4. Основы расчета теории надежности. Основы теории расчета надежности технических систем

• Название: Основы теории расчета надежности технических систем
• Анкор: 4. Основы расчета теории надежности.docx
• Дата: 22.04.2017
• Размер: 2.78 Mb.
• Имя файла: 4. Основы расчета теории надежности.docx
• Тип: Документы; #5353
• страница: 6 из 6

ПРИМЕР 4.5.11. Система состоит из двух идентичных устройств, одно из которых функционирует, а другое находится в режиме ненагруженного резерва. Интенсивности отказов обоих устройств постоянны. Кроме того, предполагается, что в начале работы резервное устройство имеет такие же характеристики, как и новое. Требуется вычислить вероятность безотказной работы системы в течение 100 ч при условии, что интенсивности отказов устройств λ = 0,001 ч^–1.

Решение. С помощью формулы (4.5.25) получаем:

P(t ) = exp(−λt ) ⋅ (1 + λt ).

При заданных значениях t и λ вероятность безотказной работы системы составляет:



Во многих случаях нельзя предполагать, что запасное оборудование не выходит из строя, пока его не включат в работу. Пусть λ₁ — интенсивность отказов работающих образцов, а λ₂ — резервных или запасных (λ₂ > 0). В случае дублированной системы функция надежности имеет вид:



Данный результат для k = 2 можно распространить на случай k = n. Действительно:



4.5.4.3. Надежность резервированной системы в случае комбинаций отказов и внешних воздействий

В некоторых случаях отказ системы возникает вследствие определенных комбинаций отказов образцов входящих в систему оборудования и (или) из-за внешних воздействий на эту систему. Рассмотрим, например, метеоспутник с двумя передатчиками информации, один из которых является резервным или запасным. Отказ системы (потеря связи со спутником) возникает при выходе из строя двух передатчиков или в тех случаях, когда солнечная активность создает непрерывные помехи радиосвязи. Если интенсивность отказов работающего передатчика равна λ, а φ— ожидаемая интенсивность появления радиопомех, то функция надежности системы:

P(t ) = exp(−(λ + ϕ)t ) + λt exp(−(λ + ϕ)t ). (4.5.28)

Данный тип модели также применим в случаях, когда резерв по схеме замещения отсутствует. Например, предположим, что нефтепровод подвергается гидравлическим ударам, причем воздействие незначительными гидроударами происходит с интенсивностью λ, а значительными — с интенсивностью φ. Для разрыва сварных швов (из-за накопления повреждений) трубопроводу следует получить n малых гидроударов или один значительный.

Здесь состояние процесса разрушения представляется числом ударов (или повреждений), причем один мощный гидроудар равносилен n малых. Надежность или вероятность того, что трубопровод не будет разрушен действием микроударов к моменту времени t равна:



4.5.4.4. Анализ надежности систем при множественных отказах

Рассмотрим метод анализа надежности нагруженных элементов в случае статистически независимых и зависимых (множественных) отказов. Следует заметить, что этот метод может быть применен и в случае других моделей и распределений вероятностей. При разработке этого метода предполагается, что для каждого элемента системы существует некоторая вероятность появления множественных отказов.

Как известно, множественные отказы действительно существуют, и для их учета в соответствующие формулы вводится параметр α. Этот параметр может быть определен на основе опыта эксплуатации резервированных систем или оборудования и представляет собой долю отказов, вызываемых общей причиной. Другими словами, параметр α можно рассматривать как точечную оценку вероятности того, что отказ некоторого элемента относится к числу множественных отказов. При этом можно считать, что интенсивность отказов элемента имеет две взаимоисключающие составляющие, т. е. λ = λ₁ + λ₂ , где λ₁ — постоянная интенсивность статистически независимых отказов элемента; λ₂ — интенсивность множественных отказов резервированной системы или элемента. Поскольку α = λ₂ / λ, то λ₂ = α / λ, и следовательно, λ₁ = (1 − α)λ.

Приведем формулы и зависимости для вероятности безотказной работы, интенсивности отказов и средней наработки на отказ в случае систем с параллельным и последовательным соединением элементов, а также систем с k исправными элементами из п и систем, элементы которых соединены по мостиковой схеме.

