РЕШЕНИЯ_Пробныи__ЕГЭ__2__954a. Ответ 1 2 Ответ 0, 16
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
Пробный ЕГЭ №2 по математике Ответы и решения №1 Ответ: 1 №2 Ответ: 0, 16 №3 Ответ: 20 №4 Ответ: 1 №5 Ответ: 18 №6 Ответ: 3 №7 Ответ: 8, 5 №8 Ответ: 13 №9 Ответ: −1, 5 №10 Ответ: 0, 24 №11 Ответ: 19 №12 Ответ: а) x = πk, k ∈ Z б) 0 №13 Ответ: б) arccos 7 5 √ 3 №14 Ответ: (−6; − √ 30] ∪ [ √ 30; 6) №15 Ответ: 4, 4 №16 Ответ: б) 180 №17 Ответ: a ∈ {0} №18 Ответ: а) Да б) Нет в) 7 1 №1 Найдите корень уравнения 1 6 x−2 = 6 x Ответ 1 Решение Так как 1 6 = 6 −1 , 1 6 x−2 = (6 −1 ) x−2 = 6 −x+2 Следовательно, уравнение примет вид: 6 −x+2 = 6 x ⇔ −x + 2 = x ⇔ x = 1 №2 На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Италии и 6 пры- гунов из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что двадцать четвертым будет выступать прыгун из Италии. Ответ 0, 16 Решение Вероятность того, что прыгун из Италии будет выступать двадцать четвертым, такая же, как если он будет выступать первым, вторым и т.д. Из Италии 4 прыгуна, всего — 25 прыгунов, следовательно, вероятность равна 4 25 = 0, 16 №3 Две стороны треугольника равны 21 и 28. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 15. Найдите высоту треугольника, опущенную на меньшую из этих сторон. Ответ 20 Решение Так как площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание, к которому проведена эта высота, то S △ = 0, 5·15·28. С другой стороны, если обозначить за h высоту, проведенную к меньшей стороне, то S △ = 0, 5 · h · 21. Тогда 0, 5 · 15 · 28 = 0, 5 · h · 21 ⇔ h = 15 · 28 21 = 20 2 №4 Найдите значение выражения log 16 121 − log 4 2, 75. Ответ 1 Решение Преобразуем выражение: log 16 121 − log 4 2, 75 = 1 2 · 2 · log 4 11 − log 4 2, 75 = log 4 11 2, 75 = log 4 4 = 1 №5 Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, C 1 правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9. Ответ 18 Решение Многогранник, вершинами которого являются точки A, B, C, C 1 — это прямоугольная пирамида, основание которой — △ABC, высота — CC 1 = 9. Объем пирамиды равен 13 площади основания на высоту, следовательно, V ABCC 1 = 1 3 · 6 · 9 = 18 3 №6 На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (−0, 5; 4, 3). Определите коли- чество целых точек, в которых производная функции положительна. Ответ 3 Решение Для функции f (x), у которой производная в точке x 0 существует, f ′ (x 0 ) > 0 равносильно тому, что f (x) возрастает в x 0 На интервале (−0, 5; 4, 3) целыми являются точки 0, 1, 2, 3, 4. Среди этих точек f (x) возрастает только в 1, 2 и 4. Таким образом, производная функции y = f (x) положительна в 3 целых точках. №7 Емкость высоковольтного конденсатора в телевизоре C = 6·10 −6 Ф. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением R = 8·10 6 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U 0 = 34 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением t = αRC · log 2 U 0 U (c), где α = 0, 8 — постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выклю- чения телевизора прошло не менее 76, 8 секунды. Ответ дайте в кВ (киловольтах). Ответ 8, 5 Решение Из условия следует, что t ⩾ 76, 8. Подставим все значения из условия и получим следующее неравенство: 0, 8 · 8 · 10 6 · 6 · 10 −6 · log 2 34 U ⩾ 76, 8 ⇔ log 2 34 U ⩾ 2 ⇔ 34 U ⩾ 4 Так как U > 0, неравенство можно переписать в виде 34 ⩾ 4U ⇔ U ⩽ 8, 5 Следовательно, наибольшее возможное значение напряжения U = 8, 5 (кВ). 