конспекты по алгебре фкн. ПИ, линейная алгебра Коллоквиум определения, 2019 г
 Скачать 370.23 Kb.
|
|
36. Что такое общая линейная и специальная линейная группы? Множество всех невырожденных (det A ≠ 0) матриц A n×n с операцией матричного умножения – GL n (R) – общая линейная группа SL n (R) = {A ∈ GL n (R)∣ det A = 1} – специальная линейная группа. 37. Сформулируйте определение абелевой группы. Приведите пример. Группа с коммутативной операцией называется абелевой. Пример: (Z, +) – абелева группа. 38. Дайте определение подгруппы. Приведите пример группы и ее подгруппы. Подмножество H ⊆ G называется подгруппой в группе G, если: 1) e ∈ H 2) ∀h 1 , h 2 ∈ H ∶ h 1 ⋅ h 2 ∈ H 3) ∀h ∈ H ⇒ h − 1 ∈ H Пример: SL n (R) ⊂ GL n (R) 39. Дайте определение гомоморфизма групп. Приведите пример. Отображение f ∶ G → G ′ группы (G, ∗) в группу (G ′ , ○) называется гомоморфизмом, если ∀a, b ∈ G f(a ∗ b) = f(a) ○ f(b). Пример: det ∶ GL n (R) → R ∗ (R ∗ – это R/{0} с операцией умножения). Это гомоморфизм, так как det(A ⋅ B) = det A ⋅ det B. 40. Дайте определение изоморфизма групп. Приведите пример. Изоморфизм – это биективный гомоморфизм. Пример: (R, +) ≃ (R + , ⋅) посредством изоморфизма f(x) = e x 41. Дайте определение порядка элемента Порядок элемента a ∈ G – наименьшее натуральное число p такое, что a p = e. 8 ПИ, линейная алгебра Коллоквиум определения, 2019 г. vk.com/hse_botai, vk.com/zdarovablin 3-й модуль 1. Что такое ядро гомоморфизма групп? Приведите пример. Ядро гомоморфизма f ∶ G → F Kerf = {g ∈ G∣f(g) = e F } (e F – нейтральный элелемент в F ). Пример: В гомоморфизме Z → Z/3Z с h(u) = u mod 3 ядро состоит из целых чисел, делящихся на 3. 2. Сформулируйте определение циклической группы. Приведите пример. Если ∀ элемент g ∈ G имеет вид g = a n = a × a × . . . × a (n раз), где a ∈ G, то G – циклическая группа. Пример: (Z, +) – циклическая группа, порожденная 1. 3. Сколько существует, с точностью до изоморфизма, циклических групп данного порядка? Существует ровно одна циклическая группа данного порядка с точностью до изоморфизма. 4. Что такое группа диэдра? Что такое знакопеременная группа? Укажите число элементов в них. Группа диэдра (D n ) – это группа симметрии правильного n-угольника, ∣D n ∣ = 2n. A n – знакопеременная группа, то есть множество всех четных подстановок, ∣A n ∣ = n! 2 5. Сформулируйте утверждение о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Пусть G – группа и g ∈ G, тогда ord(g) = ∣⟨g⟩∣. 6. Сформулируйте утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. ∀ подгруппа в (Z, +) имеет вид kZ для некоторых k ∈ N ∪ {0}. 7. Дайте определение левого смежного класса по некоторой подгруппе. Пусть G – группа, H ⊆ G – подгруппа и g ∈ G. Тогда левым смежным классом элемента g по подгруппе H называется множество gH = {gh∣h ∈ H}. 8. Дайте определение нормальной подгруппы. Подгруппа H называется нормальной, если gH = Hg, ∀g ∈ G (равенство правых и левых смежных классов). 9. Что такое индекс подгруппы? Индексом подгруппы H в группе G называется число левых смежных классов G по H. 10. Сформулируйте теорему Лагранжа. Пусть G – конечная группа и H ⊆ G – подгруппа. Тогда ∣G∣ = ∣H∣ ⋅ [G ∶ H]. 