Система с параллельным соединением элементов (рис. 4.5.13) — обычная параллельная схема, к которой последовательно подсоединен один элемент.



Параллельная часть (I) схемы отображает независимые отказы в любой системе из n элементов, а последовательно соединенный элемент (II) — все множественные отказы системы.

Гипотетический элемент, характеризуемый определенной вероятностью появления множественного отказа, последовательно соединен с элементами, которые характеризуются независимыми отказами. Отказ гипотетического последовательно соединенного элемента (т. е. множественный отказ) приводит к отказу всей системы. Предполагается, что все множественные отказы полностью взаимосвязаны. Вероятность безотказной работы такой системы определяется как Rр = {1 – (1 – R₁)ⁿ}R₂, где n — число одинаковых элементов; R₁ — вероятность безотказной работы элементов, обусловленная независимыми отказами; R₂ — вероятность безотказной работы системы, обусловленная множественными отказами.

При постоянных интенсивностях отказов λ₁ и λ₂ выражение для вероятности безотказной работы принимает вид:



где: t — время.

Влияние множественных отказов на надежность системы с параллельным соединением элементов наглядно демонстрируется с помощью рис. 4.5.14—4.5.16; при увеличении значения параметра α вероятность безотказной работы такой системы уменьшается.

Параметр α принимает значения от 0 до 1. При α = 0 модифицированная параллельная схема ведет себя, как обычная параллельная схема, а при α = 1 она действует как один элемент, т. е. все отказы системы являются множественными. Поскольку интенсивность отказов и среднее время наработки на отказ любой системы можно определить с помощью (4.3.7) и формул:


с учетом выражения для R_р(t) получаем, что интенсивность отказов (рис. 4.5.17) и средняя наработка на отказ модифицированной системы соответственно равны:






ПРИМЕР 4.5.12. Требуется определить вероятность безотказной работы системы, состоящей из двух одинаковых параллельно соединенных элементов, если λ = 0,001 ч^–1; α = 0,071; t = 200 ч.

Вероятность безотказной работы системы, состоящей из двух одинаковых параллельно соединенных элементов, для которой характерны множественные отказы, равна 0,95769. Вероятность безотказной работы системы, состоящей из двух параллельно соединенных элементов и характеризуемой только независимыми отказами, равна 0,96714.

Система с k исправными элементами из п одинаковых элементов включает в себя гипотетический элемент, соответствующий множественным отказам и соединенный последовательно с обычной системой типа k из n, для которой характерны независимые отказы. Отказ, отображаемый этим гипотетическим элементом, вызывает отказ всей системы. Вероятность безотказной работы модифицированной системы с k исправными элементами из n можно вычислить по формуле:



где: R₁ — вероятность безотказной работы элемента, для которого характерны независимые отказы;

R₂ — вероятность безотказной работы системы с k исправными элементами из n, для которой характерны множественные отказы.

При постоянных интенсивностях λ1 и λ2 полученное выражение принимает вид:



Зависимость вероятности безотказной работы от параметра a для систем с двумя исправными элементами из трех и двумя и тремя исправными элементами из четырех показаны на рис. 4.5.18—4.5.20. При увеличении параметра α вероятность безотказной работы системы уменьшается на небольшую величину (λt).

Интенсивность отказов системы с k исправными элементами из n и средняя наработка на отказ могут быть определены следующим образом:



где:

и





ПРИМЕР 4.5.13. Требуется определить вероятность безотказной работы системы с двумя исправными элементами из трех, если λ= 0,0005 ч^–1;

Α = 0,3; t = 200 ч.

С помощью выражения для R_knнаходим, что вероятность безотказной работы системы, в которой происходили множественные отказы, составляет 0,95772. Отметим, что для системы с независимыми отказами эта вероятность равна 0,97455.

Система с параллельно-последовательным соединением элементов соответствует системе, состоящей из одинаковых элементов, для которых характерны независимые отказы, и ряда ветвей, содержащих воображаемые элементы, для которых характерны множественные отказы. Вероятность безотказной работы модифицированной системы с параллельно-последовательным (смешанным) соединением элементов можно определить с помощью формулы

где m — число одинаковых элементов в ответвлении, n — число одинаковых ответвлений.

