конспекты по алгебре фкн. ПИ, линейная алгебра Коллоквиум определения, 2019 г
 Скачать 370.23 Kb.
|
|
5. Дайте определения алгебраической и геометрической кратности собственного значения. Какое неравенство их связывает? Алгебраической кратностью λ называетсяя кратность λ как корня характеристического уравнения. Размерность подпространтсва V λ называется геометрической кратностью собственного значения λ. Геометрическая кратность собственного значения не превышает его алгебраической кратности. 6. Дайте определение следа матрицы. Как меняется след матрицы оператора при замене базиса. Следом матрицы A называется сумма ее диагональных элементов: trA = ∑ a ii . След матрицы не зависит от выбора базиса. 7. Каким свойством обладают собственные векторы линейного оператора, отвечающие различным собственным значениям. Пусть λ 1 , . . . , λ k - собственные значения линейного оператора A, λ i /= λ j , а v 1 , . . . , v k - соответствующие собственные векторы. Тогда v 1 , . . . , v k - линейно независимые, т.е. собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы. 8. Сформулируйте критерий диагональности матрицы оператора. Матрица линейного оператора является диагональной в этом базисе ⇔ все векторы этого базиса являются собственными векторами для A. 9. Сформулируйте критерий диагонализируемости матрицы оператора с использованием понятия геометрической кратности. Матрицы линейного оператора приводится к диагональному виду ⇔ геометрическая кратность каждого собственного значения орператора равна его алгебраической кратности 10. Дайте определение жордановой клетки. Сформулируйте теорему о жордановой нормальной форме матрицы оператора. Жорданова клетка размера m × m - это матрица вида: J m (λ i ) = ⎛ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ λ i 1 0 ⋱ ⋱ ⋮ λ i 1 0 λ i ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ∀A ∈ Mn(F) приводится заменой базиса к ЖНФ над алгебраически замкнутым полем (например C). Иными словами ∃C ∈ Mn(F) и det C /= 0, что A = CJC − 1 , где J - ЖНФ. 11. Выпишите формулу для количества жордановых клеток заданного размера. h k (λ i ) = ρ k+1 − 2ρ k + ρ k−1 - количество жордановых клеток с λ i на диагонали размера k × k (ρ j = Rg(A − λ i E ) j , ρ 0 = n). 12. Сформулируйте теорему Гамильтона-Кэли. Если A - квадратная матрица и χ(λ) её характеристический многочлен, то χ(A) = 0. 13. Дайте определение корневого подпространства. Корневое подпространство: K i = Ker(A − λ i E ) m i , где m i - алгебраическая кратность λ i 14. Дайте определение минимального многочлена линейного оператора. 17 ПИ, линейная алгебра Коллоквиум определения, 2019 г. vk.com/hse_botai, vk.com/zdarovablin Для матрицы A многочлен µ(x) называется минимальным, если µ(A) = 0 и ∀f ∶ f(A) = 0, deg(f) ≥ deg(µ). 15. Дайте определение инвариантного подпространства. Подпространство L векторного пространства V называется инвариантным относительно оператора ϕ, если ϕ(x) ∈ L ∀x ∈ L. 16. Дайте определение евклидова пространства. Евклидово пространство - это пара V - линейное пространство над R и скалярное произведение g(x, y), то есть симметричная положительно определенная билинейная форма. E = (V, g(x, y)) и ∀x, y ∈ V, ∀λ ∈ R: • g(x, y) = g(y, x) • g(x + y, z) = g(x, z) + g(y, z) • g(λx, y) = λg(x, y) • g(x, x) ≥ 0 и g(x, x) = 0 ⇔ x = 0 17. Выпишите неравенство Коши-Буняковского и треугольника. Неравенсво Коши-Буняковского: ∀x, y ∈ E ∣(x, y)∣ ≤ ∣∣x∣∣ ⋅ ∣∣y∣∣. Неравенсво треугольника: ∀x, y ∈ E ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥. 