11. Сформулируйте две леммы, которые нужны для доказательства теоремы Лагранжа. Лемма 1: ∀g 1 , g 2 ∈ G либо g 1 H = g 2 H , либо g 1 H ∩ g 2 H = Ø. Лемма 2: ∣gH∣ = ∣H∣ ∀g ∈ G , ∀ конечной подгруппы H. 9 ПИ, линейная алгебра Коллоквиум определения, 2019 г. vk.com/hse_botai, vk.com/zdarovablin 12. Сформулируйте три следствия из теоремы Лагранжа. Следствие 1: Пусть G – конечная группа и g ∈ G. Тогда ord(g) делит ∣G∣. Следствие 2: Пусть G – конечная группа. Тогда g ∣ G∣ = e. Следствие 3 (малая теорема Ферма): Пусть a – ненулевой вычет по простому модулю p. Тогда a p−1 ≡ 1 mod p. 13. Сформулируйте критерий нормальности подгруппы, использующий сопряжение. Пусть H ⊆ G – подгруппа в группе G. Тогда 3 условия эквивалентны: 1) H нормальна 2) ∀g ∈ G gHg − 1 ⊆ H (gHg − 1 = {ghg − 1 ∣h ∈ H}) 3) ∀g ∈ G gHg − 1 = H 14. Дайте определение факторгруппы. Пусть H – нормальная подгруппа. Тогда G/H – множество левых смежных классов по H с операцией умножения: (g 1 H ) ⋅ (g 2 H ) = g 1 ⋅ g 2 H называется факторгруппой G по H. 15. Что такое естественный гомоморфизм? Отображение ε ∶ G → G/H, сопоставляющее каждому элементу a ∈ G его класс смежности aH, называется естественным гомоморфизмом 16. Сформулируйте критерий нормальности подгруппы, использующий понятие ядра гомоморфизма. H – нормальная подгруппа ⇔ H = Kerf, где f – некоторый гомоморфизм. 17. Сформулируйте теорему о гомоморфизме групп. Приведите пример. Пусть f ∶ G → F – гомоморфизм групп. Тогда группа Imf = {a ∈ F ∣∃g ∈ G, f(g) = a} изоморфна факторгруппе G/Kerf, Kerf = {g ∈ G∣f(g) = e F } (Kerf – ядро гомоморфизма). G /Kerf ≃ Imf Пример: Z/nZ ≃ Z n f ∶ Z → Z n , ∀ целому числу сопоставляем его остаток от деления на n – Kerf = nZ. 18. Что такое прямое произведение групп? Прямое произведение групп (G, +) × (D, ⋆) – это группа из всех пар элементов с операцией поэлементного умножения: (g 1 , d 1 ) × (g 2 , d 2 ) = (g 1 + g 2 , d 1 ⋆ d 2 ) 19. Сформулируйте определение автоморфизма и внутреннего автоморфизма. Автоморфизм – это изоморфизм из G в G. Внутренний автоморфизм – это отображение I a ∶ g ↦ aga − 1 10 ПИ, линейная алгебра Коллоквиум определения, 2019 г. vk.com/hse_botai, vk.com/zdarovablin 20. Что такое центр группы? Что можно сказать о его свойствах? Центр группы G – это множество Z(G) = {a ∈ G∣ab = ba ∀b ∈ G}. G – абелева ⇔ Z(G) = G. Z(G) является нормальной подгруппой G. 21. Чему изоморфна факторгруппа группы по ее центру? G /Z(G) ≃ Inn(G) (Inn – подгруппа, которую образуют все внутренние автоморфизмы группы Aut(G)). 22. Сформулируйте теорему Кэли. ∀ конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе группы S n 23. Дайте определение кольца. Пусть K ≠ Ø – множество, на котором заданы две бинарные операции ” + ” и ” ⋅ ”, такие, что: 1) (K, +) – абелева группа (это аддитивная группа кольца) 2) (K, ⋅) – полугруппа (это мультипликативная полугруппа кольца) 3) Умножение дистрибутивно относительно сложения: ∀a, b, c ∈ K ∶ c(a + b) = ca + cb, (a + b)c = ac + bc Тогда (K, +, ⋅) – кольцо. 24. Что такое коммутативное кольцо? приведите примеры коммутативного и некоммутативного колец. Если ∀x, y ∈ K xy = yx, то кольцо называется коммутативным. Пример 1: (Z, +, ⋅) – является коммутативным кольцом. Пример 2: (M n (R), +, ⋅) – полное матричное кольцо над R – некоммутативное. 25. Дайте определение делителей нуля. Если a ⋅ b = 0, при a ≠ 0, b ≠ 0 в кольце K, то a называется левым делителем нуля, а b – правым делителем нуля. 26. Дайте определение целостного кольца. Приведите пример. Коммутативное кольцо с единицей (≠ 0) и без делителей нуля называется целостным кольцом. Пример: (Z, +, ⋅). 27. Сформулируйте критерий целостности для нетривиального коммутативного кольца с единицей. Нетривиальное коммутативное кольцо с единицей является целостным ⇔ в нем выполняется закон сокращения, то есть из a ⋅ b = a ⋅ c при условии a ≠ 0 ⇒ b = c ∀a, b, c ∈ K. 28. Какие элементы кольца называются обратимыми? Элемент коммутативного кольца a называется обратимым, если ∃a − 1 ∶ a ⋅ a − 1 = 1 = a − 1 ⋅ a. 29. Дайте определение поля. Приведите три примера. Поле P – это коммутативное кольцо с единицей (≠ 0), в котором каждый элемент a ≠ 0 обратим. Пример: R, C, Q. 30. Дайте