Ррр. Основные понятия математической логики

• Название: Основные понятия математической логики
• Дата: 03.10.2022
• Размер: 2.23 Mb.
• Имя файла: ege15.doc
• Тип: Закон; #710566
• страница: 17 из 48

Ещё пример задания:

Р-11. На числовой прямой даны два отрезка: P = [10,30] и Q = [25, 55]. Определите наибольшую возможную длину отрезка A, при котором формула

( x  A) → ((x  P)  (x Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) 10 2) 20 3) 30 4) 45

Решение:

1. 
   для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами
   

A: x  А, P: x  P, Q: x  Q

2. 
   перейдем к более простым обозначениям
   

A → (P + Q)

3. 
   раскроем импликацию через операции НЕ и ИЛИ ( ):
   

4. 
   для того, чтобы выражение было истинно при всех x, нужно, чтобы было истинно там, где ложно (жёлтая область на рисунке)
   

5. 
   поэтому максимальный отрезок, где A может быть истинно (и, соответственно, ложно) – это отрезок [10,55], имеющий длину 45
   
6. 
   Ответ: 4.
   

Ещё пример задания:

Р-10. На числовой прямой даны два отрезка: P = [10,20] и Q = [25, 55]. Определите наибольшую возможную длину отрезка A, при котором формула

( x  A) → ((x  P)  (x Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) 10 2) 20 3) 30 4) 45

Решение:

1. 
   для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами
   

A: x  А, P: x  P, Q: x  Q

2. 
   перейдем к более простым обозначениям
   

A → (P + Q)

3. 
   раскроем импликацию через операции НЕ и ИЛИ ( ):
   

4. 
   для того, чтобы выражение было истинно при всех x, нужно, чтобы было истинно там, где ложно (жёлтая область на рисунке)
   

5. 
   поскольку области истинности и разделены, максимальный отрезок, где A может быть истинно (и, соответственно, ложно) – это наибольший из отрезков и , то есть отрезок [25,55], имеющий длину 30
   
6. 
   Ответ: 3.
   

Ещё пример задания:

Р-09. На числовой прямой даны два отрезка: P = [14,34] и Q = [24, 44]. Выберите такой отрезок A, что формула

( x  A) → ((x  P)  (x Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.

1) [15, 29] 2) [25, 29] 3) [35,39] 4) [49,55]

Решение:

1. 
   для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами
   

A: x  А, P: x  P, Q: x  Q

2. 
   перейдем к более простым обозначениям
   

A → (P  Q)

3. 
   выражение R = (P  Q) истинно для всех значений x, при которых P и Q равны (либо оба ложны, либо оба истинны)
   
4. 
   нарисуем область истинности выражения R = (P  Q) на числовой оси (жёлтые области)
   

5. 
   импликация A → R истинна за исключением случая, когда A=1 и R=0, поэтому на полуотрезках [14,24[ и ]34,44], где R=0, выражение A должно быть обязательно ложно; никаких других ограничений не накладывается
   
6. 
   из предложенных ответов этому условия соответствуют отрезки [25,29] и [49,55]; по условию из них нужно выбрать самый длинный
   
7. 
   отрезок [25,29] имеет длину 4, а отрезок [49,55] – длину 6, поэтому выбираем отрезок [49, 55]
   
8. 
   Ответ: 4.