Понятие вектора
![]()
|
Понятие вектора. Линейные операции над векторами Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений. Такие величины называютсяскалярнымиили, короче,скалярами . Скалярными величинами, например, являются длина, площадь, объем, масса, температура тела и др. Помимо скалярных величин, в различных задачах встречаются величины, для определения которых, кроме числового значения, необходимо знать также их направление. Такие величины называютсявекторными. Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на нее сила. Векторные величины используются, например, и в климатологии. Рассмотрим простой пример из климатологии. Если мы скажем, что ветер дует со скоростью 10 м/с, то тем самым введем скалярную величину скорости ветра, но если мы скажем, что дует северный ветер со скоростью 10 м/с, то в этом случае скорость ветра будет уже векторной величиной. Векторные величины изображаются с помощью векторов. Векторомназывается направленный отрезок, имеющий определенную длину, т.е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая - за конец. ЕслиА - начало вектора иВ - его конец, то вектор обозначается символом ![]() ![]() ![]() Длина вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вектор называется нулевым(обозначается ![]() ![]() Рис.24 ![]() Рис.25 Векторы ![]() ![]() Два вектора ![]() ![]() В этом случае пишут: ![]() ![]() Пример. Рассмотрим квадрат (рис. 25). На основании определения равенства векторов можем написать ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Два коллинеарных вектора (отличные от нулевых векторов), имеющие равные модули, но противоположно направленные, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору ![]() ![]() ![]() ![]() 2. Линейные операции над векторами. Линейными операциями называются операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число. ![]() Определение. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Отложим от точки О векторы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Действительно, каждый из векторов ![]() ![]() ![]() Понятие суммы векторов, введенное для двух слагаемых векторов, можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых векторов. Пусть, например, даны три вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Из рис. 27, б видно, что тот же вектор ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис.27 ![]() ( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() т.е. сумма векторов обладает сочетательнымсвойством. Поэтому сумму трех векторов ![]() ![]() ![]() ![]() Итак, сумму трех векторов можно получить следующим образом. Из произвольной точки О откладывается вектор, равный первому слагаемому вектору. К концу первого вектора присоединяется начало второго; к концу второго - начало третьего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, является суммой данных векторов. Подобным же образом строится сумма любого конечного числа векторов. Если при сложении нескольких векторов конец последнего слагаемого вектора совпадает с началом первого, то сумма векторов равна нулевому вектору. Очевидно, что для любого вектора имеет место равенство ![]() Определение. Разностью ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора-разности (рис. 28). Откладываем векторы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() концы уменьшаемого вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Определение. Произведением ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Так, западный ветер можно представить как отрицательный восточный ветер. Очевидно, что ![]() Пусть дан вектор ![]() ![]() ![]() ![]() т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления. Далее из того же определения следует ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Очевидно, что и, обратно, из коллинеарности векторов ![]() ![]() ![]() Таким образом, два вектора ![]() ![]() ![]() ![]() Легко убедиться, что умножение вектора на число обладает ![]() ![]() +Справедливость, например, равенства (1) при ![]() ![]() ![]() Ранг матрицы и его свойства. Алгоритм вычисления ранга матрицы Ранг матрицы представляет собой важную числовую характеристику. Наиболее характерной задачей, требующей нахождения ранга матрицы, является проверка совместности системы линейных алгебраических уравнений. В этой статье мы дадим понятие ранга матрицы и рассмотрим методы его нахождения. Для лучшего усвоения материала подробно разберем решения нескольких примеров. Прежде чем озвучить определение ранга матрицы, следует хорошо разобраться с понятием минора, а нахождение миноров матрицы подразумевает умение вычисления определителя. Так что рекомендуем при необходимости вспомнить теорию статьи методы нахождения определителя матрицы, свойства определителя. Возьмем матрицу А порядка ![]() ![]() Определение. Минором k-ого порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы порядка ![]() Другими словами, если в матрице А вычеркнуть (p–k) строк и (n–k) столбцов, а из оставшихся элементов составить матрицу, сохраняя расположение элементов матрицы А, то определитель полученной матрицы есть минор порядка k матрицы А. Разберемся с определением минора матрицы на примере. Рассмотрим матрицу ![]() Запишем несколько миноров первого порядка этой матрицы. К примеру, если мы выберем третью строку и второй столбец матрицы А, то нашему выбору соответствует минор первого порядка ![]() ![]() Проиллюстрируем процедуру получения рассмотренных миноров первого порядка ![]() ![]() Таким образом, минорами первого порядка матрицы являются сами элементы матрицы. Покажем несколько миноров второго порядка. Выбираем две строки и два столбца. К примеру, возьмем первую и вторую строки и третий и четвертый столбец. При таком выборе имеем минор второго порядка ![]() Другим минором второго порядка матрицы А является ![]() Проиллюстрируем построение этих миноров второго порядка ![]() ![]() Аналогично могут быть найдены миноры третьего порядка матрицы А. Так как в матрице А всего три строки, то выбираем их все. Если к этим строкам выбрать три первых столбца, то получим минор третьего порядка ![]() Он также может быть построен вычеркиванием последнего столбца матрицы А. Другим минором третьего порядка является ![]() получающийся вычеркиванием третьего столбца матрицы А. Вот рисунок, показывающий построение этих миноров третьего порядка ![]() ![]() Для данной матрицы А миноров порядка выше третьего не существует, так как ![]() Сколько же существует миноров k-ого порядка матрицы А порядка ![]() Число миноров порядка k может быть вычислено как ![]() ![]() ![]() Как же построить все миноры порядка k матрицы А порядка p на n? Нам потребуется множество номеров строк матрицы ![]() ![]() Разберем на примере. Пример. Найдите все миноры второго порядка матрицы ![]() Решение. Так как порядок исходной матрицы равен 3 на 3, то всего миноров второго порядка будет ![]() Запишем все сочетания из 3 по 2 номеров строк матрицы А: 1, 2; 1, 3 и 2, 3. Все сочетания из 3 по 2 номеров столбцов есть 1, 2; 1, 3 и 2, 3. Возьмем первую и вторую строки матрицы А. Выбрав к этим строкам первый и второй столбцы, первый и третий столбцы, второй и третий столбцы, получим соответственно миноры ![]() Для первой и третьей строк при аналогичном выборе столбцов имеем ![]() Осталось ко второй и третьей строкам добавить первый и второй, первый и третий, второй и третий столбцы: ![]() Итак, все девять миноров второго порядка матрицы А найдены. Сейчас можно переходить к определению ранга матрицы. Определение. Ранг матрицы – это наивысший порядок минора матрицы, отличного от нуля. Ранг матрицы А обозначают как Rank(A). Можно также встретить обозначения Rg(A) или Rang(A). Из определений ранга матрицы и минора матрицы можно заключить, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы не меньше единицы. № 4. ![]() Решим методом Гаусса. Для этого составим расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому виду путем умножения элементов строки на числа и сложения строк. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Система совместна и имеет единственное решение т.к. ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы из коэффициентов и равен количеству неизвестных 3. Составим соответствующую систему уравнений и решим ее. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() № 3. На прямой ![]() Решение: Искомую точку обозначим ![]() ![]() Так как точка О должна быть равноудалена от точек, то расстояния равны. ![]() ![]() Так как точка ![]() ![]() Ответ: ![]() |