определение подполя. Привести пример пары: поле и его подполе. Подполе – это подмножество поля, которое само является полем относительно тех же операций. Пример: Q ⊂ R. 11 ПИ, линейная алгебра Коллоквиум определения, 2019 г. vk.com/hse_botai, vk.com/zdarovablin 31. Дайте определение характеристики поля. Привести примеры: поля конечной положительной характеристики и поля нулевой характеристики. Пусть P – поле. Характеристикой поля P (charP ) называется наименьшее q ∈ N ∶ 1 + . . . + 1 ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ q = 0. Если такого q не существует, то charP = 0. Пример: charR = 0, charZ p = p, p – простое. 32. Сформулируйте утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пусть F – поле. F 0 – его простое подполе. Тогда: 1) если charF = p > 0, то F 0 ≃ Z p 2) если charF = 0, то F 0 ≃ Q 33. Дайте определение идеала. Что такое главный идеал? Подмножество I кольца называется идеалом, если: 1. оно является подгруппой по сложению 2. ∀a ∈ I, ∀r ∈ K r ⋅ a и a ⋅ r ∈ I Идеал называется главным, если ∃a ∈ K ∶ I =< a >. 34. Сформулируйте определение гомоморфизма колец. ϕ ∶ K 1 → K 2 – гомоморфизм колец, если ∀a, b ∈ K 1 ∶ ⎧⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎩ ϕ (a + b) = ϕ(a) ⊕ ϕ(b) ϕ (a ⋅ b) = ϕ(a) ∗ ϕ(b) 35. Сформулируйте теорему о гомоморфизме колец. Приведите пример. Пусть ϕ ∶ K 1 → K 2 – гомоморфизм колец. Тогда K 1 /Kerϕ ≃ Imϕ. Пример: Z/nZ ≃ Z n ϕ ∶ Z → Z n , ∀ целому числу сопоставляем его остаток от деления на n, Kerϕ = nZ. 36. Сформулируйте теорему о том, когда факторкольцо кольца многочленов над полем само является полем. Факторкольцо F [x]/ < f(x) > является полем ⇔ f(x) неприводим над F . 37. Сформулируйте критерий того, что кольцо вычетов по модулю p является полем. Z p – поле ⇔ p – простое. 38. Дайте определение алгебраического элемента над полем. Пусть F 2 - поле, а F 1 - его подполе. Элемент α ∈ F 2 называется алгебраическим над полем F 1 , если ∃f(x) ≠ 0 (0 как функция), что f(x) ∈ F 1 [x], для которого f(α) = 0. 39. Что такое поле рациональных дробей? Пусть F – поле. Рассмотрим поле рациональных функций (частных) с коэфициентами из F . То есть элементы этого множества – дроби f (x) g (x) , где f, g ∈ F [x], g ≠ 0. 12 ПИ, линейная алгебра Коллоквиум определения, 2019 г. vk.com/hse_botai, vk.com/zdarovablin 40. Сформулируйте утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по некоторому идеалу. ∀ конечное поле F q , где q = p n , p – простое, можно реализовать в виде Z p [x]/ < h(x) >, где h(x) – неприводимый многочлен степени n над Z p 41. Сформулируйте китайскую теорему об остатках (через изоморфизм колец). Пусть n ∈ Z, n = n 1 ⋅ . . . ⋅ n m , где n i – взаимно просты. Тогда кольцо Z n ≃ Z n 1 × . . . × Z n m 42. Сформулируйте утверждение о том, сколько элементов может быть в конечном поле. Число элементов конечного поля всегда p n , где p – простое, n ∈ N. 43. Дайте определение линейного (векторного) пространства. Пусть F – поле. Пусть V – произвольное множество, на котором заданы две операции: сложение и умножение на число. Множество V называется линейным (векторным) пространством, если ∀x, y, z ∈ V, ∀λµ ∈ F выполнены следующие 8 свойств: 1) (x + y) + z = x + (y + z) – ассоциативность сложения 2) ∃ нейтральный элемент по сложению: ∃0 ∈ V ∶ ∀x ∈ V x + 0 = 0 + x = x 3) ∃ противоположный элемент по сложению: ∀x ∈ V ∃(−x) ∈ V ∶ x + (−x) = 0 4) x + y = y + x – коммутативность сложения 5) ∀x ∈ V 1 ⋅ x = x – нейтральность 1 ∈ F 6) ассоциативность умножения на число: µ(λx) = (µλ)x 7) (λ + µ)x = λx + µx – дистрибутивность относительно умножения на вектор 8) λ(x + y) = λx + λy – дистрибутивность относительно умножения на число 44. Дайте определение базиса линейного (векторного) пространства. Базисом линейного пространства V называется система векторов b 1 , . . . , b n , такая, что: а ) b 1 , . . . , b n – л.