4. Основы расчета теории надежности. Основы теории расчета надежности технических систем

• Название: Основы теории расчета надежности технических систем
• Анкор: 4. Основы расчета теории надежности.docx
• Дата: 22.04.2017
• Размер: 2.78 Mb.
• Имя файла: 4. Основы расчета теории надежности.docx
• Тип: Документы; #5353
• страница: 5 из 6

ПРИМЕР 4.5.2. Простая система состоит из 1000 одинаково надежных, независимых элементов. Какой надежностью должен обладать каждый из них для того, чтобы надежность системы была не меньше 0,9?

По формуле (4.5.4)

Интенсивность отказов системы при экспоненциальном законе распределения времени до отказа легко определить из выражения:

λc = λ1 + λ2 + λ3 +...+λn, (4.5.5)

т. е. как сумму интенсивностей отказов независимых элементов. Это и естественно, так как для системы, в которой элементы соединены последовательно, отказ элемента равносилен отказу системы, значит все потоки отказов отдельных элементов складываются в один поток отказов системы с интенсивностью, равной сумме интенсивностей отдельных потоков.

Формула (4.5.4) получается из выражения:



Среднее время работы до отказа:

T₀ = 1 / λ_c . (4.5.7)

ПРИМЕР 4.5.3. Простая система S (рис. 4.5.5) состоит из трех независимых элементов, плотности распределения времени безотказной работы которых заданы формулами:



Найти интенсивность отказов системы.



Решение. Определяем ненадежность каждого элемента:



Отсюда надежности элементов:



Интенсивности отказов элементов (условная плотность вероятности отказов) — отношение f (t) к p (t):



Складывая, имеем:

ПРИМЕР 4.5.4. Предположим, что для работы системы с последовательным соединением элементов при полной нагрузке необходимы два разнотипных насоса, причем насосы имеют постоянные интенсивности отказов, равные соответственно λ1 = 0,0001 ч^–1 и λ2 = 0,0002 ч^–1. Требуется вычислить среднее время безотказной работы данной системы и вероятность ее безотказной работы в течение 100 ч. Предполагается, что оба насоса начинают работать в момент времени t = 0.

С помощью формулы (4.5.6) находим вероятность безотказной работы Ps заданной системы в течение 100 ч:



Используя формулу (4.5.7), получаем:





На рис. 4.5.6 представлено параллельное соединение элементов 1, 2, 3. Это означает, что устройство, состоящее из этих элементов, переходит в состояние отказа после отказа всех элементов при условии, что все элементы системы находятся под нагрузкой, а отказы элементов статистически независимы.



Рис. 4.5.6. Блок-схема системы с параллельным соединением элементов.
Условие работоспособности устройства можно сформулировать следующим образом: устройство работоспособно, если работоспособен элемент 1, или элемент 2, или элемент 3, или элементы 1 и 2, 1 и 3, 2 и 3, 1 и 2 и 3.

Вероятность безотказного состояния устройства, состоящего из n параллельно соединенных элементов определяется по теореме сложения вероятностей совместных случайных событий как



Для приведенной блок-схемы (рис. 4.5.6), состоящей из трех элементов, выражение (4.5.8) можно записать:



Применительно к проблемам надежности, по правилу умножения вероятностей независимых (в совокупности) событий, надежность устройства из n элементов вычисляется по формуле:



т. е. при параллельном соединении независимых (в смысле надежности) элементов их ненадежности (1 − p_i= q_i) перемножаются. В частном случае, когда надежности всех элементов одинаковы, формула (4.5.9) принимает вид:



ПРИМЕР 4.5.5. Предохранительное устройство, обеспечивающее безопасность работы системы под давлением, состоит из трех дублирующих друг друга клапанов. Надежность каждого из них р = 0,9. Клапаны независимы в смысле надежности. Найти надежность устройства. Решение. По формуле (4.5.10)

P = 1 − (1 − 0,9)3 = 0,999.

Интенсивность отказов устройства состоящего из n параллельно соединенных элементов, обладающих постоянной интенсивностью отказов λ₀, определяется как:



Из (4.5.11) видно, что интенсивность отказов устройства при n > 1 зависит от t: при t = 0 она равна нулю, при увеличении t, монотонно возрастает до λ₀.

Если интенсивности отказов элементов постоянны и подчинены показательному закону распределения, то выражение (4.5.9) можно записать:



Среднее время безотказной работы системы Т₀ находим, интегрируя уравнение (4.5.12) в интервале [0, ∞]:



В случае, когда интенсивности отказов всех элементов одинаковы, выражение (4.5.13) принимает вид:



Среднее время работы до отказа также можно получить, интегрируя уравнение (4.5.8) в интервале [0, ∞].

