беля. Первообразная Определение
![]()
|
Первообразная Определение. Первообразной для функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример. Найти первообразную для функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, если функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема: Если функция ![]() ![]() Определение неопределенного интеграла и его свойства. Определение: Неопределенным интегралом для функции ![]() ![]() Неопределенный интеграл обозначается ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Свойства неопределенного интеграла: Доказательство. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, действие интегрирования проверяется дифференцированием. Свойство 2 вытекает из свойства 1.
![]()
Таблица интегралов. Из определения интеграла и формул дифференцирования функций следуют равенства:
Все формулы проверяются дифференцированием. 1.3. Замена переменной в неопределенном интеграле. Замена переменной в неопределенном интеграле есть действие обратное дифференцированию сложной функции. 2.1. Интегрирование по частям. Интегрирование по частям есть действие обратное дифференцированию произведения. Имеем: ![]() Проинтегрируем обе части равенства: ![]() ![]()
Пример ![]() ![]() Замечание: Если под знаком интеграла имеем дробь ![]() Пример ![]() 2.2. Интегрирование заменой переменной. Рассмотрим формулу (1) в следующем виде: ![]() ![]() ![]() ![]() 2.3. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной дроби на простейшие. Определение: Рациональной дробью называется отношение двух многочленов. ![]() ![]() ![]() Определение: Рациональная дробь ![]() ![]() Всякая неправильная дробь всегда может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Это достигается делением числителя на знаменатель. Отсюда следует, что интегрирование неправильной рациональной дроби всегда можно свести к интегрированию правильной рациональной дроби. В дальнейшем мы покажем, что всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших рациональных дробей. К простейшим рациональным дробям относятся дроби: 1) ![]() ![]() 2) ![]() ![]() Теорема: Всякую правильную рациональную дробь всегда можно представить в виде суммы простейших рациональных дробей в следующем виде: ![]() где А, В, С с соответствующими индексами – неопределенные коэффициенты. 3. Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений. 3.1. Интегрирование простейших рациональных дробей. ![]() ![]() ![]() Рекуррентная (возвратная формула) ![]() 3.2. Интегрирование тригонометрических выражений. Мы будем рассматривать ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Например: ![]() 3.2.1. Универсальная подстановка. Интеграл ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В результате получаем: ![]() 3.2.2. Теперь предположим, что ![]() ![]() ![]() В этом случае была сделана замена ![]() 3.2.3. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() 3.2.4. Теперь рассмотрим тот случай, когда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В результате замены переменной получим: ![]() Определенный интеграл Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная прямой l, двумя прямыми, перпендикулярными прямой l и непрерывной кривой, которая расположена по одну сторону от прямой l и любой прямой, перпендикулярной l, пересекается не более чем в одной точке. ![]() Если прямую l взять за ось OX; OY ![]() Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная осью OX, прямыми x=a; x=b и графиком непрерывной функции ![]() ![]() ![]() Определение определенного интеграла Определение. Конечный предел интегральных сумм при ![]() ![]() Определенный интеграл обозначается следующим образом: ![]() ![]() ![]() ![]() Определение определенного интеграла можно записать в следующем виде: ![]() если последний предел существует. Геометрический смысл определенного интеграла. Если подынтегральная функция ![]() ![]() ![]() Механический смысл определенного интеграла. Если подынтегральная функция непрерывна и неотрицательна на ![]() ![]() ![]() ![]() 5.3. Теорема существования определенного интеграла. Если ![]() ![]() ![]() 5.4. Свойства определенного интеграла. 1) ![]() 2) ![]() 3) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. ![]() 4) ![]() 5) ![]() 6) ![]() 7) Если ![]() ![]() ![]() ![]() 8) Если ![]() ![]() ![]() 9) Теорема об оценке интеграла. ![]() ![]() ![]() Замечание: свойства 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 справедливы, если соответствующие интегралы существуют. 10) Теорема о среднем. Если ![]() ![]() ![]() ![]() Формула Ньютона-Лейбница. Теорема. Справедлива формула ![]() ![]() 6.4. Замена переменной в определенном интеграле. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Справедлива формула ![]() 9.1.1. Пусть некоторая кривая является графиком функции ![]() ![]() ![]() ![]() ДИФ УРАВНЕНИЯ Определение . Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную, неизвестную функцию и производные неизвестной функции. Дифференциальное уравнение в общем виде можно записать следующим образом: ![]() ![]() ![]() Определение . Порядком дифференциальнрого уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение. Например: ![]() Определение . Функция ![]() 12. Дифференциальные уравнения 1го порядка. В общем виде дифференциальное уравнение первого порядка записывается следующим образом: ![]() В частных случаях в левую часть уравнения в явном виде могут не входить ![]() ![]() ![]() КОШИ Теорема Коши: Если функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Определение . Любое решение задачи Коши называется частным решением дифуравнения. Определение . Совокупность всех частных решений дифуравнения называется общим решением этого уравнения. Задача Коши: Найти решение дифуравнения ![]() ![]() Определение . Дифференциальное уравнение называется разрешимым в квадратурах, если его общее решение может быть получено с помощью конечного числа операций интегрирования. 12.2. Дифуравнение с разделяющимися переменными. Определение . Уравнение вида ![]() Для решения дифуравнения с разделяющимися переменными надо разделить переменные и проинтегрировать. 1. ![]() ![]() ![]() 2. ![]() ![]() ![]() 3. ![]() Разделив обе части равенства на ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 12.3. Однородные дифуравнения первого порядка. Определение . Дифференциальное уравнение вида ![]() Это уравнение с помощью замены ![]() ![]() ![]() 12.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Определение . Дифференциальное уравнение вида: ![]() ![]() называется линейным уравнением. Решение линейного уравнения можно искать в виде: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 12.5 Уравнения Бернулли Определение . Уравнение вида ![]() называется уравнением Бернулли. Если ![]() ![]() Решение уравнения Бернулли можно искать в виде ![]() 13. Дифференциальные уравнения 2го порядка. В общем случае дифуравнение 2го порядка имеет вид: ![]() Если уравнение разрешено относительно второй производной, то оно имеет следующий вид: ![]() 13.1. Задача Коши для уравнения 2го порядка. Теорема Коши о существовании и единственности решения задачи Коши. Задача Коши: Найти решение уравнения ![]() ![]() Теорема Коши: Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Определение . Всякое решение задачи Коши называется частным решением дифуравнения. Определение . Совокупность всех частных решений называется общим решением дифуравнения. Общее решение дифуравнения 2го порядка зависит от двух произвольных постоянных. 13.2. Дифуравнения 2го порядка, допускающие понижение порядка. 13.2.1. Рассмотрим уравнение вида: ![]() ![]() ![]() ![]() решение, получим искомое частное решение ![]() 13.2.2. Уравнение не содержит в явном виде ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 13.2.3. Уравнение не содержит в явном виде ![]() ![]() В этом случае делается замена ![]() ![]() 14. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка . Уравнение вида ![]() называется линейным уравнением второго порядка. Если f(x)= 0, то уравнение (21) называется однородным, если же f(x) ≠0, то уравнение (21) называется неоднородным. Линейный дифференциальный оператор второго порядка.Определение. Оператором Aиз множества Х во множество Y называется соответствие, которое по определенному закону каждому элементу х ϵ Х сопоставляет однозначно элемент А(х) ϵ Y. Множество Х называется областью определения оператора А и обозначается D(A), множество { A(x), х ϵ Х } называется областью значений оператора и обозначается R(A). Часто вместо А(х) пишут Ах. Определение. Оператор А(х) называется линейным, если А(α ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Определение. Оператор L(y)= ![]()
![]() Уравнение (23) можно записать в виде L(y)=0 . Легко видеть, что функция ![]() Теорема. Если ![]() ![]() ![]() ![]() Основная теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка.Определение. Система функций ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Определение. Линейно независимая система решений ![]() Теорема. Для того, чтобы система решений ![]() ![]() Определитель Вронского и его свойства.Определителем Вронского или кратко вронскианом системы двух частных решений ![]() ![]() Теорема. Если ![]() ![]() Теорема. Если ![]() ![]() Теорема. Вронскиан двух частных решений тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда система решений ![]() Формула Остроградского-Лиувилля.Пусть ![]() ![]() ![]() W(x)=W(x0) ![]() Полученная формула называется формулой Остроградского-Лиувилля. Существование фундаментальной системы решений Л.О.Д.У.(23).Теорема. Каждое ЛО.Д.У.(3) имеет фундаментальную систему решений ![]() Основная теорема о структуре общего решения Л.О.Д.У.Теорема. Общее решение Л.О.Д.У. может быть записано в виде линейной комбинации фундаментальной системы решений y1(х) и у2(х), т.е. у=с1у1(х)+с2у2(х) Решение уравнения будем искать в виде y= ![]() ![]()
Данное уравнение имеет вид: y”+ay’+by=0, где a и b действительные числа. y”= ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Последнее уравнение называется характеристическим уравнением для данного Л.О.Д.У. Возможны следующие три случая:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
В этом случае мы получаем два частных решения ![]() ![]() Неудобство состоит в том, что оба решения записаны в комплексной форме, а мы хотим найти общее решение в действительной форме. Мы применим формулы Эйлера ![]() ![]() По теореме 2 функции y1(x)= ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() y= ![]() Пример 3. Решить уравнение y”+3y’-4y=0 Решение. Составим характеристическое уравнение k2+3k-4=0. Корнями уравнения являются k1=-4, k2=1, y(x)=c1 ![]() Пример 4. Решить уравнение y”-2y’+y=0 Решение. K2-2k+1=0, k1,2=1, y(x)= ![]() Пример 5. Решить уравнение y”+y=0. Решение. K2+1=0, k2=-1, k1,2=±i, α=0, β=1. y(x)= ![]()
Уравнение вида: ![]() где f(x)≠0 называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка (Л.Н.Д.У.). Основная теорема о структуре общего решения Л.Н.Д.У.Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения может быть представлено в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и некоторого частного решения данного неоднородного решения, т.е. y(x) = ![]() ![]() Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: y(x) = ![]() ![]() Будем предполагать, что ![]() ![]() Метод подбора частного решения Л.Н.Д.У. 2-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью ![]() где а-const,b-const, Pn(x) и Qm(x)-многочлены соответственно степеней n и m. Общее решение такого уравнения записывается в виде y=ȳ(x)+y*(x), где ȳ(x) – общее решение соответствующего однородного уравнения y’’ + + ay’ + by = 0. Решение такого уравнения рассмотрено в п.1.3.5. Частное решение данного неоднородного уравнения ищется в виде: y*(x) =x ͬ eαx(Qs(1) (x) cos βx + Qs(2)(x) sin βx), где r – кратность чисел α±β как корня характеристического уравнения k² + ak + b = 0, s= max(n,m), Qs(1) (x) и Qs(2)(x) – многочлены степени s с неопределенными коэффициентами. Теорема о наложении частных решений.Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение вида: ![]() Если y*1(x) есть частное решение уравнения ![]() а y*2(x) есть частное решение уравнения ![]() то y*(x)= y*1(x)+ y*2(x) есть частное решение данного уравнения. ЛОДУn-го порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим уравнение (2): ![]() Его характеристическое уравнение имеет вид: ![]() |