Петербургский государственный университет путей сообщения
![]()
|
Федеральное агентство железнодорожного транспорта Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Кафедра физики ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЛАБОРАТОРНОГОФИЗИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА(Учебное пособие для студентов всех форм обучения)Громова Е.С. Панюшкин А.В. Бодунов Е.Н. CАНКТ–ПЕТЕРБУРГ 2008 ВВЕДЕНИЕОсновная задача всякого физического эксперимента, в том числе и лабораторного, состоит в измерении физических величин. Измерить какую-либо физическую величину – значит сравнить ее с другой однородной физической величиной, условно принятой за единицу измерения. В результате каждого отдельного измерения (оно называется наблюдением) получают числовое значение измеряемой величины. Измерения принципиально не могут быть абсолютно точными. Никакие измерения не дают возможности получить истинное значение измеряемой величины, что объясняется как принципиально ограниченной точностью приборов, так и природой самих измеряемых объектов. Всегда имеется некоторая неопределенность в значении измеряемой величины. Эта неопределенность характеризуется погрешностью – отклонением измеренного значения величины от ее истинного значения. Многократно измеряя любую физическую величину, можно, вообще говоря, получить какие угодно результаты. Например, измеряя длину некоторого тела, получили значения 171, 172, 169, 173, 170, 169, 171 см, а также 170 мм и 169 дм. Результаты двух последних измерений могут быть и ошибочными, являясь, например, следствием небрежного ведения записей. Однако, их наличие подчеркивает то обстоятельство, что принципиально и результат измерений, и его погрешность могут быть любыми, и, следовательно, оценивать точность измерения указанием результата и его погрешности, неверно – они могут принимать любые значения. Вместе с тем из анализа вышеприведенного ряда результатов видно, что большие по величине погрешности (соответствующие, по-видимому, двум последним результатам) маловероятны. Отсюда следует, что для правильной характеристики точности результата необходимо указывать не только величину погрешности, но и соответствующее ей значение вероятности. Таким образом, при выполнении измерений и обработке их результатов каждый экспериментатор должен иметь в виду следующие обстоятельства. 1) Всякое измерение должно по возможности быть проверено путем многократного повторения. 2) При измерении может быть получен лишь приближенный результат. 3) Степень приближенности результата должна быть задана величиной погрешности. 4) Степень доверия к найденным границам погрешности выражается значением ее вероятности. АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ Абсолютная погрешность ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() Абсолютная погрешность выражается в тех же единицах, что и сама измеряемая величина. Значения абсолютной погрешности могут быть как положительными, так и отрицательными. Для характеристики точности измерений недостаточно оперировать только значением абсолютной погрешности. Важно знать, какую долю составляет эта погрешность от значения измеряемой величины. Отношение ![]() называется относительной погрешностью ![]() Заметим, что выражения (1) и (2) определяют истинные значения абсолютной и относительной ошибок, которые не могут быть определены также как и истинное значение самой измеряемой величины. На практике вместо истинного значения величины ![]() ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ При обработке результатов измерений любой физической величины возникают две задачи. Первая состоит в нахождении по набору данных наилучшей оценки измеряемой величины ![]() ![]() Результат измерения физической величины представляют в виде ![]() ![]() Приведенная запись означает, что существует определенная степень уверенности в том, что значение измеряемой величины находится в пределах рассчитанного по результатам наблюдений интервала ![]() ![]() Указание значения доверительной вероятности ![]() ![]() ![]() Значения доверительной погрешности и доверительной вероятности однозначно связаны друг с другом, а именно: чем больше погрешность, тем больше вероятность того, что результат измерений находится в указанных пределах, и наоборот. ВИДЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ По характеру, происхождению, а также по способам оценки и исключения влияния на результат измерений погрешности делят на три основные группы: случайные, систематические и грубые (промахи). Систематические и грубые погрешности определяются факторами, чуждыми условиям и проведению эксперимента. Погрешности такого рода могут быть исключены путем тщательных проверок. Систематические погрешности связаны с ограниченной точностью прибора и метода измерений, а также округлением при считывании значения со шкалы. Когда причины, вызывающие эти погрешности, известны, их можно исключить, уточняя метод измерения и вводя поправки к показаниям приборов. Систематические погрешности не уменьшаются с увеличением числа измерений. Грубые погрешности (промахи) обычно связаны с отсутствием достаточной квалификации экспериментатора, неправильным отсчетом по прибору, неправильной записью результата наблюдения, невнимательностью и т.п. Обычно грубые погрешности хорошо заметны, т.