н.з. б ) любой вектор из V представляется в виде линейной комбинации b 1 , . . . , b n ∀x ∈ V x = x 1 b 1 + . . . + x n b n , x i ∈ F 45. Что такое размерность пространства? Максимальное количество л.н.з. векторов в данном линейном пространстве V называется размерностью пространства V . 46. Дайте определение матрицы перехода от старого базиса линейного пространства к новому. Матрицей перехода от базиса A к базису B называется матрица T A→B = ⎛ ⎜⎜ ⎝ t 11 t 1n ⋮ ⋱ ⋮ t n1 t nn ⎞ ⎟⎟ ⎠ где t 1i , . . . , t ni – координаты b i в базисе A. 13 ПИ, линейная алгебра Коллоквиум определения, 2019 г. vk.com/hse_botai, vk.com/zdarovablin 47. Выпишите формулу для описания изменения координат вектора при изменении базиса. Пусть x ∈ V, A и B – базисы в V . x a = ⎛ ⎜⎜ ⎝ x a 1 ⋮ x a n ⎞ ⎟⎟ ⎠ – столбец координат вектора x в базисе A, x b = ⎛ ⎜⎜ ⎝ x b 1 ⋮ x b n ⎞ ⎟⎟ ⎠ – столбец координат вектора x в базисе B. Тогда: x b = T − 1 A→B ⋅ x a 48. Дайте определение подпространства в линейном пространстве. Подмножество W векторного пространства V называется подпространством, если оно само является пространством относительно операций в V . 49. Дайте определения линейной оболочки конечного набора векторов и ранга системы векторов. Множество L(a 1 , . . . , a k ) = {λ 1 a 1 + . . . + λ k a k ∣λ i ∈ F } – множество всех линейных комбинаций векторов a 1 , . . . , a k называется линейной оболочкой системы a 1 , . . . a k Рангом системы векторов a 1 , . . . , a k в линейном пространстве называется размерность линейной оболочки этой системы Rg (a 1 , . . . , a k ) = dim L(a 1 , . . . a k ). 50. Дайте определения суммы и прямой суммы подпространств. H 1 + H 2 = {x 1 + x 2 ∣x 1 ∈ H 1 , x 2 ∈ H 2 } называется суммой подпространств H 1 и H 2 H 1 + H 2 называется прямой суммой (и обзначается H 1 ⊕ H 2 ), если H 1 ∩ H 2 = {0}, то есть тривиально. 51. Сформулируйте утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Пусть H 1 и H 2 – подпространства. Тогда dim(H 1 + H 2 ) = dim H 1 + dim H 2 − dim(H 1 ∩ H 2 ). 52. Дайте определение билинейной формы. Функцию b ∶ V × V → R (V – линейное пространство над R) называют билинейной формой, если ∀x, y, z ∈ V, ∀α, β ∈ R: 1) b(αx + βy, z) = αb(x, z) + βb(y, z) 2) b(x, αy + βz) = αb(x, y) + βb(x, z) 53. Дайте определение квадратичной формы. Однородный многочлен второй степени от n переменных, то есть: Q (x) = n ∑ i=1 a ii x 2 i + 2 ∑ 1≤i i x j , a ij ∈ R называют квадратичной формой. 54. Дайте определения положительной и отрицательной определенности квадратичной формы. Квадратичную форму Q(x) называют: • положительно определенной, если ∀x ≠ 0 Q(x) > 0 • отрицательно определенной, если ∀x ≠ 0 Q(x) < 0 14 ПИ, линейная алгебра Коллоквиум определения, 2019 г. vk.com/hse_botai, vk.com/zdarovablin 55. Какую квадратичную форму называют знакопеременной? Квадратичную форму Q(x) называют знакопеременной, если ∃x, y ∈ V Q(y) < 0 < Q(x). 56. Дайте определения канонического и нормального вида квадратичной формы. Квадратичную форму Q(x) = α 1 x 2 1 + . . . + α n x 2 n , α i ∈ R i = 1, n (то есть не имеющую попарных произведений переменных) называют квадратичной формой канонического вида. Если α i ∈ {1, −1, 0}, то канонический вид называется нормальным. 