лекции. Поволжский государственный технологический университет волжский филиал
 Скачать 1.61 Mb.
|
|
Основные определения Эксперименты могут подразделяться на: научные и инженерные. Различают также производственные, исследовательские, поисковые, прикладные и 24 теоретические эксперименты. Однако их планирование и анализ (обработка данных) осуществляются по общим правилам. Рассмотрим основные термины, встречающиеся при проведении эксперимента. Оборудование для эксперимента делят на три части: испытательная аппаратура, измерительные приборы и объект исследования. Образец для испытаний, ректификационная колонка, пропарочная камера могут являться объектами исследования. План эксперимента указывает последовательность работы, характер и величину изменений, переменных, повторность. Любая варьируемая величина называется переменной. Если варьирование переменной происходит независимо от других величин, то имеем независимую переменную. В противном случае ее называют зависимой. Если некоторая величина, оказывающая влияние на эксперимент, изменяется случайным образом и ее нельзя контролировать, то она называется внешней переменной, например, температура помещения в процессе проведения эксперимента. В контролируемом эксперименте влияние внешних переменных исключено, а независимые переменные изменяются по желанию экспериментатора. Независимые переменные принято называть факторами и обозначать х 1 ,...,х м . Они определяют функции отклика, которые обозначаются у 1 ...,у т . Геометрический образ, соответствующий функции отклика, в планировании эксперимента называют поверхностью отклика. Неопределенность представляет собой оценку ошибки, какой она будет, если бы удалось ее замерить. Термин данные относится ко всем символическим «продуктам» эксперимента. Снятые (записанные) непосредственно по показаниям прибора, они называются необработанными. Обработанные данные - это та же информация после выполнения над ней некоторых математических операций или после нанесения на график. Модельная схема эксперимента приведена на рис. 1. Она позволяет проследить обязательные элементы эксперимента и поясняет соотношение рассмотренных понятий. Планирование обусловлено целью эксперимента. Если влияние внешних переменных нельзя исключить, то проводят рандомизацию порядка эксперимента и тем самым усредняют эффекты этих неконтролируемых переменных. Выбор интервала варьирования переменных обусловлен областью исследования и принятым планом эксперимента. Если в некоторой области ожидается изменение функции отклика, то желательно увеличить в этой области число экспериментальных точек. На принятие того или иного плана влияет неопределенность эксперимента. Чаще всего план эксперимента требует корректировки в процессе его выполнения. Анализируют имеющиеся измерительные приборы и основные элементы аппаратуры для выявления погрешностей измерения. Если погрешность велика, то необходимо подобрать более точные приборы или изменить план эксперимента, уменьшив число фиксируемых параметров. Если технические ограничения приводят к слишком большой неопределенности, то проведение данного эксперимента невозможно. Его следует отложить, а задачу исключить из программы работ или найти другой способ ее решения. 25 Погрешность эксперимента Ошибка отдельного определения прямо пропорциональна вариабельности изучаемого параметра и обратно пропорциональна корню квадратному из числа параллельных определений (п). Последнее характеризует наше трудолюбие. Надежность результата зависит от собственно неоднородности объекта исследования и ошибок, связанных с погрешностями аппаратуры и неточностью приборов. Источники ошибок связаны с тем, что параметры аппаратуры не обеспечивают требуемого разрешения, последнее оказывается сравнимым с интервалом варьирования изучаемого фактора. Чувствительный элемент прибора неправильно отражает измеряемую величину или индикатор неправильно отражает реакцию чувствительного элемента. Возможны ошибки из-за неспособности экспериментатора точно фиксировать показания индикатора. Перед началом работы приборы калибруют, а аппаратура проходит систематическую госповерку. В паспортах на приборы и оборудование указывается ошибка измерения либо в виде абсолютной ошибки (Ах), либо в виде величины относительного стандарта. В