к. при многократно проделанных измерениях соответствующие промахам результаты резко отличаются от остальных. Такие погрешности могут возникать в результате неустойчивой работы установки или отдельного прибора. Они могут быть устранены путем повторных измерений или снятием показаний другим экспериментатором. Случайные погрешности обусловливаются большим количеством трудноучитываемых факторов, влияющих как на измерительные устройства, исследуемый физический объект или процесс, так и на самого экспериментатора. Такими факторами могут быть, например, колебания температуры элементов установки, напряженностей электрического и магнитного полей, движение воздуха, вибрация зданий и приборов, трение в движущихся элементах, погрешности при отсчете делений шкалы и т.п. Исключить случайные погрешности отдельных измерений невозможно, но величину таких погрешностей можно оценить, проводя повторные (многократные) измерения. Оценка величины случайных погрешностей производится с помощью аппарата математической статистики и теории вероятностей. ПРЯМЫЕ И КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ По способу получения результата измерения делятся на прямые и косвенные. Если значение физической величины находят непосредственным отсчетом по шкале прибора, то такие измерения называются прямыми (измерения давления барометром, температуры – термометром, времени – секундомером, длины – штангенциркулем или линейкой, силы тока – амперметром и т.п.). Эти измерения могут быть однократными и многократными. Многократное измерение – повторение экспериментельной операции, в результате которой получается одно из значений измеряемой величины ![]() Часто прямое измерение физической величины оказывается невозможным или слишком трудоемким. При косвенных измерениях результат определяется по формулам на основе результатов прямых измерений других величин (например, определение электрического cопротивления образца по измеренным силе тока и напряжению). Одну и ту же величину часто можно найти путем как прямых, так и косвенных измерений. Например, скорость автомобиля может быть определена по спидометру (прямое измерение) или найдена делением пройденного пути на время движения (косвенное измерение). При косвенных измерениях погрешность искомой физической величины накапливается из погрешностей прямых измерений величин, входящих в расчетную формулу. ПОГРЕШНОСТИ МНОГОКРАТНЫХ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ(случайные погрешности) Пусть изучается физическая величина ![]() ![]() ![]() причем все измерения выполнены одним и тем же методом и с одинаковой степенью тщательности. Этот ряд значений величины называется выборкой. Предположим, что на результат измерений оказывают действие только случайные (неконтролируемые) факторы, а промахи и систематические ошибки отсутствуют. Задача экспериментатора состоит в том, чтобы найти наилучшую оценку и доверительную погрешность результата измерений для заданного значения доверительной вероятности. (При обработке экспериментальных результатов можно поступать и по–другому: произвольно задавать значение доверительной погрешности и вычислять соответствующее ей значение вероятности). Указанная задача строго решается с помощью теории вероятностей и математической статистики. В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются установленному Гауссом нормальному закону распределения, вид которого может быть получен на основании следующих предположений: 1) величина случайной погрешности может иметь любое значение; 2) вероятность появления погрешности снижается с ростом ее величины – большие погрешности маловероятны; 3) погрешности, равные по величине, но разные по знаку, встречаются одинаково часто – равные по модулю погрешности равновероятны. Выведенный на основе указанных предположений закон нормального распределения случайных величин (распределение Гаусса) выражается формулой ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Параметр ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() т.е. вероятность того, что случайная величина ![]() ![]() Поскольку максимальное значение плотность вероятности ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис.1. Нормальное (гауссово) распределение (1 – , 2 – /2, 3 – /4) . Из теории следует, что наилучшей оценкой истинного значения ![]() ![]() ![]() Заметим также, что с увеличением значения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() которая характеризует ошибку каждого отдельного измерения и при неограниченном увеличении числа наблюдений ( ![]() ![]() Если произвести несколько серий многократных измерений, т.е. получить несколько выборок и для каждой вычислить выборочное среднее, то получим выборку для новой случайной величины ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Это означает, что выборочное среднее ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В выражениях (5) и (6) обозначение среднеквадратичной ошибки ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При проведении реальных технических измерений число отдельных измерений, как правило, невелико и лежит в пределах от ![]() ![]() ( ![]() ![]() ![]() ![]() Таблица 1 Коэффициенты Стьюдента ![]()
Выполнение и обработку результатов прямых многократных измерений рекомендуется производить в следующем порядке. 1. Прямыми измерениями получить ряд значений ![]() 2. Вычислить среднеарифметическое значение результата измерений ![]() ![]() 3. Вычислить отклонения отдельных результатов наблюдений от среднего ![]() 4. Вычислить значения ![]() ![]() 5. Для данных значений числа измерений ![]() ![]() ![]() ![]() 6. Округлив погрешность и предварительный результат, записать окончательный результат измерений в виде ![]() ![]() Пример. Обработка результатов прямых многократных измерений диметра ![]() Получены 6 значений ![]() |