Ррр. Основные понятия математической логики
Скачать 2.23 Mb.
|
Ещё пример задания:Р-06. На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 10] и Q = [6, 14]. Выберите такой отрезок A, что формула ( (x А) → (x P) ) \/ (x Q) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. 1) [0, 3] 2) [3, 11] 3) [11, 15] 4)[15, 17] Решение: два условия связаны с помощью операции \/ («ИЛИ»), поэтому должно выполняться хотя бы одно из них для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами A: x А, P: x P, Q: x Q тогда получаем, переходя к более простым обозначениям: Z = (A→P) + Q представим импликацию A → P через операции «ИЛИ» и «НЕ»: , так что получаем это значит, что для тождественной истинности выражения Z нужно, чтобы для любого x было выполнено одно из условий: , P, Q; из всех этих выражений нам неизвестно только посмотрим, какие интервалы перекрываются условиямиP иQ: видим, что отрезок [2,14] перекрыт, поэтому выражение должно перекрывать оставшуюся часть; таким образом, должно быть истинно на интервалах (– ,2) и (14,) и, соответственно, выражение A (без инверсии) может быть истинно только внутри отрезка [2,14] из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезов [3,11] (вариант 2) находится целиком внутри отрезка [2,14], это и есть правильный ответ Ответ: 2. Решение (вариант 2, А.Н. Евтеев): пп. 1-4 такие же, как и в предыдущем способе решения полученное после преобразований выражение должно быть истинно при любом x логическая сумма истинна во всех случаях кроме одного: если все слагаемые ложны, следовательно выражение ложно только когда A = 1, P = 0 и Q = 0 поэтому если область истинности A выйдет за пределы отрезка [2,14], где одновременно ложны P и Q, то будет ложно это значит, что A может быть истинно только внутри отрезка [2,14] из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезов [3,11] (вариант 2) находится целиком внутри отрезка [2,14], это и есть правильный ответ Ответ: 2. Решение (таблицы истинности, Е.А. Смирнов): пп. 1-4 такие же, как и в предыдущем способе решения если рассматривать все значения x на числовой прямой, то логические значения формул могут измениться только при переходе через граничные точки заданных промежутков эти точки (2,6,10 и 14) разбивают числовую прямую на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить логическое значение выражения
для упрощения записи не будем рассматривать значения формул на концах отрезков, так как это не влияет на решение по условию выражение должно быть равно 1 при любых значениях x, то есть, в соответствующем столбце таблицы должны быть все единицы; отсюда можно найти, каким должно быть значение (и соответствующее значение ) для каждого интервала:
таким образом, значение должно быть равно 0 вне отрезка [2,14]; из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезов [3,11] (вариант 2) Ответ: 2. |