отсутствии паспорта пользуются практическим правилом: максимальная ошибка равна половине наименьшего деления шкалы прибора. Например, термометр с ценой деления 1°С, Тогда ошибка составит ±0,5°С. Используют также класс точности прибора. Планирование эксперимента Решаемые вопросы исследований Анализ и обработка данных Отчет о работе. Новые закономерности, технологии, теории. Передача данных (образцов) в исследовательскую установку Реакция образцов в виде необработанных данных и контролируемых параметров Воздействие факторов исследовательской установки на образцы Рис. 1. Схема эксперимента, изображенная как система связей. шум шум 26 Например, для приборов класса 0,5 при отсчете в любой части шкалы прибора допускается абсолютная погрешность, равная 0,5% от наибольшего значения шкалы прибора. У отдельных приборов (манометров и др.) существует нерабочая зона, составляющая, в частности, первую четверть шкалы. Ошибки приборов суммируют. Для этого их делают относительными и выражают в процентах. Относительная погрешность 100 i i i x x p (1). Общая погрешность эксперимента n i i i x x p 1 2 100 (2). Следует отметить, что на величину относительной погрешности влияет не только i x , но и собственное значение замеряемой величины . Поэтому при анализе неопределенности эксперимента в целом следует учитывать измеряемый интервал и в расчет брать наименьшие значения. Если общая погрешность эксперимента окажется больше 5%, то можно для повышения точности эксперимента использовать другие приборы. В экспериментах, например, по химической переработке древесины существенный вклад в погрешность эксперимента вносит сам объект исследования, характеризующийся неоднородностью. Известна, например, изменчивость свойств исходной древесины по месту произрастания, возрасту и т. д. В том случае, если не представляется возможным рассчитать погрешность эксперимента до опыта, проводят несколько серий параллельных опытов и убеждаются в их воспроизводимости. Оценка воспроизводимости опытов имеет определяющее значение, поскольку приводит к решению проводить эксперимент или к решению изменить приборную схему, воспользовавшись для этого более чувствительными измерительными приборами пли более точными методами измерений. Не исключён вариант, когда из-за невозможности добиться требуемой точности, придется отказаться от проведения этого эксперимента Рассмотрим порядок проверки воспроизводимости опытов. Проводят 2—4 серии параллельных опытов в области изменения влияющих факторов. Результаты сводят в таблицу 1. Таблица 1. Эксперимент для проверки воспроизводимости опытов Номер Результаты параллельных опытов i ó 2 i s серии опытов 1 k y y y 1 12 11 ,..., , 1 y 2 1 s … … … … ... … j jk j j y y y ,..., , 2 1 j y 2 j s N Nk N N y y y ,..., , 2 1 N y 2 N s 27 Обычно для расчета используют те же данные, получение которых требуется в связи с задачей эксперимента. Например, изучают влияние температуры на выход продукта реакции (у). Номера серии опытов в этом случае соответствуют приведенным данным при переменных значениях температуры. Для расчета используют следующие формулы: k i j yi k y 1 1 (3), где k - число параллельных опытов, проводимых при одинаковых условиях. Обычно k = 2...4. k i j ji j y y k s 1 2 2 ) ( 1 1 (4). По найденным значениям рассчитывают критерии Кохнера, в числителе берут максимальную из найденных оценок дисперсий, а в знаменателе их сумму: N j j j P s s G 1 2 2 max (5). Полученное, значение сравнивают с G, приведенным в табл. 2 приложения. N - общее количество оценок дисперсий, f - число степеней свободы, причем f=k-1. Если Gр≤G, то опыты считаются воспроизводимыми, а оценки дисперсий однородными. В противном случае эксперимент следует прекратить или изменить условия его проведения. Оценки однородных дисперсий можно усреднить N j j s N s 1 2 2 âîñïð 1 (6) и получить оценку дисперсии воспроизводимости. С ней связано число степеней свободы f=N(k-1). Таким образом, по критерию Кохнера делается вывод о воспроизводимости эксперимента, а погрешность эксперимента в целом характеризуется 2 âîñïð s . Простое увеличение числа опытов N увеличит знаменатель в формуле для расчета критерия Кохнера и, казалось бы, тем самым будет достигнуто условие Gр≤G. Однако табличное или табулированное значение G также изменится как зависящее от N. Следовательно, воспроизводимость должна достигаться выявлением и устранением источников нестабильности эксперимента, повышением числа параллельных опытов п. Число параллельных опытов, образцов или наблюдений в однофакторных экспериментах можно определить с учетом вариационного коэффициента ( v ) и критерия Стьюдента (табл. 3 приложения). 