Ррр. Основные понятия математической логики
Скачать 2.23 Mb.
|
Ещё пример задания:Р-05. На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 20] и Q = [15, 25]. Выберите такой отрезок A, что формула ( (x А) → (x P) ) \/ (x Q) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. 1) [0, 15] 2) [10, 25] 3) [2, 10] 4)[15, 20] Решение (отрезки на оси): два условия связаны с помощью операции \/ («ИЛИ»), поэтому должно выполняться хотя бы одно из них для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами A: x А, P: x P, Q: x Q учтем, что в формуле используется знак («не принадлежит»), поэтому при переходе к более простым обозначениям получаем: представим импликацию через операции «ИЛИ» и «НЕ»: , так что получаем это значит, что для тождественной истинности выражения Z нужно, чтобы для любого x было выполнено одно из условий: , , Q; из всех этих выражений нам неизвестно только посмотрим, какие интервалы перекрываются условиями иQ; область состоит из двух участков числовой оси, которые не входят в отрезок [2,20], а область Q – это отрезок [15,25]: таким образом, область истинности выражения должна перекрывать оставшуюся часть – отрезок [2,15] из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезок [0,15] (вариант 1) полностью перекрывает отрезок [2,15], это и есть правильный ответ Ответ: 1. Решение (таблицы истинности, Е.А. Смирнов): пп. 1-4 такие же, как и в предыдущем способе решения если рассматривать все значения x на числовой прямой, то логические значения формул могут измениться только при переходе через граничные точки заданных промежутков эти точки (2,15,20 и 25) разбивают числовую прямую на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить логическое значение выражения
для упрощения записи не будем рассматривать значения формул на концах отрезков, так как это не влияет на решение по условию выражение должно быть равно 1 при любых значениях x, то есть, в соответствующем столбце таблицы должны быть все единицы; отсюда можно найти, каким должно быть значение для каждого интервала:
таким образом, область истинности выражения должна перекрывать отрезок [2,15] из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезок [0,15] (вариант 1) полностью перекрывает отрезок [2,15], это и есть правильный ответ Ответ: 1. |