Петербургский государственный университет путей сообщения
![]()
|
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ В большинстве экспериментов интересующая нас величина непосредственно не измеряется. Вместо этого измеряются другие величины (аргументы) ![]() ![]() ![]() Если для каждого аргумента в выражении (11) экспериментально найдены средние значения ![]() ![]() ![]() ![]() получающееся при подстановке в выражение (11) вместо истинных значений аргументов их средних экспериментальных значений. Доверительная погрешность ![]() ![]() ![]() ![]() Полное приращение ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рассматривая в выражении (12) величины ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, для того чтобы определить абсолютную погрешность результата косвенного измерения, следует найти частные производные функции ![]() ![]() При расчете погрешностей по формуле (13) допустимо пренебрегать теми слагаемыми подкоренного выражения, которые по крайней мере в 2 – 3 раза меньше максимального. (коэффициент 3 применяется в тех случаях, когда слагаемых много и малые погрешности могут внести заметный вклад в общую погрешность). Это соображение существенно упрощает расчет погрешности, а также позволяет четко выявить тот аргумент, погрешность которого имеет определяющее значение. Данный подход удобен при обсуждении результатов и важен для поиска путей повышения точности результатов. Если искомая функция ![]() ![]() ![]() и вместо выражения (13) получают следующее соотношение ![]() Заметим, что правая часть выражения (15) дает значение относительной погрешности ![]() Окончательно рекомендуется следующий алгоритм обработки результатов косвенных измерений. 1. Выполнить (однократные или многократные) прямые измерения аргументов ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() (Подразумевается, что величина ![]() 2. Найти среднеарифметические значение аргументов ![]() ![]() ![]() 3. Вычислить абсолютные погрешности отдельных результатов наблюдений для каждого аргумента (при многократных его измерениях), а также их квадраты и соответствующие суммы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 4. Для данных значений ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 5. Если функция ![]() ![]() В противном случае опредлить доверительную погрешность ![]() ![]() 6. Вычислить предварительный результат измерений ![]() 7. Округлив результат измерений и погрешность, записать окончательный результат в виде ![]() ![]() НЕВОСПРОИЗВОДИМЫЕ КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ Иногда при выполнении косвенных измерений невозможно повторить наблюдения в тождественных условиях относительно одного или нескольких аргументов измеряемой функции. Например, при измерении коэффициента вязкости жидкости в нее бросают металлические шарики (дробинки). Каждый из брошенных в жидкость шариков сразу же достать нельзя. Условия опытов, повторенных с разными шариками, не будут одинаковыми из-за различия размеров и формы шариков, различного состояния их поверхностей и т.д. В этом случае говорят, что косвенные измерения невоспроизводимы. Тем не менее коэффициент вязкости характеризует одну и ту же исследуемую жидкость, и расчет должен давать близкие значения этого коэффициента для всех шариков. Для невоспроизводимых косвенных измерений рекомендуется следующий порядок обработки их результатов. 1) Определить значение искомой функции ![]() ![]() ![]() ![]() 2) Каждое из определенных таким образом значений ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() а погрешность вычисляется по формуле (как случайная погрешность) ![]() т.е. по правилам обработки результатов прямых многократных измерений. ПРИМЕРЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ Пример 1. В работе № 103 коэффициент поверхностного натяжения жидкости определяется по расчетной формуле ![]() где ![]() ![]() ![]() Для получения расчетной формулы погрешности учтем, что выражение (16) относительно удобно для логарифмирования (содержит три множителя: ![]() ![]() Прологарифмировав выражение (16), получим ![]() Находим частные производные ![]() ![]() ![]() ![]() Выражение для расчета относительной погрешности будет ![]() Отсутствие в данной формуле значения относительной погрешности числа ![]() Пример 2. В работе № 108 требуется определить отношение теплоемкостей (коэффициент Пуассона) воздуха ![]() ![]() где ![]() ![]() Косвенные измерения в данном эксперименте являются невоспроизводимыми, поскольку, повторяя опыт, накачать и выпустить каждый раз одинаковое количество воздуха невозможно. Значения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 3. В лабораторной работе № 117 коэффициент жесткости пружины определяется по формуле ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() Воспользовавшись алгоритмом обработки результатов косвенных измерений в случае удобной для логарифмирования расчетной формулы, получим (см. пример 1) выражение ![]() в котором погрешностью ускорения свободного падения можно пренебречь в силу ее малости. В этой работе требуется также найти экспериментальное и расчетное значения периодов колебания груза ![]() ![]() а) для расчетного значения периода колебания груза ![]() б) для периода колебаний, измеренного с помощью секундомера, ![]() Пример 4. В работе № 131 термический коэффициент линейного расширения твердых тел ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() Выражение (19) удобно для логарифмирования, поэтому относительную погрешность измеряемой величины находим как в примере 1, выполняя математические операции логарифмирования и дифференцирования. В результате получаем формулу ![]() где ![]() ![]() ![]() В данной работе может быть использован и алгоритм обработки результатов косвенных невоспроизводимых измерений, если полученные на разных участках исследуемого температурного диапазона значения термического коэффициента линейного расширения не будут соответствовать четко выраженной монотонной зависимости. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ Важным методом обработки результатов опыта является представление их в виде графика. При минимальной обработке графики представляют результаты измерений в наиболее компактной форме с легкой обозримостью всего объема информации. Они позволяют проверить соответствие теории и результата эксперимента, выявить области изменения переменных, требующие более детального исследования. Графический метод обработки результатов эффективен только при его грамотном применении, что предполагает овладение элементарными навыками работы с графическим материалом. Выбор бумаги. Графики выполняют на миллиметровой бумаге. Размер листа для графика равен примерно ![]() Построение координатных осей. Графики принято строить в декартовой (прямугольной) системе координат, где по оси абсцисс откладывается переменная, выбранная за независимую (аргумент), а по оси ординат – функция. При нанесении осей следует оставить место для заголовка, поясняющих записей и полей для вклейки или подшивки в лабораторный отчет. Выбор интервала изменения переменных и оцифровка шкал. Интервалы изменения переменных по обеим осям выбираются независимо друг от друга, так чтобы на графике была представлена лишь экспериментально исследованная область изменения переменных величин. Сам график при этом занимает все поле чертежа. Не следует стремиться к тому, чтобы начало координат (точка 0,0) обязательно поместилось на графике. Делать это разумно в тех случаях, когда при этом существенно не увеличиваются размеры графика или когда эта точка является наиболее надежным результатом измерений. Например, при измерении силы тока ![]() ![]() Ценность графика во многом определяется удачным выбором масштаба. Рекомендуется выбирать удобные для восприятия и расчетов единицы масштаба шкал. Допустимы значения единиц масштаба, равные только одной, двум или пяти единицам измеряемой величины, умноженным на порядковый множитель ![]() ![]() Число оцифрованных делений на каждой оси должно быть минимально необходимым для ясного понимания шкалы и составляет обычно от 4 до 10. По оси ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ни в коем случае не следует отмечать и оцифровывать на осях экспериментальные значения аргумента и функции, а тем более проводить штриховые линии для помещения экспериментальных точек на поле графика. Изобилие линий резко ухудшает восприятие графической информации. Следует помнить, что на графике прежде всего должны выделяться экспериментальные точки – именно они являются главным результатом работы экспериментатора. Выбрав масштаб и проведя оцифровку осей, проверьте себя. Найдите координаты 2–3 произвольно взятых точек. Если на определение двух координат каждой точки затрачивается более 10 с или возникают ошибки – масштаб и оцифровка осей выбраны неудачно. Нанесение экспериментальных точек и их погрешностей. Экспериментальные точки нужно наносить на график точно и аккуратно, отмечая их кружками (квадратами, треугольниками, крестиками). Полезно применять разные знаки для разных кривых, если они изображаются на одном графике. Погрешности на графиках, когда это позволяет масштаб, можно указывать для одной или обеих измеряемых величин в виде отрезков, полудлина которых равна доверительной погрешности. Исключение составляют случаи, когда по одной из осей откладываются