При постоянных интенсивностях отказов λ1 и λ2 это выражение принимает

вид:



Интенсивность отказов системы с параллельно-последовательным соединением элементов и средняя наработка на отказ могут быть определены следующим образом:



Система, элементы которой соединены по мостиковой схеме, соответствует схеме, состоящей из одинаковых элементов, для которых характерны независимые отказы, и последовательно подсоединенного к ним воображаемого элемента, для которого характерны множественные отказы. При множественном отказе гипотетического элемента вся система выходит из строя.

Вероятность безотказной работы модифицированной системы с элементами, соединенными по мостиковой схеме, можно вычислить по формуле:



(здесь Rb — вероятность безотказной работы мостиковой схемы, для которой характерны множественные отказы). Эта формула при постоянных интенсивностях λ1 и λ2 принимает вид:



(здесь А = (1 – α)λ). Зависимость безотказной работы системы R_b(t) для различных параметров a показана на рис. 4.5.21. При малых значениях λt вероятность безотказной работы системы с элементами, соединенными по мостиковой схеме, убывает с увеличением параметра α.



Интенсивность отказов рассматриваемой системы и средняя наработка на отказ могут быть определены следующим образом:



ПРИМЕР 4.5.14. Требуется вычислить вероятность безотказной работы в течение 200 ч для системы с одинаковыми элементами, соединенными по мостиковой схеме, если λ= 0,0005 ч^–1 и α = 0,3.

Используя выражение для R_b(t), находим, что вероятность безотказной работы системы с соединением элементов по мостиковой схеме составляет примерно 0,96; для системы с независимыми отказами (т. е. при α = 0) эта вероятность равна 0,984.
4.5.4.5. Модель надежности системы с множественными отказами

Для анализа надежности системы, состоящей из двух неодинаковых элементов, для которых характерны множественные отказы, рассмотрим такую модель, при построении которой были сделаны следующие допущения и приняты следующие обозначения:

Допущения (1) множественные отказы и отказы других типов статистически независимы; (2) множественные отказы связаны с выходом из строя не менее двух элементов; (3) при отказе одного из нагруженных резервированных элементов отказавший элемент восстанавливается, при отказе обоих элементов восстанавливается вся система; (4) интенсивность множественных отказов и интенсивность восстановлений постоянны.

Обозначения

P₀(t) — вероятность того, что в момент времени t оба элемента функционируют;

P1(t) — вероятность того, что в момент времени t элемент 1 вышел из строя, а элемент 2 функционирует;

P2(t) — вероятность того, что в момент времени t элемент 2 вышел из строя, а элемент 1 функционирует;

P3(t) — вероятность того, что в момент времени t элементы 1 и 2 вышли из строя;

P4(t) — вероятность того, что в момент времени t имеются специалисты и запасные элементы для восстановления обоих элементов;

λ_i— постоянная интенсивность отказов элементов 1 и 2 (i = 1, 2);

μ_i— постоянная интенсивность восстановлений элементов 1 и 2 (i = 1, 2);

μ₃ — постоянная интенсивность восстановлений элементов 1 и 2;

α — постоянный коэффициент, характеризующий наличие специалистов

и запасных элементов;

β — постоянная интенсивность множественных отказов;

t — время.

Рассмотрим три возможных случая восстановления элементов при их одновременном отказе:

Случай 1. Запасные элементы, ремонтный инструмент и квалифицированные специалисты имеются для восстановления обоих элементов, т. е. элементы могут быть восстановлены одновременно.

Случай 2. Запасные элементы, ремонтный инструмент и квалифицированные специалисты имеются только для восстановления одного элемента, т. е. может быть восстановлен только один элемент.

Случай 3. Запасные элементы, ремонтный инструмент и квалифицированные специалисты отсутствуют, и, кроме того, может существовать очередь на ремонтное обслуживание.

Математическая модель системы, изображенной на рис. 4.5.22, представляет собой следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка:





При t = 0 имеем P₀(0) = 1, а другие вероятности равны нулю. Приравнивая в полученных уравнениях производные по времени нулю, для установившегося режима получаем:



Решая эту совместную систему уравнений, получаем:





Стационарный коэффициент готовности может быть вычислен по формуле: