цифр равно 32. Наибольшее распространение получили восьмеричная (п = 3) и шестнадцатеричная (п = 4) СС. Для перевода двоичного числа в восьмеричную (шестнадцате- ричную) СС необходимо разбить двоичное число вправо и влево от запятой на триады (тетрады) и заменить каждую триаду (тетраду) равной ей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой. Если при раз- биении крайние триады (тетрады) окажутся неполными, то их следует дополнить нулями. Например, 1110001101,0111 = 001 110 001 101, 011 100 = = 1 6 1 5, 3 4 (8) 111011110001,0111101 = 1110 1111 0001, 0111 1010 = = Е F 1, 7 A (16) 16 В таблице 1.1 приведены значения некоторых чисел в различных СС. Таблица 1.1 Запись чисел в различных ПСС Основание ПСС p = 10 p = 16 р = 8 p = 2 p = "2 - 10" 0 0 0 000 0000 1 1 1 001 0001 2 2 2 010 0010 3 3 3 011 0011 4 4 4 100 0100 5 5 5 101 0101 6 6 6 110 0110 7 7 7 111 0111 8 8 10 1000 1000 9 9 11 1001 1001 10 А 12 1010 00010000 11 В 13 1011 00010001 12 С 14 1100 00010010 13 D 15 1101 00010011 14 Е 16 1110 00010100 15 F 17 1111 00010101 16 10 20 10000 00010110 - - - - - 59 3B 73 111011 01011001 1.2 Арифметические действия в позиционных системах счисления и перевод чисел из одной системы счисления в другую 1.2.1 Арифметические действия в двоичной системе счисления Арифметические действия в любой ПСС выполняют с использо- ванием таблиц умножения, сложения и вычитания по правилам, ана- логичным правилам десятичной арифметики. Наиболее простыми из упомянутых выше таблиц являются таб- лицы для двоичной системы: 17 таблица умножения таблица сложения таблица вычитания 0 ⋅ 0 = 0 0 + 0 = 0 0 - 0 = 0 0 ⋅ 1 = 0 0 + 1 = 1 1 - 1 = 0 1 ⋅ 0 = 0 1 + 0 = 1 1 - 0 = 1 1 ⋅ 1 = 1 1 + 1 = 10 10 - 1 = 1 Старшие цифры двухразрядной суммы и уменьшаемого называ- ют соответственно переносом и займом. Сложение многоразрядных чисел m n a a а А − − = 0 1 и m n b b b B − − = 0 1 выполняется поразрядно, начиная с младшего разря- да, с учетом правил таблицы сложения. Перед сложением количество разрядов целой и дробной части слагаемых уравнивается путем до- бавления незначащих нулей - в дробной части справа, а в целой части слева от разрядов чисел. В каждом i - ом разряде производится сло- жение трех цифр i i i p b a + + , где i p - цифра переноса из предыдущего (i - 1) разряда. Пример: Р i =110111 0 A = 11011,11 + B = 01001,10 A + B =100101, 01 Вычитание многоразрядных чисел производится также пораз- рядно, причем, если цифра вычитаемого больше цифры уменьшаемо- го, то занимается 1 из следующего по старшинству разряда. Занятая единица приравнивается к двум единицам данного разряда. Пример: 1+1 1+1 1+1 A = 1 1 0 1 1 , 1 0 - B = 0 1 1 0 1 , 0 1 A - B = 0 1 1 1 0 , 0 1 Умножение многоразрядных двоичных чисел производится пу- тем образования частичных произведений и их суммирования. Пусть даны числа m n a a а А − − = 0 1 и 1 0 1 1 m n b b b B − − = Тогда ∑ ∑ ∑ − − = − − = − − = = = = ⋅ = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 П 2 2 П n m i i n m i i i n m i i i Ab b А В А , где i i i Ab 2 П = - частичное произведение, образуемое путем умноже- 18 ния множимого А на цифру множителя i b и ее весовой коэффициент 2 i Умножению числа А на 2 соответствует сдвиг всех цифр этого числа на один разряд влево, т.е. в сторону старшего разряда: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 ( 0 1 1 0 1 2 1 0 0 2 2 1 1 + − − − − − − − − − − − − ⋅ + + + + + ⋅ + ⋅ = = ⋅ ⋅ + + + + ⋅ + ⋅ = m m n n n n m m n n n n a a a a a a a a a А С учетом этого для получения частичных произведений i П дос- таточно сдвинуть код множимого на i разрядов влево (при i >0) или вправо (i < 0) и умножить его на 0 или 1 в зависимости от значения i b Пример, А = 1 0 1 , 1 0 В = × 1 1 , 0 1 П -2 = А ⋅ 1 ⋅ 2 -2 = 1 , 0 1 1 0 П -1 = А ⋅ 0 ⋅ 2 -1 = 0 0 , 0 0 0 П -0 = А ⋅ 1 ⋅ 2 0 = 1 0 1 , 1 0 П -1 = А ⋅ 1 ⋅ 2 1 = 1 0 1 1 , 0 |