величины, известные точно (например, принимающие только целочисленные значения). Обычно указание погрешностей либо загромождает график, либо их нельзя указать в данном масштабе (при точных измерениях). Поэтому допустимо иногда вообще не указывать погрешности или делать это для одной–двух точек. О точности измерений тогда можно весьма приближенно судить по разбросу точек относительно проведенной кривой. Проведение кривой по экспериментальным точкам. Экспериментальные точки соединяются карандашом плавной кривой так, чтобы они располагались примерно поровну и в среднем на равном удалении по обе стороны от кривой. Ни в коем случае не следует соединять экспериментальные точки на графике ломаной линией (от точки к точке). Обычно зависимости физических величин соответствуют гладким, плавно изменяющимся функциям без резких изломов и перегибов. Если же все точки последовательно соединить, то получится ломаная линия, которая не имеет ничего общего с истинной физической зависимостью. Это следует хотя бы из того факта, что форма полученной ломаной линии не будет воспроизводиться при повторных сериях измерений. Проводимая на графике кривая не должна заслонять экспериментальные точки. Следует помнить, что именно точки являются результатом измерений, а кривая – лишь наше (не обязательно верное) толкование результата. Оформление графиков. Графики должны быть снабжены заголовками и пояснениями, кратко и точно отражающими содержание графика. Обязательно указываются откладываемые по осям величины и их размерности. Если на одном графике располагается несколько кривых, то каждая из них должна быть четко обозначена цифрой или буквой, поясняемой в подписи к графику. Заголовок и пояснения располагают либо под графиком, либо на незанятой части координатной сетки. Лабораторная работа №100 Измерение электронным секундомером интервалов времени, задаваемых по механическому секундомеру с секундной стрелкой Цель работы – освоение алгоритма обработки результатов прямых многократных прямых измерений, построение гистограммы экспериментальных значений определяемой величины и оценка параметров распределения Гаусса из кривой закона распределения. Теоретическая часть 1. Измерение физических величин и графическое представление результатов измерений. При измерении физических величин в лабораторном практикуме из систематических погрешностей во внимание принимаются, как правило, только приборные как легко учитываемые. В таком случае в погрешность ![]() ![]() ![]() ![]() Если приборная погрешность значительно больше случайной, то при многократных измерениях практически получается один и тот же результат. Этот недостаток присущ, в основном, стрелочным приборам, подвижная часть которых, связанная со стрелкой, бывает настолько инерционной, что либо не реагирует на малые случайные отклонения, либо эти отклонения настолько малы, что их практически невозможно регистрировать. Такой прибор принято называть грубым. Точный прибор характеризуется меньшей систематической (приборной) погрешностью по сравнению со случайной, и поэтому на распределение полученных с его помощью результатов измерений сказывается случайный разброс. Точными приборами являются цифровые вольтметры, электронные секундомеры и весы, измерители сопротивлений, емкостей и индуктивностей и т.д. Полученные с их помощью ![]() Если измерения проводят с помощью грубого и точного приборов, то необходимо исключить просчеты (промахи), связанные с отсутствием навыков измерения. Особое значение это имеет для уменьшения различия в показаниях механического и электронного секундомеров, обусловленного реакцией исследователя и проявляющегося в недновременности как включения, так и выключения счетного устройства. После нескольких измерений отрезков времени (длительностью, например, 60 секунд) с помощью электронного секундомера удается их фиксировать с погрешностью в несколько сотых секунды. Просчетов на механическом секундомере в силу его большей приборной погрешности избежать значительно легче. ![]() Перед проведением статистического анализа целесообразно проверить, не изменяются ли измеренные значения регулярным образом со временем. Такое изменение называется дрейфом. Для выяснения этого вопроса необходимо построить график зависимости результатов измерения от времени (рис. 2). ![]() а) б) Рис.2. Зависимость значений результатов измерения от порядкового номера отсчета (от времени): а – дрейф отсутствует, б – дрейф наблюдается. Точки – экспериментальные значения, прямые – аппроксимация точек (проведена от руки). На горизонтальной оси обычно откладывают порядковый номер ![]() ![]() При наличии дрейфа следует установить, связан ли он с