Ррр. Основные понятия математической логики
![]()
|
Ещё пример задания:Р-17. Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула ДЕЛ(x, А) (¬ДЕЛ(x, 21) + ДЕЛ(x, 35)) тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)? Решение: введём обозначения A = ДЕЛ(x, А), P = ДЕЛ(x, 21) и Q = ДЕЛ(x, 35) введём множества: A –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие A P –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие P Q –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие Q истинным для всех X должно быть выражение ![]() упростим это выражение, раскрыв импликацию по правилу ![]() ![]() из этой формулы видно, что ![]() ![]() ![]() заметим, что в точности такое множество ![]() итак, нам нужно множеством A перекрыть все числа, которые делятся на 35, это можно сделать, например, выбрав в качестве A любой делитель числа 35 = 5 · 7 в то же время нам нельзя перекрывать числа, которые не делятся на 35, но делятся на 21 = 3 · 7 (в этих точках ![]() ![]() предположим, что мы выбрали некоторое значение A; тогда выражение ![]() если число A·k делится на 21, то есть A·k = 21·m при некотором натуральном числе m, то такое число должно (для выполнения условия ![]() раскладываем 21 на простые сомножители: 21 = 3 · 7; для того, чтобы число A·k = 3 · 7 · m делилось на 35, в правой части нужно добавить сомножитель 5, это и есть искомое минимальное значение A (вообще говоря, А может быть любым числом, кратным 5) Ответ: 5. Решение (М.В. Кузнецова): Введём обозначения A = ДЕЛ(x, А), D21 = ДЕЛ(x, 21) , D35 = ДЕЛ(x, 35) и DN = ДЕЛ(x, N) Введём множества: A –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие A D21 –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие D21 D35 –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие D35 … Запишем формулу из условия в наших обозначениях ![]() Раскроем импликацию по правилу ![]() ![]() Чтобы формула была тождественно истинной необходимо, чтобы ![]() ![]() ![]() ![]() Множество ![]() Чтобы делитель 35 был решением необходимо, чтобы ни для одного из чисел, кратных ему не выполнилось условие: ![]() Разложим 35 и 21 на простые множители: 35= 5 ∙ 7, 21=3 ∙ 7. 7 – общий делитель, не может быть решением. Проверим 5. Вычислим «опасное» число, принадлежащее множеству ![]() ![]() ![]() Ответ: 5 |