ПРИМЕР 4.5.6. Предположим, что два одинаковых вентилятора в системе очистки отходящих газов работают параллельно, причем если один из них выходит из строя, то другой способен работать при полной системной нагрузке без изменения своих надежностных характеристик.

Требуется найти безотказность системы в течение 400 ч (продолжительность выполнения задания) при условии, что интенсивности отказов двигателей вентиляторов постоянны и равны λ = 0,0005 ч^–1, отказы двигателей статистически независимы и оба вентилятора начинают работать в момент времени t = 0.

Решение. В случае идентичных элементов формула (4.5.12) принимает вид:

P(t ) = 2exp(−λt ) − exp(−2λt ).

Поскольку λ = 0,0005ч^-1 и t = 400 ч, то:

P(400) = 2exp(−0,0005 × 400) − exp(−2 × 0,0005 × 400) = 0,9671.

Среднюю наработку на отказ находим, используя (4.5.13):

T0 = 1 / λ(1 / 1 + 1 / 2) = 1 / λ × 3 / 2 = 1,5 / 0,0005 = 3000 ч.
4.5.3.3. Способы преобразования сложных структур

Относительная простота расчетов надежности, основанных на использовании параллельно-последовательных структур, делают их самыми распространенными в инженерной практике. Однако не всегда условие работоспособности можно непосредственно представить параллельно-последовательной структурой. В этом случае можно сложную структуру заменить ее эквивалентной параллельно-последовательной структурой. К таким преобразованиям относятся:

— преобразование с эквивалентной заменой треугольника на звезду и обратно;

— разложение сложной структуры по базовому элементу.

Существо способа преобразования с помощью эквивалентной замены треугольника на звезду и обратно заключается в том, что узел сложной конфигурации заменяется на узел другой, более простой конфигурации, но при этом подбираются такие характеристики нового узла, что надежности преобразуемой цепи сохранялись прежними.

Пусть, например, требуется заменить треугольник (рис. 4.5.7, а) звездой (рис. 4.5.7, б) при условии, что вероятность отказа элемента a равна q13, элемента b равна q12, элемента c — q23.



Переход к соединению звездой не должен изменить надежность цепей 1—2, 1—3, 2—3. Поэтому значение вероятностей отказов элементов звезды q1, q2, q3

должны удовлетворять следующим равенствам:



Если пренебречь произведениями вида , то в результате решения системы уравнения (4.5.15) можно записать:



Для обратного преобразования звезды в треугольник:



ПРИМЕР 4.5.7. Определить вероятность безотказной работы устройства, структурная схема которого изображена на рис. 4.5.8, б, если известно, что вероятности безотказной работы каждого из элементов схемы равны 0,9, а вероятности отказов равны 0,1.



Рис. 4.5.8. К примеру преобразования структуры.

Решение.

1. Преобразуем соединение элементов 1, 2, 5 в треугольник (рис. 4.5.8, а), в звезду (рис. 4.5.8, б).

2. Определим эквивалентные значения вероятности отказов для новых элементов a, b, c:



3. Определим значения вероятности безотказного состояния элементов эквивалентной схемы (рис. 4.5.8, б):



4. Определим вероятность безотказной работы эквивалентного устройства (рис. 4.5.9):





Способ преобразования с помощью разложения сложной структуры по некоторому базовому элементу основан на использовании теоремы о сумме вероятностей несовместных событий. В сложной структуре выбирают базовый элемент (или группу базовых элементов) и делаются следующие допущения:

— базовый элемент находится в работоспособном состоянии;

— базовый элемент находится в отказавшем состоянии.

Для этих случаев, представляющих собой два несовместных события, исходная структура преобразовывается в две новые схемы. В первой из них вместо базового элемента ставится «короткое замыкание» цепи, а во второй — разрыв. Вероятности безотказной работы каждой из полученных простых структур вычисляются и умножаются: первая — на вероятность безотказного состояния базового элемента, вторая — на вероятность отказа базового элемента. Полученные произведения складываются. Сумма равна искомой вероятности безотказной работы сложной структуры.

ПРИМЕР 4.5.8. Решить предыдущий пример методом разложения сложной структуры.

Решение.

1. В качестве базового элемента примем элемент 5 (рис. 4.5.3, б).

2. Закоротим базовый элемент, т. е. сделаем допущение об абсолютной его проводимости. Присоединим к полученной структуре последовательно базовый элемент с характеристикой его надежности р₅. В результате вместо исходной структуры получим новую структуру (рис. 4.5.10, а).

3. Произведем обрыв базового элемента, т. е. сделаем предположение об его абсолютной ненадежности (непроводимости). К полученной структуре присоединим последовательно базовый элемент с характеристикой его ненадежности (1 − p₅ ). В результате получим структуру (рис. 4.5.10, б).



4. Искомая вероятность равна сумме вероятностей структур (рис. 4.5.10, а, б), каждая из которых параллельно-последовательная. Поэтому:



Вероятность безотказной работы мостиковой схемы, состоящей из пяти неодинаковых и независимых элементов, можно определить по формуле:



В случае идентичных элементов эта формула принимает вид:



Подставляя соотношение (4.5.19) в формулу (4.5.6), получаем, что в случае использования элементов с постоянной интенсивностью отказов (экспоненциальном законе распределения отказов):

P(t ) = 2exp(−5λt ) − 5exp(−4λt ) + 2exp(−3λt ) + 2exp(−2λt ). (4.5.20)

Среднее время безотказной работы системы Т₀ находим путем интегрирования

уравнения (4.5.20) в интервале [0, ∞]:



ПРИМЕР 4.5.9. Определить вероятность безотказной работы устройства, структурная схема которого изображена на рис. 4.5.3, б, если известно, что вероятности безотказной работы каждого из элементов схемы равны 0,9.

Решение.

Так как все элементы идентичны, воспользуемся формулой (4.5.18), с ее помощью получаем:

P = 2 × 0,95 − 5 × 0,94 + 2 × 0,93 + 2 × 0,92 ≈ 0,978.

ПРИМЕР 4.5.10. Требуется определить вероятность безотказной работы и среднюю наработку на отказ системы, состоящей из пяти независимых и одинаковых элементов, соединенных по мостиковой схеме (рис. 4.5.3, б); считается, что λ = 0,0005 ч–1, t = 100 ч и все элементы начинают работать в момент времени t = 0.

Решение.

1. С помощью формулы (4.5.20) получаем:



2. Подставляя полученное значение вероятности безотказной работы в формулу (4.5.21), находим среднюю наработку на отказ:

T₀ = 49 / (60 × 0,0005) = 1633,4 ч.

4.5.4. Надежность резервированной системы

Одним из путей повышения надежности системы является введение в нее резервных (дублирующих) элементов. Резервные элементы включаются в систему как бы «параллельно» тем, надежность которых недостаточна.

4.5.4.1. Параллельное соединение резервного оборудования системы Рассмотрим самый простой пример резервированной системы — параллельное соединение резервного оборудования системы. В этой схеме все n одинаковых образцов оборудования работают одновременно, и каждый образец оборудования имеет одинаковую интенсивность отказов. Такая картина наблюдается, например, если все образцы оборудования держатся под рабочим напряжением (так называемый «горячий резерв»), а для исправной работы системы должен быть исправен хотя бы один из n образцов оборудования.

В этом варианте резервирования применимо правило определения надежности параллельно соединенных независимых элементов. В нашем случае, когда надежности всех элементов одинаковы, надежность блока определяется по формуле (4.5.10)



Если система состоит из n образцов резервного оборудования с различными интенсивностями отказов, то:



Выражение (4.5.22) представляется как биноминальное распределение. Поэтому ясно, что когда для работы системы требуется по меньшей мере k исправных из n образцов оборудования, то:



При постоянной интенсивности отказов l элементов это выражение принимает вид:



где: p= exp(−λt).

4.5.4.2. Включение резервного оборудования системы замещением В данной схеме включения n одинаковых образцов оборудования только один находится все время в работе (рис. 4.5.11).

Когда работающий образец выходит из строя, его непременно отключают, и в работу вступает один из (n – 1) резервных (запасных) элементов. Этот процесс продолжается до тех пор, пока все (n – 1) резервных образцов не будут исчерпаны.

Примем для этой системы следующие допущения:

1. Отказ системы происходит, если откажут все n элементов.

2. Вероятность отказа каждого образца оборудования не зависит от состояния остальных (n – 1) образцов (отказы статистически независимы).

3. Отказывать может только оборудование, находящееся в работе, и условная вероятность отказа в интервале (t, t + dt) равна λdt; запасное оборудование не может выходить из строя до того, как оно будет включено в работу.

4. Переключающие устройства считаются абсолютно надежными.

5. Все элементы идентичны. Резервные элементы имеют характеристики как новые.


Система способна выполнять требуемые от нее функции, если исправен по крайней мере один из n образцов оборудования. Таким образом, в этом случае надежность равна просто сумме вероятностей состояний системы, исключая состояние отказа, т. е.:



В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из двух резервных образцов оборудования, включаемых замещением. Для того чтобы эта система работала, в момент времени t, нужно, чтобы к моменту t были исправны либо оба образца, либо один из двух. Поэтому:



На рис. 4.5.12 показан график функции Р(t) и для сравнения приведен аналогичный график для нерезервированной системы.