Житенев Практикум. Практикум для студентов направлений подготовки
 Скачать 1.21 Mb.
|
|
5.2. Задачи для практического занятия. Сила F с компонентами (F x = 3 Н, F y = 4 Н, F z = 5 Н) приложена к точке A с координатами (x = 4 мм м. Найти а) момент силы относительно начала координат б) модуль вектора силы F ; в) момент M z силы F относительно оси z. 2. Вектор момента импульса частицы изменяется по закону 2 8 3cos(6 ) L t i t j = − . Чему равен вектор момента сил, приложенных к частице, в момент времени t = 3 с. В начальный момент частица находится в покое. Чему равен вектор момента импульса частицы через t = 5 с после начала движения, если на частицу действует момент сил 4sin(5 ) M t i = ? 4. Тело массой m = 0,1 кг брошено с некоторой высоты в горизонтальном направлении со скоростью v 0 = 20 мс. Найти модуль приращения момента импульса тела L D относительно точки бросания за первые τ = 5 с. Сопротивлением воздуха пренебречь 27 5. Горизонтальная платформа массой m = 25 кг и радиусом R = 0,8 м вращается с частотой n 1 = 18 мин. В центре стоит человек и держит в разведенных руках гири. Считая платформу диском, определить частоту вращения платформы n 2 , если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от I 1 = 3,5 кг · м до I 2 = 1 кг · м 6. Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной l = 2,5 ми массой m = 8 кг, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Эта система (скамья и человек) обладает моментом инерции I = 10 кг · ми вращается с частотой n 1 = 12 мин. Определить частоту n 2 вращения системы, если стержень повернуть в горизонтальное положение. 7. Человек массой m = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой Мкг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n 1 = 10 мин, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определить, с какой частотой будет вращаться платформа. Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси c угловой скоростью ω 0 . На краю платформы стоит человек, масса которого m в 3 раза меньше массы платформы M. Определить, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы ω/ω 0 , если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы R. 9. Человек массой m = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы радиусом R = 1 ми массой M = 120 кг, вращающийся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n 1 = 10 мин, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определить работу A, совершаемую человеком при переходе от края платформы к ее центру. Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамьи. Стержень служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце стержня. Скамья неподвижна, а колесо вращается с частотой n 1 = 10 с. Радиус колеса равен 20 см, его масса равна кг. Определить частоту вращения п скамьи, если человек повернёт стержень на угол 180°. Суммарный момент инерции человека и скамьи равен I = 6 кг · м. Масса колеса равномерно распределена по ободу. Динамика вращательного движения твердого тела. Работа, мощность и кинетическая энергия при вращательном движении (Занятие На данном занятии рассматривается решение задач, использующих следующие физические понятия и законы основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела, момент инерции материальной точки и твёрдого тела, теорема Штейнера, вычисление момента инерции некоторых тел относительно неподвижной оси, работа и мощность при вращательном движении, кинетическая энергия тела при плоском движении. Примеры решения задач Задача Определить момент инерции цилиндрической поверхности высотой H, радиусом основания R и массой m относительно оси, проходящей через центр основания поверхности параллельно ее направляющим. Дано: m – масса цилиндра H – высота цилиндра – радиус основания. Найти: I – момент инерции цилиндрической поверхности Решение. Так как ось проходит через центр симметрии цилиндрической поверхности (а значит, и через точку центра масс, то I = I C . Так как все точки цилиндрической поверхности находятся на одинаковом расстоянии R от оси цилиндра, то для момента инерции имеем выражение 2 2 C I I r dm R dm Результат не зависит от высоты цилиндрической поверхности H. Следовательно, он справедлив для цилиндрической поверхности бесконечно малой высоты, те. для обруча радиуса R и масс- сой Ответ I C = mR 2 (для цилиндрической поверхности и обруча). Задача На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 1 м намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 