100 кр vt n P (7), где Р — показатель точности, обычно принимаемый равным 5. 28 Лекция № 7(4часа) План эксперимента Общее требование к наилучшему плану можно сформулировать так: максимум информации при минимуме эксперимента. Выбор значений для переменной х обычно производят, используя постоянный шаг Δх. Область исследуемых значений х (или пределы изменения х) назначают на основании литературных сведений либо после поисковых опытов. Иногда ограничения устанавливают исходя из физики, химии или физико-химии изучаемого явления; Например, нельзя изучать объемное расширение воды в открытом бассейне в интервале температуры от +20 до +120°С или скорость термодеструкции целлюлозы при этих же значениях. Используют также и переменный шаг, задавая значения х таким образом, чтобы обеспечить повышенную точность на определенных участках (области перехода, области нахождения критических точек или оптимума и др.)- Шаг в этих случаях может монотонно убывать или монотонно возрастать. Иногда выделяют участки с шагом, составляющим определенную долю от основного. На выбор плана влияет также способ обработки данных. Отметим, что схема эксперимента, приведенная на рис. 1, предполагает также обратную связь по всем этапам. В частности, выбранный план диктует необходимость использования аппаратуры с некоторыми определенными параметрами. Если в распоряжении такая аппаратура отсутствует, мы должны внести коррективы в избранный первоначально план эксперимента. В отдельных случаях согласие плана и возможностей аппаратуры достигается рандомизацией порядка проведения опытов. Наличие интенсивного шумового поля делает необходимым увеличить число параллельных определений. Результаты обработки данных также могут привести к принятию решении о неприемлемости выбранного плана, например, по невозможности получить уравнение регрессии, адекватно описывающее связь между переменными. В любом случае проведение эксперимента должно быть спланировано и выполнено таким образом, чтобы изменение или дополнение плана не приводило бы к необходимости все начинать заново. Нужно предусмотреть возможность получения в идентичных условиях дополнительных данных. Обработка результатов исследования Анализ экспериментальных результатов включает стадию формальной обработки данных, мало зависящей от объекта исследования, и стадию содержательной интерпретации, определяющуюся уровнем знаний научного работника, его параметрами. Технику обработки результатов необходимо освоить настолько, чтобы свободно пользоваться необходимым арсеналом приемов и методов. Каждый прием, пока он не освоен, служит в определенной мере помехой, источником ошибок. Начинающий исследователь должен проявить настойчивость в преодолении этого барьера. Встречаются отчеты о научно-исследовательской работе и статьи с изложением экспериментального материала, обработанного поверхностно и не вполне корректно. Выбор приемов для обработки данных в таких работах производился 29 интуитивно или по аналогии со случайными источниками с давним сроком публикации. Это в целом обусловливает медленное проникновение математических методов в исследования по химической переработке древесины. Здесь проявляется сформулированный С. Я. Френкелем «парадокс опережения», суть которого состоит в том, что человек начал использовать различные процессы и материалы задолго до того, как познал их природу. Наука вырастала из технологии, а это, в свою очередь, определяло ее методологию, когда разработка и обоснование усовершенствований, объяснение тех или иных закономерностей процессов могли быть выполнены без строгого математического аппарата. Иначе обстоит дело в новых отраслях знания, например, в ядерной физике. Следует упомянуть еще одно обстоятельство, связанное с неоднородностью такого объекта исследования, каким являются древесина и ее основные компоненты. Выразить результаты в виде классической функциональной зависимости представляется далеко