57. Как меняется матрица билинейной формы при замене базиса? Как меняется матрица квадратичной формы при замене базиса? Пусть U – матрица перехода от базиса e к базису f. Пусть B e – матрица билинейной формы в базисе e, B f – матрица билинейной формы в базисе f. Тогда: B f = U T B e U При переходе от базиса e к базису e ′ линейного пространства V матрица квадратичной формы меняется следующим образом: A ′ = S T AS где S – матрица перехода от e к e ′ 58. Сформулируйте критерий Сильвестра и его следствие. Квадратичная форма Q(x) от n переменных x = (x 1 , . . . , x n ) T положительно определена ⇔ ⎧⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎩ △ 1 > 0 ⋮ △ n > 0 . Здесь Q(x) = x T Ax , A = ⎛ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n1 a nn ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ , △ 1 = a 11 , △ 2 = ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ , . . . , △ n = det A то есть последовательность главных угловых миноров положительна. Следствие: Q (x) отрицательно определена ⇔ △ 1 < 0, △ 2 > 0, . . . , (−1) n △ n > 0 (Знаки главных угловых миноров чередуются, начиная с минуса). 59. Сформулируйте закон инерции квадратичных форм. Что такое индексы инерции? Для любых двух канонических видов одной и той квадратичной формы Q 1 (y 1 , . . . , y m ) = λ 1 y 2 1 + . . . + λ m y 2 m , λ i ≠ 0, i = 1, m Q 2 (z 1 , . . . , z k ) = µ 1 z 2 1 + . . . + µ k z 2 k , µ j ≠ 0, j = 1, k 1 ) m = k = RgA – рангу квадратичной формы 2) количество положительных λ i = количеству положительных µ j = i + – положительный индекс инерции. Количество отрицательных λ i = количеству отрицательных µ j = i − – отрицательный индекс инерции. 15 ПИ, линейная алгебра Коллоквиум определения, 2019 г. vk.com/hse_botai, vk.com/zdarovablin 60. Дайте определение линейного отображения. Приведите пример. Отображение ϕ ∶ V 1 → V 2 называется линейным, если: 1) ∀u, v ∈ V 1 , ϕ (u + v) = ϕ(u) + ϕ(v) 2) ∀u ∈ V 1 , ∀λ ∈ F ϕ(λu) = λϕ(u) Пример: В линейном пространстве m × n матриц существует линейное отображение умножения слева на фиксированную матрицу A l×m ∶ ϕ ∶ X → A ⋅ X. 61. Дайте определение матрицы линейного отображения. Матрица линейного отображения – это матрица A = ⎛ ⎜⎜ ⎝ a 11 a 1n ⋮ ⋱ ⋮ a m1 a mn ⎞ ⎟⎟ ⎠ , где по столбцам стоят координаты образов векторов базиса V 1 в базисе V 2 62. Выпишите формулу преобразования матрицы линейного отображения при замене базиса. Как выглядит формула в случае линейного оператора? Пусть ϕ – линейное отображение из линейного пространства V 1 в линейное пространство V 2 . Пусть A e 1 e 2 – матрица линейного отображения в паре базисов: e 1 в пространстве V 1 и e 2 в пространстве V 2 и пусть T 1 – матрица перехода от e 1 к e ′ 1 , T 2 – матрица перехода от e 2 к e ′ 2 . Тогда: A e ′ 1 e ′ 2 = T − 1 2 A e 1 e 2 T 1 Формула для линейных операторов: A E ′ = T − 1 A E T 4-й модуль 1. Дайте определения собственного вектора и собственного значения линейного оператора. Число λ называется собственным числом или собственным значением линейного оператора A ∶ V → V , если существует вектор v ∈ V, v /= 0, такой, что Av = λv. При этом вектор v называется собственным вектором, отвечающим за собственное значение λ. 2. Дайте определения характеристического уравнения и характеристического многочлена квадратной матрицы. Для произвольной квадратной матрицы A определитель χ A (λ) = det(A − λE) называют характеристическим многочленом матрицы A. Характеристическое уравнение - уравнение вида det(A − λE) = 0. 3. Сформулируйте утверждение о связи характеристического уравнения и спектра линейного оператора. λ принадлежит спектру линейного оператора ⇔ λ - корень характеристического уравнения(над алгебраически замкнутым полем). 4. Дайте определение собственного подпространства. Пусть A ∶ V → V - линейный оператор, λ - собственное значение A. Тогда множество V λ = {v ∈ V ∣Av = λv} - подпространство в V , называемое собственным подпространством, отвечающим λ. 16 |