4 №8 Заказ на 221 деталь первый рабочий выполняет на 4 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 4 детали больше? Ответ 13 Решение Пусть t — время, за которое первый рабочий выполняет заказ на 221 деталь. Тогда t + 4 — время, за которое второй рабочий выполняет тот же заказ. Следовательно, 221 t — количество деталей, которое делает первый рабочий в час, 221 t+4 — количество деталей, которое делает в час второй рабочий. Получаем уравнение 221 t = 221 t + 4 + 4 · t(t + 4) ⇔ 221(t + 4) = 221t + 4t(t + 4) ⇔ t 2 + 4t − 221 = 0 Найдем корни полученного уравнения. Дискриминант D = 4 2 + 4 · 221 = 4 · 225 = (2 · 15) 2 . Следовательно, t = −4 ± 30 2 Так как t > 0, t = 13. Тогда второй рабочий в час делает 221 13 + 4 = 13. №9 На рисунке изображён график функции вида f (x) = a √ x − x 0 + y 0 , где числа a, x 0 и y 0 — действительные. Найдите значение f (7, 25). x y 1 1 0 Ответ −1, 5 Решение График функции f (x) = a √ x − x 0 + y 0 получается сдвигом графика функции g(x) = a √ x на x 0 вправо и на y 0 вверх, следовательно, вершина такого видоизмененного графика корня имеет координаты (x 0 ; y 0 ). По картинке несложно видеть, что вершина графика имеет координаты (1; − − 4), значит, функция имеет вид f (x) = a √ x − 1 + (−4) = a √ x − 1 − 4. Также по картинке видно, что в точке 2 функция равна −3. Это условие можно записать следующим образом: f (2) = a √ 2 − 1 − 4 = −3 ⇔ a − 4 = −3 ⇔ a = 1 5 Теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид f (x) = √ x − 1 − 4, тогда f (7, 25) = p 7, 25 − 1 − 4 = −1, 5 №10 Плейлист айпода содержит 25 треков, из которых 9 исполняет группа Битлз. Функция «shuffle» воспроиз- водит все треки в случайном порядке. Какова вероятность того, что трек Битлз будет играть вторым, причем первым будет воспроизведен трек другого исполнителя? Ответ 0, 24 Решение Посчитаем количество исходов, в которых вторую позицию занимает трек Битлз, причем первый трек дру- гого исполнителя. Количество способов выбрать первый трек (не Битлз) равно 25 − 9 = 16, количество способов выбрать второй трек (Битлз) равно 9, количество способов расставить оставшиеся 23 трека на 23 позициях равно 23!. Получаем 16 · 9 · 23! исходов. Общее количество исходов равно 25! (просто количество перестановок из 25 попарно различных элементов). Тогда искомая вероятность равна отношению p = 16 · 9 · 23! 25! = 16 · 9 25 · 24 = 0, 24 №11 Найдите наибольшее значение функции y = 12 ln(x + 2) − 12x + 7 на отрезке [−1, 5; 0]. Ответ 19 Решение Заметим, что функция определена при x > −2. Для того, чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, изобразим схематично график функции. 1. Найдем производную: y ′ = 12 · (x + 2) ′ x + 2 − 12 = 12 x + 2 − 12 2. Найдем нули производной 12 x + 2 − 12 = 0 ⇒ x = −1 3. Определим знаки y ′ на получившихся промежутках и затем изобразим схематично график функции y: 6 Таким образом, мы видим, что до −1 функция возрастает, затем — убывает, следовательно, на отрезке [−1, 5; 0] наибольшее значение функция принимает в точке x = −1: y(−1) = 12 · ln(−1 + 2) − 12 · (−1) + 7 = 19 7 №12 а) Решите уравнение sin x + π 6 sin x − π 6 + 1 = 3 4 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку h − π 2 ; π Ответ а) x = πk, k ∈ Z б) 0 Решение а) sin x + π 6 sin x − π 6 + 1 = 3 4 ⇔ sin x cos π 6 + sin π 6 cos x sin x cos − π 6 + sin − π 6 cos x + 1 = 3 4 ⇔ ⇔ sin x cos π 6 + sin π 6 cos x sin x cos π 6 − sin π 6 cos x + 1 = 3 4 ⇔ ⇔ sin x cos π 6 2 − sin π 6 cos x 2 + 1 = 3 4 ⇔ 3 4 sin 2 x − 1 4 cos 2 x + 1 = 3 4 ⇔ ⇔ 3 sin 2 x − cos 2 x = −1 ⇔ 3 sin 2 x − cos 2 x = − sin 2 x − cos 2 x ⇔ 4 sin 2 x = 0 ⇔ ⇔ sin x = 0 ⇔ x = πk, k ∈ Z б) Помним, что k ∈ Z. − π 2 ⩽ πk < π ⇔ − 1 2 ⩽ k < 1 ⇔ k = 0, x = 0 8 №13 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 — куб. На ребре BB 1 отмечена точка K так, что KB : KB 1 = 3 : 1. Через точки K и A 1 проведена плоскость π, параллельная прямой BD 1 а) Докажите, что C 1 M : M B 1 = 2 : 1, где M — точка пересечения плоскости π с ребром B 1 C 1 б) Пусть N — точка пересечения плоскости π и прямой B 1 D 1 . Найдите угол M KN . Ответ б) arccos 7 5 √ 3 Решение а) Рассмотрим треугольник BB 1 D 1 . Пусть N — точка на B 1 D 1 такая, что KN ∥ BD 1 . Плоскость π проходит через точку N , так как π ∥ BD 1 , и π проходит через точку K, а KN ∥ BD 1 Тогда M — точка пересечения A 1 N и B 1 C 1 . Так как KN ∥ BD 1 , то ∠B 1 KN = ∠B 1 BD 1 . Рассмотрим треугольники B 1 KN и B 1 BD 1 . Они подобны по двум углам, откуда B 1 N B 1 D 1 = B 1 K B 1 B = B 1 K B 1 K + KB = B 1 K B 1 K + 3B 1 K = 1 4 , следовательно, B 1 N N D 1 = B 1 N B 1 D 1 − B 1 N = B 1 N 4B 1 N − B 1 N = 1 3 Рассмотрим треугольники A 1 N D 1 и B 1 N M . Так как B 1 M ∥ A 1 D 1 , то ∠N B 1 M = ∠N D 1 A 1 , ∠N M B 1 = ∠N A 1 D 1 , следовательно, треугольники A 1 N D 1 и M N B 1 подобны по двум углам, откуда B 1 M A 1 D 1 = B 1 N N D 1 = 1 3 , следовательно, B 1 M = 1 3 B 1 C 1 , откуда и получается доказываемое утверждение. б) Обозначим длину стороны куба через a. Из отношений, данных в условии, следует, что B 1 K = 1 4 a, B 1 M = 1 3 a. B 1 D 1 = √ 2a как диагональ квадрата со стороной a. По теореме Пифагора для треугольника A 1 B 1 M A 1 M = q A 1 B 2 1 + B 1 M 2 = r a 2 + a 2 9 = a √ 10 3 9 В пункте а) уже было доказано, что △B 1 M N ∼ △D 1 A 1 N с коэффициентом 1 : 3. Тогда M N = 1 3 N A 1 ⇒ M N = 1 4 A 1 M = √ 10 12 a B 1 N = 1 3 N D 1 ⇒ B 1 N = 1 4 B 1 D 1 = √ 2 4 a По теоремам Пифагора для треугольников B 1 N K и B 1 M K соответственно N K = p B 1 N 2 + B 1 K 2 = r 1 8 a 2 + 1 16 a 2 = √ 3 4 a M K = p B 1 M 2 + B 1 K 2 = r 1 9 a 2 + 1 16 a 2 = 5 12 a По теореме косинусов для треугольника M N K cos ∠M KN = M K 2 + KN 2 − M N 2 2M K · KN = 25 144 a 2 + 3 16 a 2 − 10 144 a 2 2 · 5 12 a · √ 3 4 a = 42 144 5 √ 3 24 = 7 5 √ 3 ⇒ ∠M KN = arccos 7 5 √ 3 10 №14 Решите неравенство log 2 6 (36 − x 2 ) − 8 log 6 (36 − x 2 ) + 7 ⩾ 0 Ответ (−6; − √ 30] ∪ [ √ 30; 6) Решение ОДЗ: 36 − x 2 > 0 ⇔ x ∈ (−6; 6) Решим на ОДЗ. Сделаем замену t = log 6 (36 − x 2 ): t 2 − 8t + 7 ⩾ 0 ⇔ (t − 7)(t − 1) ⩾ 0 По методу интервалов: откуда t ⩽ 1 или t ⩾ 7. 1. t ⩽ 1, тогда на ОДЗ log 6 (36 − x 2 ) ⩽ 1 ⇔ log 6 (36 − x 2 ) ⩽ log 6 6 ⇔ 36 − x 2 ⩽ 6 ⇔ x 2 ⩾ 30 , откуда с учетом ОДЗ x ∈ (−6; − √ 30] ∪ [ √ 30; 6). 2. t ⩾ 7, тогда на ОДЗ log 6 (36 − x 2 ) ⩾ 7 ⇔ log 6 (36 − x 2 ) ⩾ log 6 6 7 ⇔ 36 − x 2 ⩾ 6 7 , но тогда x 2 ⩽ 6 2 − 6 7 < 0, чего быть не может. Ответ: x ∈ (−6; − √ 30] ∪ [ √ 30; 6) . 11 №15 Семья взяла в банке ипотечный кредит под 10% годовых на 8 лет. Условия погашения кредита следующие: по истечении каждого года заемщик погашает банку начисленные проценты за год и 1 8 часть основной суммы. Какую сумму семья взяла в банке, если последний платеж, которым она полностью погасила кредит, составил 605 тысяч рублей? Ответ дайте в миллионах рублей. Ответ 4, 4 Решение Из условия можно сделать вывод, что система платежей по кредиту дифференцированная. Пусть в ипотеку было взято A тыс. рублей. Составим таблицу: Год Долг до начисления проц. Долг после начисления проц. Платеж 1 A A + 0, 1A 0, 1A + 1 8 A 2 7 8 A 7 8 A + 0, 1 · 7 8 A 0, 1 · 7 8 A + 1 8 A 8 1 8 A 1 8 A + 0, 1 · 1 8 A 0, 1 · 1 8 A + 1 8 A Таким образом, последний платеж равен 1 8 A + 0, 1 · 1 8 A = 605 ⇔ A = 4400 Следовательно, в кредит было взято 4400 тыс. рублей или 4,4 млн. рублей. 