не всегда возможным. Поэтому понятие «закон» уступает новому понятию «модель», а для установления зависимостей вероятностного характера используется математическая статистика. В основе лежит убеждение, согласно которому все законы имеют вероятностный характер и все явления: природы протекают под сильным воздействием случая. Согласно детерминированному, подходу, если выполнен некоторый комплекс условий, то событие А неизбежно наступает. Согласно же закономерностям статистического или вероятностного характера, наличие комплекса условий не влечет за собой неизбежного появления события А, а только определяет, некоторую вероятность Р его появления. Вероятность является объективной числовой характеристикой, дающей представление о том, как часто при большом числе наблюдении появится событие А. В теории вероятностей о случайном событии предполагают, что оно не произвольно, а подчинено некоторым своеобразным законам, которые называют вероятностными или стохастическими; во - вторых, оно таково, что в принципе его можно повторить неограниченное число раз; в-третьих, оно имеет определенную вероятность появиться при каждом данном испытании в заданных условиях. В настоящее время разработаны методы, позволяющие использовать математическую статистику для достаточно малого объема выборки. В общем виде формальный анализ экспериментального материала (считаем, что погрешность эксперимента оценена до начала опытов) начинается с рассмотрения отдельного точечного определения. Затем рассматривается вся совокупность точек, образующих закономерность, результаты наносятся на график. Графические данные преобразуются с целью получения так называемого «удобного графика» и получения эмпирического уравнения. Статистическая обработка экспериментальных данных Результат единичного измерения определяется случайной ошибкой. Гауссом был найден закон распределения случайных величин. Этот закон справедлив почти для любых измерений. На ( рис. 2 а)графически показана зависимость числа измерений n,в которых встречается та или иная ошибка m, от ее величины при достаточном большом числе измерений. 30 Физический смысл закона распределения ошибок иллюстрирует опыт, показанный на (рис. 2б). В вертикально поставленную доску забито большое число тонких стержней. Сверху через узкое отверстие воронки падают одинаковые дробинки. При ударах о стержень дробинки отклоняются случайным образом в ту или другую сторону. Дробинки, получившие одинаковое отклонение, собираются вместе, причем распределение числа дробинок в зависимости от их отклонения совпадает с законом распределения случайных величин. Рассмотрим результаты наблюдений за интересующими нас явлениями. Они записываются в рабочий журнал и представляют собой ряд цифр. Для получения обозримых и удобных для обработки данных наблюдений весь интервал разбивают на части и подсчитывают число наблюдений, попавших в каждый из отрезков. Соответствующий график называют гистограммой. На рис. 3 изображена гистограмма для распределения образцов древесноволокнистых плит по прочности и выравнивающая ее теоретическая кривая. Видно, что показатель разрушающего напряжения при изгибе образцов также подчиняется нормальному распределению. Следовательно, данные наблюдений можно обработать методами математической статистики. Кривую нормального распределения упрощенно строят по наибольшей высоте Н, соответствующей у, ординаты кривой определяют в соответствии с долями s: ±0,5s ±1,0s ±1,5s ±2,0s ±2,5s 0,883Н 0,607Н 0,325Н 0,135Н 0,044Н. Обработка экспериментальных данных имеет значение для исключения шумового поля (возмущающих факторов). Ясно, чем большее число раз проведено определение, тем более точен результат. От того, каким образом будут обработаны соответствующие замеры, зависит объективность, точность и надежность определения истинного значения измеряемой характеристики. Статистические выводы относятся к процессу получения какого-либо заключения относительно всей совокупности по свойствам выборки из этой совокупности. Например, оценка прочности бумаги, выработанной за смену, по результатам трех серий замеров, оценка выхода основного продукта по данным анализа пяти проб и другие. Среднее арифметическое значение у, полученное по результатам испытаний выборки, и среднее квадратичное отклонение s являются приближенными оценками соответствующих параметров генеральной совокупности математического ожидания μ и дисперсии σ 2 : 2 2 , y s (8) . 