неисправностью прибора (устранить ее или заменить прибор) или с закономерным изменением определяемой величины (здесь необходимо специальное исследование). При отсутствии дрейфа нужно построить экспериментальную гистограмму, показывающую, как часто получаются те или иные значения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2. Пример построения гистограммы экспериментальных значений определяемой величины ![]() ![]() ![]() Пусть проведено 50 отсчетов величины напряжения, из которых ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Распределим полученные значения величины ![]() ![]() ![]() Гистограмму и график закона распределения ![]() ![]() ![]() Напомним, что пересечение координатных осей не должно обязательно совпадать с нулевыми значениями аргумента и функции (необходимо полностью использовать все поле чертежа). При построении кривой закона распределения ![]() ![]() Таблица 4
Из рисунка 3 видно, что на уровне 0,6 от максимального значения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис.3. Гистограмма экспериментальных значений (1) и закона распределения ![]() Описание установки В данной работе требуется провести многократные измерения интервала времени с помощью механического (грубый прибор) и электронного секундомеров (более точный прибор). Порядок выполнения работы 1. Прежде чем приступить к выполнению работы необходимо ознакомиться с правилами пользования электронным секундомером. Соответствующая инструкция выдается лаборантом. 2. Получить у лаборанта механический секундомер. Интервал времени задается преподавателем. 3. С разрешения преподавателя включить тумблер электронного секундомера ’’Сеть’’ и дать прибору прогреться в течение 3 – 5 минут. 4. Измерить промежуток времени несколько раз механическим и электронным секундомерами, чтобы освоить технику измерений и исключить промахи, связанные с отсутствием опыта измерений (тренировочные измерения). 5. Провести многократные измерения интервалов времени электронным секундомером при условии одновременного запуска и остановки электронного и механического секундомеров (50 – 100 раз по заданию преподавателя). Результаты опыта занести в таблицу 5. Таблица 5
Обработка результатов измерений Задание 1. Исследование дрейфа. Проанализировать изменение со временем значений измеряемой величины, для чего по данным таблицы 5 построить график зависимости результатов наблюдений от времени (рис.2). Задание 2. Статистический анализ выборки. 2.1. Определить выборочное среднее по формуле ![]() ![]() 2.2. Определить отклонения отдельных результатов наблюдений от среднего ![]() и убедиться в выполнении равенства ![]() 2.3. Вычислить значения ![]() ![]() 2.4. Рассчитать среднеквадратичную погрешность ![]() ![]() 2.5. Определить среднеквадратичную погрешность ![]() ![]() 2.6. Для заданных значений числа измерений ![]() ![]() ![]() ![]() 2.7. Оценить приборную погрешность электронного секундомера по формуле (9). Проверить, что она меньше случайной более чем в два раза. В согласии с формулой (10) доверительную погрешность результата измерений приравнять случайной: ![]() 2.8. Округлив погрешность и предварительный результат, записать окончательный результат измерений в виде ![]() ![]() Задание 3. Оценка параметров закона распределения вероятностей с помощью гистограммы. 3.1. По результатам наблюдений составить таблицу, необходимую для построения гистограммы и кривой, описывающей закон распределения (табл.4). 3.2. Построить гистограмму, кривую закона распределения и оценить по этой кривой значение величины среднего квадратического отклонения ![]() 3.3. Сравнить величину ![]() ![]() Контрольные вопросы: 1. Какие измерения называются прямыми? косвенными? 2. Как рассчитывается доверительная погрешность при прямых многократных измерениях? 3. Почему при записи окончательного результата необходимо указывать доверительную вероятность? 4. Доверительная вероятность результата ![]() 5. Какие погрешности называются систематическими? случайными? приборными? 6. Какая кривая называется гистограммой? законом распределения? СОДЕРЖАНИЕСтр. Введение 3Абсолютная и относительная погрешности измерений 4 Доверительная вероятность и доверительная погрешность 4 Виды погрешностей 5 Прямые и косвенные измерения 6 Погрешности многократных прямых измерений 6 Округление результатов и погрешностей результатов измерений. Запись окончательного результата 11 Погрешности прямых однократных измерений 13Вычисление погрешностей при косвенных измерениях 16Невоспроизводимые косвенные измерения 19Примеры обработки результатов косвенных измерений 19 Основные правила построения графиков 22 Лабораторная работа № 100 24 Контрольные вопросы 31 |