18. Дайте определения ортогонального и ортонормированного базисов. Пусть {v 1 , . . . , v k } – ортогональная система векторов, причем v i ≠ 0 ∀i = 1, k. Если k = dim V = n, то v 1 , . . . , v k будут ортогональным базисом Если рассмотрим e 1 = v 1 ∣∣v 1 ∣∣ , . . . , e n = v n ∣∣v n ∣∣ , то мы получим ОНБ 19. Опишите алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта. Пусть имеется система линейно независимых векторов (a 1 , . . . , a n ). Определим оператор проекции следующим образом: proj b a = ( a,b) ( b,b) b. Этот оператор проецирует вектор a коллинеарно вектору b. Классический процесс Грама — Шмидта выполняется следующим образом: b 1 = a 1 b 2 = a 2 − proj b 1 a 2 ⋮ b n = a n − ∑ n−1 j=1 proj b j a n В результате получим систему ортогональных векторов (b 1 , . . . , b n ). 20. Дайте определение матрицы Грама. Матрицей Грама системы векторов (e 1 , . . . , e n ) называется квадратная матрица, состоящая из всевозможных скалярных произведений этих векторов: Γ = ⎛ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ (e 1 , e 1 ) (e 1 , e 2 ) ⋯ (e 1 , e n ) (e 2 , e 1 ) (e 2 , e 2 ) ⋯ (e 2 , e n ) ⋮ (e n , e 1 ) (e n , e 2 ) ⋯ (e n , e n ) ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ 18 ПИ, линейная алгебра Коллоквиум определения, 2019 г. vk.com/hse_botai, vk.com/zdarovablin 21. Выпишите формулу для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису. Матрицы Грама двух базисов e и e ′ связаны соотношением Γ ′ = U T ΓU , где U - матрица перехода от e к e ′ 22. Сформулируйте критерий линейной зависимости с помощью матрицы Грама. Система векторов e 1 , . . . , e n линейно зависима ⇔ определитель матрицы Грама этой системы равен нулю. 23. Дайте определение ортогонального дополнения. Пусть H ⊆ V . Множество H ⊥ = {x ∈ V ∣(x, y) = 0 ∀y ∈ H} называется ортогональным дополнением. 24. Дайте определения ортогональной проекции вектора на подпространство и ортогональной составляющей. Пусть L - линейное подпространство евклидова пространства E, a - произвольный вектор пространства E. Если a = b + c, причём b ∈ L, c ∈ L ⊥ , то b называется ортогональной проекцией вектора a на подпространство L (proj L a ), а c - ортогональной составляющей при (ортогональном) проектировании вектора a на подпространство (ort L a ). 25. Выпишите формулу для ортогональной проекции вектора на подпространство, заданное как линейная оболочка данного линейно независимого набора векторов. Пусть L = ⟨a 1 , . . . , a n ⟩. Тогда proj L x = A(A T A ) − 1 A T x , где A - матрица, составленная из столбцов a 1 , . . . , a n 26. Выпишите формулу для вычисления расстояния с помощью определителей матриц Грама. Пусть S ⊂ E - подпространство, x ∈ E, (e 1 , . . . , e n ) - базис S. Тогда: (p(x, S)) 2 = det G (e 1 , . . . , e n , x ) det G (e 1 , . . . , e n ) 27. Дайте определение сопряженного пространства. Пространством сопряженным к линейному пространству L называется множетсво всех линейных форм на нем с операциями: ∀x ∈ L (f 1 + f 2 )(x) = f 1 (x) + f 2 (x) ∀λ ∈ F (λf)(x) = λf(x) Обозначение: L ∗ ⊆ Hom(L, F). 28. Выпишите формулу для преобразования координат ковектора при переходе к другому базису. Пусть L ∗ - сопряженное пространство. Если записывать координаты элементов по столбцам, то при переходе к другому базису они будут преобразовываться по формуле: [f] ст g = T T e→g ⋅ [f] ст e 29. Дайте определение взаимных базисов. Базис e = (e 1 , . . . , e n ) в линейном пространстве L и базис f = (f 1 , . . . , f n ) в сопряженном пространстве L ∗ называют взаимными , если: (e i , f j ) = δ j i = ⎧⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎩ 1, i = j 0, i /= j 19 ПИ, линейная алгебра Коллоквиум определения, 2019 г. vk.com/hse_botai, vk.com/zdarovablin 30. Дайте определение биортогонального базиса. Если L = L ∗ , то взаимный к данному базис называется биортогональным. 31. Дайте определение сопряженного оператора в евклидовом пространстве. Линейный оператор A ∗ называется сопряженным к линейному оператору A, если ∀x, y ∈ E верно, что (Ax, y) = (x, A ∗ y ). 