31 Рассмотрим смысл и способы расчета у, а. Среднее арифметическое значение выборки, то есть ограниченного и равного п количества показателей образцов партии, которая рассматривается как генеральная совокупность всех значений показателей, определяют по формуле: n i i y n y 1 1 (9) Среднее квадратичное отклонение, которое также называют выборочной дисперсией или эмпирическим стандартом, характеризует рассеивание (вариацию) изучаемых случайных величин вокруг среднего значения. Формулы для расчета: 32 n i i y y n s 1 2 2 ) ( 1 1 (10), или 1 1 2 1 2 2 n n y n y s n i i (11). Для оценки изменчивости случайных величин используют вариационный коэффициент, который связан с абсолютными значениями и выражается в процентах 100 y s v (12). Ошибка среднего арифметического рассчитывается по формуле n t s m (13). Практически при у=±3т во всех случаях в указанном интервале будет находиться математическое ожидание данного показателя. Более правильно учитывать заданную вероятность и число параллельных образцов n, используя для этой цели критерий Стъюдента (или t-критерий), приведенный в табл. 3 приложения. Вероятность Р нахождения истинного значения параметра генеральной совокупности в некоторых пределах называют доверительной вероятностью. Пределы, соответствующие доверительной вероятности, называют доверительными границами, а образуемый ими интервал — доверительным интервалом: n s t y n s t y (14). Уровень значимости q=1 - Р называют вероятностью ошибки, которая допущена в данном исследовании. Обычно в исследованиях принимают Р в пределах от 0.80 до 0,95, а в технологических расчетах величину доверительной вероятности повышают до 0,99 для установления норм на продукцию. Р = 0,95 означает, что если подсчитано 100 доверительных интервалов по приведенной формуле, то приблизительно 95 интервалов из 100 будут' включать значение μ. Если построен только один интервал по выборке из /г наблюдений, как это обычно и имеет место, то можно утверждать, что с 95%-ной достоверностью этот интервал включает μ, и только имеется один шанс из 20, что этого не произойдет. Может оказаться, что при параллельных определениях по тем или иным причинам была допущена грубая ошибка. Лучше всего сразу же проверить, не нарушены ли условия эксперимента или условия измерения результатов. Если же такая проверка не была сделана вовремя, то вопрос о целесообразности браковки одного «выскакивающего» значения решается путем сравнении его с остальными результатами измерения. Пусть величина σ заранее неизвестна. Тогда рассчитывают по формуле величину s и абсолютную величину разности между средним значением у и «выскакивающим» значением у*, выраженную в долях s, сравнивают с критическим значением t. 33 / s y y t p (15). Простейший метод отбраковки: , 3s y y так называемое правило трех сигм. При этом расчет выполняют без учета величины у*. Если t Р >t, то с надежностью , соответствующей табличному (или еще говорят табулированному), можно считать, что «выскакивающее» значение содержит грубую ошибку. Его исключают из дальнейшей обработки результатов. С другой стороны, условие t Р Математическая статистика преимущественно основана на допущении существования нормального распределения относительно среднего значения. Однако в практике встречается и асимметричное распределение (рис. 4). Рис. 4.Распределения, отличающиеся от нормального: а - бимодальное, или двухвершинное; б - отрицательно ассиметричное. Анализ форм, кривых распределения, построенных по экспериментальным данным, оказывается очень полезным. Например, двухвершинное распределение может служить указанием, что выборка образцов оказалась неоднородной и могла принадлежать двум партиям материала. Скошенность кривой распределения может рассматриваться в некоторых случаях как показатель существования дефектов в образцах. Таким образом, обработка данных, относящихся к точеному определению, сводится к оценке математического ожидания и дисперсии, к определению доверительного интервала, к исключению «выскакивающего» значения, если таковое окажется. Указанные расчеты находят также применение для решения разнообразных практических задач. |