12 №16 Медианы AA 1 , BB 1 , CC 1 треугольника ABC пересекаются в точке M . Известно, что AC = 3M B. а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите сумму квадратов медиан AA 1 и CC 1 , если известно, что AC = 12. Ответ б) 180 Решение а) Пусть BM = x, тогда AC = 3x. Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины, то M B 1 = 0, 5x, следовательно, BB 1 = 1, 5x. Следовательно, AB 1 = B 1 C = BB 1 = 1, 5x. Следова- тельно, △ABC прямоугольный с ∠B = 90 ◦ б) Обозначим AB = 2a, BC = 2b. Тогда по теореме Пифагора AA 2 1 = 4a 2 + b 2 CC 2 1 = a 2 + 4b 2 Отсюда AA 2 1 + CC 2 1 = 5(a 2 + b 2 ). Так как по теореме Пифагора из △ABC: 4a 2 + 4b 2 = 12 2 , то a 2 + b 2 = 36. Следовательно, AA 2 1 + CC 2 1 = 5(a 2 + b 2 ) = 5 · 36 = 180 13 №17 При каких значениях параметра a уравнение a 2 x 2 + (2a 2 − 3)x + a 2 + 1 = 0 имеет решения, и все его корни принадлежат промежутку (0; 1)? Ответ a ∈ {0} Решение Сначала рассмотрим отдельно случай a = 0. Квадратное уравнение обращается в линейное −3x + 1 = ⇔ x = 1 3 ∈ (0; 1) Получили, что a = 0 входит в искомое множество. Далее считаем, что a ̸= 0. Тогда мы имеем дело с параболой f (x) = a 2 x 2 + (2a 2 − 3)x + a 2 + 1 = 0, ветви которой направлены вверх при любых a, т.к. a 2 ⩾ 0. Дискриминант должен быть неотрицательным, чтобы урав- нение имело решения. Чтобы точки пересечения параболы с осью x (то есть решения уравнения) принадлежали промежутку (0; 1), ее вершина x верш = − 2a 2 −3 2a 2 = −1 + 3 2a 2 должна принадлежать этому промежутку, а значения в концах промежутка должны быть строго положительны. Соответствующее расположение изображено ниже. Решим систему с перечисленными условиями D = (2a 2 − 3) 2 − 4a 2 (a 2 + 1) = 9 − 16a 2 ⩾ 0 0 < x верш = −1 + 3 2a 2 < 1 f (0) = a 2 + 1 > 0 f (1) = a 2 + (2a 2 − 3) + a 2 + 1 = 4a 2 − 2 > 0 ⇔ a 2 ⩽ 9 16 3 4 < a 2 < 3 2 a ∈ R a 2 > 1 2 ⇔ a ∈ − 3 4 ; 3 4 a ∈ − q 3 2 ; − √ 3 2 ∪ √ 3 2 ; q 3 2 a ∈ R a ∈ −∞; − 1 √ 2 ∪ 1 √ 2 ; +∞ 3 4 < 1 < √ 3 2 , следовательно, пересечение множеств − 3 4 ; 3 4 и − q 3 2 ; − √ 3 2 ∪ √ 3 2 ; q 3 2 пусто, и решение всей системы — пустое множество. Таким образом, единственное подходящее a = 0. 14 №18 По кругу в некотором порядке по одному разу написаны числа от 9 до 18. Для каждой из десяти пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель. а) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1? б) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители попарно различны? в) Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло при этом полу- читься? Ответ а) Да б) Нет в) 7 Решение а) Да, например так: б) Рассмотрим число 13, оно простое и взаимно просто со всеми остальными числами, следовательно оба НОДа с его участием будут равны 1. Значит, такое невозможно. в) Рассмотрим числа 11, 13 и 17. Они простые и взаимно просты со всеми остальными числами, следова- тельно, все НОДы с их участием будут равны 1. Пусть они стоят по кругу в некотором порядке. Каждое из чисел участвует ровно в двух НОДах. Пусть p — количество пар соседних среди наших чисел, тогда очевидно, что p < 3, а количество НОДов единичек не менее, чем 6 − p > 4. Всего 10 НОДов, среди которых хотя бы 4 единицы, значит, различных НОДов не более, чем 7. Пример (мы уже знаем, что для достижения максимума 11, 13 и 17 должны стоять подряд): 15 |