Логарифм. Откуда взялся Log
 Скачать 438.5 Kb.
|
|
«Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь» П.С.Лаплас Откуда взялся Log?Мы изучили показательные уравнения. Давайте повторим, решив одно из них.  = 32. (1) Запишем данное уравнение так: = , откуда х = 5.Напомним, что левую и правую части уравнения удалось представить в виде степени с одним и тем же основанием 2. А теперь, попробуем решить еще одно показательное уравнение. = 30. (2)Теперь, тех знаний с точки зрения решения показательных уравнений, недостаточно. Есть ли корень у этого показательного уравнения? Да, есть. Как его найти, если уравнение не решается привычным способом? И теперь, мы введем понятие «логарифм», которое поможет нам решить данное уравнение. Важно запомнить! Логарифм (от греч. λόγος – «слово», «отношение», άριθμός - «число») определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число. Для начала, представим наши показательные уравнения в виде стандартной формы (т.е. заменим числа с правой и левой стороны на а и b), напишем:  = b.Важно запомнить! Корень х уравнения = b будем находить так:х =  b, где а >0, а 1, b >0.Соотнесем теперь определение логарифма с (1) показательным уравнением: = 32 х = 32 х = 5, так как = 32Значит, 32 = 5, так как = 32.Мы решили показательное уравнение с помощью применение логарифма. Теперь, представим (2) показательное уравнение в виде логарифма и попробуем решить его: = 30 х = 30.х = 30 – это и есть корень уравнения = 30. На инженерном калькуляторе это будет приблизительно.Так откуда же взялся логарифм? А он взялся из-за потребности решить показательное уравнение, которое не решается привычным способом. Свойства логарифмовТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ  Логарифмом числа bпо основанию а  называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получилось b: Основное логарифмическое тождество 
Свойства логарифмов (образцы решения)         Другие виды обозначения логарифмов: логарифм числа b по основанию e (натуральный логарифм)  e = 2,718281828459045… – основание натурального логарифма; логарифм числа b по основанию 10 (десятичный логарифм)  10 – основание десятичного логарифма. Логарифмическая единица и логарифмический ноль  — это логарифмическая единица.Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию  от самого этого основания равен единице.Например:  . — это логарифмический ноль.Основание может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому, что  — это прямое следствие из определения.Например:  .
Историческая справка по теме. «Зачем и где применяются логарифмы» Знания логарифмов и основных логарифмических свойств необходимы для людей многих профессий: физиков, химиков, астрономов, психологов, географов и экологии. Логарифмы по основанию 10 до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки Логарифмическая линейка хорошо знакома нашим родителям. Она позволяет выполнять умножение и деление чисел, возведение в степень и вычисление квадратных и кубических корней. Шкала Рихтера - классификация силы землетрясений, созданная и представленная в 1935 г. геологом Чарльзом Рихтером. Шкала основана на принципе логарифма: каждое деление увеличивается в 10 раз, и его основанием является общая энергия, выделяемая при землетрясении. В 1858 году немецкий физик и психолог Густав Фехнер доказал, основной психофизический закон, в котором говорится, что интенсивность воспринимаемого нами ощущения пропорциональна логарифму силы раздражения. Его формулируют так: «При изменении силы раздражителя в геометрической прогрессии, интенсивность ощущения меняется в арифметической прогрессии». Логарифмы применяются и в психических явлениях. «Шкала Ландау» самый яркий пример. Знаменитый физик по ней оценивал заслуги своих коллег. Шкала была логарифмическая (классу 2 отвечали достижения в 10 раз меньше, чем для класса 1). Из физиков имел класс 0,5, Бор, Дирак, Гейзенберг имели класс 1 Астрономы измеряют «блеск» небесных светил в звездных величинах. Блеск в астрономии — величина пропорциональная логарифмусветового потока. Её направление обратное: чем больше значение звездной величины, тем слабее блеск объекта. Химическая шкала кислотности очень близка к шкале звездных величин. Чем выше кислотность, тем ниже значение индекса, основанием логарифма служит число 10. Играя на рояле, пианист играет на логарифмах. Ступени темперированной хроматической гаммы представляют логарифмы этих величин с основанием Логарифмическая спираль часто встречается в природе. Впервые логарифмическая спираль описана Декартом, а потом была исследована Бернулли. Паук Эпейра сплетая паутину, закручивает паутину, скручивая нити вокруг центра по логарифмической спирали. Живые существа обычно растут во всех направлениях, сохраняя общее начертание своей формы. Раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину им приходится скручиваться. Многие Галактики закручены по логарифмической спирали. Солнечная система, как одна из Галактик тоже закручена по такой спирали. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
уравнение: 
в 
следует, что логарифм не считается.
и применим формулу суммы:
Ответ: 
Имеем:
в виде логарифма с основанием 2.
— просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила 