10 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением мс. Определить 1) момент инерции вала относительно оси, совпадающей с осью цилиндра 2) массу вала М. Дано m = 10 кг R = 1 м; а = 1 мс = 10 м/с 2 Найти: I, M. Нить z y Решение. Запишем второй закон Ньютона для груза в векторной форме P T = + (Спроектируем векторное уравнение на ось у = mg – T. (2) Запишем второй закон Ньютона для вращательного движения вала в скалярной форме = Ie. Рассмотрим моменты всех сил, приложенных к валу, относительно точки О. Единственной силой, вращающей вал вокруг оси, является сила T ʹ, приложенная к валу со стороны веревки. Линии действия силы тяжести вала и силы реакции оси вала (на рисунке не показаны) проходят через точку О. Следовательно, моменты этих сил равны нулю. По определению модуль момента силы T ʹ равен = T ʹR. Найдем связь между силами, приложенными к валуи телу T, со стороны нити. Запишем второй закон Ньютона для нити массой mʹ ( см. рисунок a K K ′ ′ = + где K и K′ – силы, действующие на нить со стороны тела и вала. По третьему закону Ньютона = T, Kʹ = T ʹ. Предполагаем, что нить невесома. Тогда (5) примет вид K′ = + и, следовательно = Kʹ. Из (6) и (7) получаем ʹ = T ʹ. Подставляя (8) в (4), имеем = Ie. Выражая T из (9) и подставляя в (2), определяем момент инерции вала I 31 ( ) . TR m g a R I − = = e e (Предполагаем, что нить нерастяжима. Тогда модуль тангенциального ускорения нити на криволинейном участке должен равняться модулю ускорения нити на прямолинейном участке, те. Так как e где a t – модуль тангенциального ускорения нити при ее движении по валу, то подставляя (11) ив, получаем 2 1 . m g a R m g a Момент инерции сплошного цилиндрического вала (цилиндра) относительно его оси равен 2 MR I Подставим (14) в (13) и выразим массу вала М 2 2 2 2 2 1 2 1 . I mR g g M m R R a a = = − Найдем численные значения 2 2 10 1 10 1 1 90 , 1 10 2 1 2 10 1 180 кг мкг Ответ 2 1 90 , 2 1 180 кг мкг. Задачи для практического занятия. Вывести формулу для момента инерции I диска массой m и радиусом R относительно оси, касающейся боковой поверхности диска и перпендикулярной его плоскости. Определить момент инерции I сплошного однородного диска радиусом R = 40 см и массой m = 1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. 3. Определить момент инерции I тонкого однородного стержня длиной l = 50 см и массой m = 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через 1) конец стержня 2) точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины. Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного итого же материала (ρ 1 = ρ 2 ), одинаковой массы (m 1 = m 2 ), катятся без скольжения равномерно по горизонтальной поверхности с одинаковой скоростью (v 1 = v 2 ). Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара T 1 меньше кинетической энергии сплошного цилиндра T 2 5. Полная кинетическая энергия Т диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж. Определить кинетическую энергию Т поступательного и Т вращательного движения диска. Полый тонкостенный цилиндр массой m = 0,5 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от нее. Скорость цилиндра до удара о стену v 1 = 1,4 мс, после удара v 2 = –1 мс. Определить выделившееся при ударе количество теплоты Q. 7. С наклонной плоскости, составляющей угол a = 30° c горизонтом, скатывается без скольжения шарик. Определить время движения шарика по наклонной плоскости t, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на h = 30 см. 8. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом = 20 см, момент инерции которого I = 0,15 кг · м, намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота h груза над полом составляла 2,3 м. Определить 1) время t опускания груза до пола 2) силу натяжения нити F; 3) кинетическую энергию груза T в момент удара о пол. 33 9. Обручи сплошной цилиндр одинаковой массы m = 5 кг катятся без скольжения с одинаковой скоростью v = 10 мс. Найти кинетические энергии T 1 и T 2 этих тел. Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением e = 0,4 рад/с 2 . Определить кинетическую энергию маховика T через время t 2 = 25 с после начала движения, если через t 1 = 10 с после начала движения момент импульса L маховика составлял 60 кг · мс. 7. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа (Занятие На данном занятии рассматривается решение задач, использующих следующие физические понятия и законы уравнение состояния идеального газа, основное уравнение молекулярно-ки- нетической теории идеального газа, молекулярно-кинетическое толкование термодинамической температуры, распределение Больцмана и Максвелла. Примеры решения задач Пример Определить число молекул в 1 мм воды и массу одной молекулы воды. Решение. Число N молекул, содержащихся в массе m вещества, имеющего молярную массу, равно числу Авогадро N A , умноженному на число молей ν = Масса вещества определяется как m = ρV, следовательно, , A V N N ρ = m (1) где ρ – плотность воды После подстановки числовых значений в формулу (7.1) имеем 9 23 19 3 10 10 6,02 10 3,34 10 18 10 N − − ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ молекул. Массу о одной молекулы воды можно определить, разделив массу одного моля на число Авогадро 26 23 18 10 2,99 10 6,02 10 A m N − − m ⋅ = = = ⋅ ⋅ кг. Пример Газообразный кислород массой m = 10 г находится под давлением Па при температуре t 1 = 10 С. После расширения, вследствие нагревания при постоянном давлении, газ занял объем V = 10 л. Найти объем и плотность газа до расширения, температуру и плотность газа после расширения. Решение. Для нахождения объема кислорода до расширения воспользуемся уравнением Менделеева–Клапейрона и учтем, что молярная масса кислорода µ = 32 · 10 –3 кг/моль: 1 1 1 m p Тогда 1 1 3 5 1 0,01 8,31 283 2,4 10 32 10 3 10 mRT V p − − ⋅ ⋅ = = = ⋅ m ⋅ ⋅ м 3 Плотность кислорода до расширения равна 3 1 0,01 4,14 2,4 10 m V − ρ = = = ⋅ кг/м 3 Температуру кислорода после расширения можно найти, применив закон Гей-Люссака: 1 1 2 2 V T V T = (1) Из выражения (1) следует 2 1 2 3 1 10 283 1180 . 2,4 10 K V Плотность кислорода после расширения равна 2 2 2 0,01 1 / . 1 кг м = = = ⋅ 7.2. Задачи для практического занятия. Какое количество ν газа находится в баллоне объемом V = 10 м при давлении p = 96 кПа и температуре t = 17 С. Массу m = 5 г азота, находящегося в закрытом сосуде объемом л при температуре t 1 = 20 °C, нагревают до температуры t 2 = 40 °C. Найти давление p 1 и p 2 газа дои после нагревания. Давление воздуха внутри плотно закупоренной бутылки при температуре t 1 = 7 Сбыло кПа. При нагревании бутылки пробка вылетела. До какой температуры t 2 нагрели бутылку, если известно, что пробка вылетела при давлении воздуха в бутылке p = 130 кПа? 4. Каким должен быть наименьшей объем V баллона, вмещающего массу m = 6,4 кг кислорода, если его стенки при температуре = 20 С выдерживают давление p = 15,7 МПа. В баллоне находилась масса m 1 = 10 кг газа при давлении p 1 = 10 МПа. Какую массу Δm газа взяли из баллона, если давление стало равным p 2 = 2,5 МПа Температуру газа считать постоянной. В сосуде объемом V = 4 л находится масса m = 1 г водорода. Какое число молекул n содержит единица объема сосуда. Какое число молекул N находится в комнате объемом V = 80 м при температуре t = 17 Си давлении p = 100 кПа? 8. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа равна кв = 450 мс. Давление газа p = 50 кПа. Найти плотность ρ газа при этих условиях 36 9. Плотность некоторого газа ρ = 0,082 кг/м 3 при давлении p = 100 кПа и температуре t = 17 С. Найти среднюю квадратичную скорость кв молекул газа. Какова молярная масса m этого газа. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа при нормальных условиях кв = 461 мс. Какое число молекул n содержит единица массы этого газа. Внутренняя энергия идеального газа. Первое и второе начала термодинамики Занятие На данном занятии рассматривается решение задач, использующих следующие физические понятия и законы внутренняя энергия идеального газа, распределение энергии по степеням свободы молекулы, работа и теплота в термодинамике, первое начало термодинамики, работа газа в изопроцессах, теплоемкость, адиабатический процесс, круговые процессы, цикл Карно и его КПД, энтропия идеального газа. Примеры решения задач Пример Найти среднюю кинетическую энергию вр e вращательного движения молекулы водорода при температуре t = 27 Си кинетическую энергию Евр вращательного движения всех молекул водорода массой m = 2 г. Решение. В соответствии с теоремой о равномерном распределении энергии по степеням свободы, на каждую степень свободы молекулы приходится энергия 1 2 kT e = . Вращательному движению двухатомной молекулы соответствуют две степени свободы. Следовательно, средняя энергия вращательного движения молекулы водорода равна 2 вр kT Произведем вычисления: вр e = 1,38 · 10 –23 · 300 = 4,14 · 10 –23 Дж. Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа вычисляется по формуле , вр вр E N = где N – число всех молекул газа, равное N = N A · ν; N A – число Авогадро – количество вещества. Учтем, что количество вещества ν= m/µ, где m – масса газа µ – молярная масса газа. Тогда выражение N = примет вид Подставим выражение (4) в формулу (3): вр вр A m E N = e Произведем вычисления, учитывая, что молярная масса водорода кг/моль: 3 21 23 2 3 2 10 4,14 10 6,02 10 24,9 10 2 10 вр E − − − − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ Дж. Пример Кислород массой m = 2 кг занимает объем V 1 = 1 ми находится под давлением P 1 = 0,2 МПа. После нагревания при постоянном давлении он занял объем V 2 = 3 м, а затем его давление входе изохорического процесса стало равным P 3 = 0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа ∆U, совершенную им работу A и количество теплоты Q, переданной газу. Построить график процесса. Решение. График процесса приведен на ри- сунке. Работа расширения газа A 12 при изобарическом переходе из состояния в состояние 2 выражается формулой Работа газа A 23 при изохорическом переходе из состояния 2 в состояние 3 равна нулю. Таким образом, полная работа A, совершаемая газом при переходе из состояния 1 в состояние 3, равна = p 1 D V = p 1 (V 2 – Изменение внутренней энергии газа при переходе 1→2→3 определяется соотношением 1 , 2 2 i m i m U R T R T T D = D = − m где i – число степеней свободы газа T 1 и T 3 – температура газа соответственно в начальном и конечном состояниях. Уравнения Менделеева–Клапейрона для состояний 1 и запишутся в виде 1 1 , m p V RT = m (2) 3 2 3 m p После совместного решения уравнений (1)–(3) получим выражение для изменения внутренней энергии газа 2 1 1 2 i U p V p V D = − Согласно первому началу термодинамики, теплота Q, переданная газу, расходуется на совершение газом работы и на изменение его внутренней энергии = A + Произведем вычисления, учитывая, что для двухатомных молекул кислорода µ = 32 · 10 –3 кг/моль, а число степеней свободы i = 5: A = A 12 = 0,2 · 10 6 (3 – 1) = 0,4 · 10 6 Дж = 0,4 МДж 2 U D = (0,5 · 10 6 · 3 – 0,2 · 10 6 · 1) = 3,25 · 10 6 Дж = 3,25 МДж = (3,25 + 0,4) = 3,65 МДж. Задачи для практического занятия. Найти внутреннюю энергию W массы m = 20 г кислорода при температуре t = 10 С. Какая часть этой энергии приходится на долю поступательного движения молекул и какая часть на долю вращательного движения. Найти внутреннюю энергию W массы m = 1 г воздуха при температуре t = 15 С. Молярная масса воздуха μ = 0,029 кг/моль. 3. Какое число молекул N двухатомного газа содержит объем V = 10 см при давлении p = 5,3 кПа и температуре t = 27 С Какой энергией теплового движения W обладают эти молекулы. Найти удельную теплоемкость c кислорода для а) V = const; б) p = const. 5. Масса m = 6,5 г водорода, находящегося при температуре t = 27 °C, расширяется вдвое приза счет притока тепла извне. Найти работу А расширения газа, изменение ΔW внутренней энергии газа и количество теплоты Q, сообщенное газу. Газ расширяется адиабатически так, что его давление падает от p 1 = 200 кПа до p 2 = 100 кПа. Затем он нагревается при постоянном объеме до первоначальной температуры, причем его давление становится равным p = 122 кПа. Найти отношение c p /с v для этого газа. Начертить график этого процесса. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, за цикл получает от нагревателя количество теплоты Q 1 = 2,512 кДж. Температура нагревателя T 1 = 400 К, температура холодильника T 2 = 300 К. Найти работу A, совершаемую машиной за один цикли количество теплоты Q 2 , отдаваемое холодильнику за один цикл. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, совершает за один цикл работу А = 2,94 кДж и отдает за один цикл холодильнику количество теплоты Q 2 = 13,4 кДж. Найти КПД η цикла. Найти изменение ΔS энтропии при изотермическом расширении массы m = 6 г водорода от давления p 1 = 100 кПа до давления кПа. 10. В результате нагревания массы m = 22 г азота его термодинамическая температура увеличилась от T 1 до T 2 = 1,2 · T 1 , а энтропия увеличилась на ΔS = 4,19 Дж/К. При каких условиях производилось нагревание азота (при постоянном объеме или при постоянном давлении. Двухатомный газ занимает объем V 1 = 0,5 л при давлении p = 50 кПа. Газ сжимается адиабатически до некоторого объема V 2 и давления р. Затем он охлаждается при V 2 = const до первоначальной температуры, причем его давление становится равным p 0 = 100 кПа. Начертить график этого процесса. Найти объем и давление p 2 |