32. Дайте определение самосопряженного (симметрического) оператора. Линейный оператор A называется самосопряженным (симметричным) , если ∀x, y ∈ E верно, что (Ax, y) = (x, Ay), т.е. A ∗ = A. 33. Дайте определение ортогонального оператора. Линейный оператор A называется ортогональным, если ∀x, y ∈ E верно, что (Ax, Ay) = (x, y), т.е. оператор сохраняет скалярное произведение, и значит, он сохраняет длины сторон и углы между ними. 34. Как найти матрицу сопряженного оператора в произвольном базисе? Пусть e = (e 1 , . . . , e n ) - базис в E, Γ - матрица Грама, A - матрица линейного оператора. Тогда матрица сопряженного линейного оператора выражается как: A ∗ = Γ − 1 A T Γ 35. Каким свойством обладают собственные значения самосопряженного оператора? Собственные значения самосопряженного оператора вещественны. 36. Что можно сказать про собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие разным собственным значениям? Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям самосопряженного преобразования, ортогональны. 37. Сформулируйте определение ортогональной матрицы. Матрица C ∈ Mat n (R) называется ортогональной, если C T C = E. 38. Сформулируйте критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу. Матрица линейного оператора A в ОНБ ортогональна ⇔ A - ортогональный оператор. 20 ПИ, линейная алгебра Коллоквиум определения, 2019 г. vk.com/hse_botai, vk.com/zdarovablin 39. Каков канонический вид ортогонального оператора? Сформулируйте теорему Эйлера. Для любого отогонального оператора A существует ортонормированный базис, в котором матрица оператора имеет следующий вид: A = ⎛ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ Π (α 1 ) ⋱ Π (α k ) −1 ⋱ −1 1 ⋱ 1 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ , где Π(α) = ( cos α − sin α sin α cos α ) Теорема Эйлера. ∀ ортогонального преобразования в R 3 ∃ ОНБ, в котором его матрица имеет вид∶ A = ⎛ ⎜⎜ ⎝ cos ϕ − sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0 0 0 ±1 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 40. Сформулируйте теорему о существовании для самосопряженного оператора базиса из собственных векторов. Для всякого самосопряженного оператора A существует ортонормированный базис из собственных векторов, в котором матрица оператора имеет диагональный вид. Λ = diag(λ 1 , . . . , λ n ) λ 1 , . . . , λ n - собственные значения оператора A, повторенные в соответствии с их кратностью. 41. Сформулируйте теорему о сингулярном разложении. Для любой матрицы A ∈ Mat m×n (R) существуют ортогональные матрицы V ∈ M m (R) и W ∈ M n (R) и диагональная матрица Σ ∈ Mat m×n (R), такие что: A = V ΣW T , где Σ = ⎛ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ σ 1 ⋱ 0 σ r 0 0 ⋱ 0 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ , σ 1 ≥ σ 2 ≥ . . . ≥ σ r > 0 42. Сформулируйте утверждение о QR-разложении. Пусть A ∈ M m (R) и столбцы A 1 , . . . , A m л.н.з. Тогда ∃ Q и R ∶ A = QR, причем Q – ортогональная матрица, R – верхнетреугольная матрица 43. Сформулируйте утверждение о полярном разложении. ∀ матрица A ∈ M n (R) представима в виде A = SU, где S – симметрическая матрица с положительными собственными значениями, а U – ортогональная. 44. Что можно сказать про ортогональное дополнение к образу сопряженного оператора? Пусть линейный оператор A ∶ E → E. Тогда E = KerA ⊕ ImA ∗ 21 ПИ, линейная алгебра Коллоквиум определения, 2019 г. vk.com/hse_botai, vk.com/zdarovablin 45. Сформулируйте теорему Фредгольма и альтернативу Фредгольма. Теорема Фредгольма Ax = b совместна⇔вектор b ⊥всем решениям однородной СЛАУ A T y = 0 Альтернатива Фредгольма Либо у Ax = b ∃! решение ∀b, либо A T y = 0 имеет ненулевое решение 22 |