Житенев Практикум. Практикум для студентов направлений подготовки

• Название: Практикум для студентов направлений подготовки
• Дата: 15.02.2022
• Размер: 1.21 Mb.
• Имя файла: Житенев Практикум.pdf
• Тип: Практикум; #362509
• страница: 2 из 6

3. Импульс. Закон сохранения импульса Занятие На данном занятии рассматривается решение задач, использующих следующие физические понятия и законы импульс материальной точки и механической системы, закон изменения и сохранения импульса материальной точки и механической системы, закон движения центра масс, реактивное движение. Примеры решения задач
Задача Человек массы m
1
находится на узком плоту массы m
2
, который покоится на поверхности озера. Человек совершил перемещение относительно плота и остановился. Сопротивление
m
1
m
2

воды пренебрежимо мало. Найдём соответствующее перемещение плота относительно берега.
Дано:
m
1
m
2
∆rʹ
∆r
2
– ?
Решение.
В данном случае результирующая всех внешних сил, действующих на систему человек-плот, равна нулю, поэтому импульс этой системы меняться небу- дет, оставаясь равным нулю в процессе движения 1 2 2 0,
mV m где
1
V

и
2
V

– скорости человека и плота относительно берега. Но скорость человека относительно берега можно представить в виде
1 2
V V V ′
=
+



, где V
ʹ – скорость человека относительно плота. Исключив
1
V

из этих двух уравнений, получим
1 2
1 2
(
)
m
V
V
m m
′
= Умножив обе части на dt, найдём связь между элементарными перемещениями плота
2
r
D
и человека
r′
D
относительно плота. Такая же связь будет и для конечных перемещений 2
1 2
(
)
m
r
r
m m
′
D = Задача 2 На горизонтальных рельсах стоит платформа с песком (общая масса кг. В песок попадает снаряд массы m
2
= 5 кг. В момент попадания скорость снаряда V =
400 мс и направлена сверху вниз под углом a = 37° к горизонту (см. рисунок. Найти скорость платформы, если снаряд застревает в песке.
Решение.
Платформа приобретает скорость в результате взаимодействия со снарядом. Закон изменения силы этого взаимодействия во времени и само время взаимодействия неизвестны. Поэтому задача не может быть решена непосредственно с помощью законов
x

m
1
m
2
V


Ньютона. Если же рассмотреть систему тел платформа-снаряд, то эта неизвестная сила будет внутренней и не изменит импульса системы.
На систему платформа-снаряд действуют внешние силы сила тяжести, сила нормальной реакции рельсов и сила трения. Вследствие негоризонтального взаимодействия скорости снаряда сила нормальной реакции, действующая на платформу, вовремя взаимодействия платформы и снаряда изменяется и будет тем больше, чем больше внутренняя сила взаимодействия снаряда и платформы. Если пренебречь действием силы трения на платформу вовремя удара, то, поскольку силы тяжести и нормальной реакции рельсов строго вертикальны, можно считать, что проекция вектора импульса системы на горизонтальное направление остается постоянной. Это позволяет найти модуль скорости которую приобретает платформа после удара.
Если ввести ось x (см. рисунок, то P
1x
= P
2x
, где
P
1x
= m
2
∙ V ∙ cosa,
P
2x
= (m
1
+ m
2
)u
– проекции векторов импульсов системы на ось x соответственно дои после взаимодействия тел. Тогда в соответствии с законом сохранения импульса для направления, совпадающего с осью х, имеем ∙ V ∙ cosa = (m
1
+ Откуда
U = (m
2
∙ V ∙ cosa) / (m
1
+ m
2
) = 0,32 мс. Задачи для практического занятия. Снаряд массой m = 15 кг, летящий со скоростью v = 500 мс, разорвался на две части. Меньший осколок, масса которого составляет 20 % от общей массы снаряда, полетел в противоположном направлении со скоростью v
1
= 200 мс. Определить

скорость большого осколка и энергию, выделившуюся при разрыве снаряда.
2. Деревянный шар массой М лежит на штативе, верхняя часть которого выполнена в виде кольца. Снизу в шар попадает пуля, летящая вертикально и пробивающая его. При этом шар поднимается на высоту Н. На какую высоту h
1
поднимется пуля над штативом, если её скорость перед ударом о шар была v
0
? Масса пули m.
3. Шарик массой m = 100 г свободно падает с высоты h
0
= 1 м на стальную плиту и подпрыгивает на высоту h
1
= 0,5 м. Определить импульс p (по величине и направлению, сообщенный плитой шарику. Горизонтально летящая пуля массой m попадает в деревянный куб, лежащий на полу, и пробивает его. Определить, какая часть энергии пули перешла в тепло, если её начальная скорость v
1
, скорость после вылета v
2
, а масса куба m. Траектория пули проходит через центр куба, трение между кубом и полом не учитывать.
5. Снаряд массой 98 кг летит со скоростью 600 мс вниз под углом 30° к горизонту. Его горизонтальная составляющая направлена вдоль железнодорожного полотна, когда он попадает в вагон с песком массой 10 т и застревает в нм, не разрываясь. С какой скоростью будет двигаться вагон, если до попадания снаряда его скорость равнялась 36 км/ч и была направлена в противоположную сторону полёта снаряда. Снаряд массой m = 10 кг обладал скоростью v = 300 мс в верхней точке траектории. В этой точке он разорвался на две части. Меньшая, массой m
1
= 2 кг, получила скорость v
1
= 500 мс. С какой скоростью ив каком направлении полетит большая часть, если меньшая полетела вперед под углом 60° к горизонту. Шар массой m = 40 г, падая на пол с высоты h
1
= 1 м, изменил свой импульс в момент удара на ∆p = 0,31 кг ∙ мс. На какую высоту h
2
поднимется шар после удара. Движущееся тело массой m
1
ударяется о неподвижное тело массой m
2
. Считая удар неупругими центральным, найти, какая часть первоначальной кинетической энергии переходит при ударе в тепло. Рассмотреть два случая 1) m
1
= m
2
; 2) m
1
= 9 m
2

18 9. Деревянный шар массой m лежит на штативе, верхняя часть которого выполнена в виде кольца. Снизу в шар попадает пуля, летящая вертикально и пробивающая его. При этом шар поднимается на высоту Н, пуля поднимется над штативом высоту h
1
, а её скорость перед ударом о шар была v
0
? Чему равна масса пули?
10.
Космический корабль массой Мкг покидает космический спутник массой m = 5 кг со скоростью v = 2 мс относительно корабля в направлении, противоположном его движению. Найти изменение ∆v скорости космического корабля. Работа и мощность. Кинетическая и потенциальная энергия Закон изменения и сохранения полной механической энергии. Соударение тел (Занятие На данном занятии рассматривается решение задач, использующих следующие физические понятия и законы работа постоянной и переменной силы, мощность, кинетическая энергия, закон изменения кинетической энергии, консервативные и неконсерва- тивные силы, потенциальная энергия, закон изменения и сохранения полной механической энергии, соударение тел, центральный удар, абсолютно неупругий удар, абсолютно упругий удар. Примеры решения задач
Задача Тело начинает скользить с верхней точки наклонной плоскости, высота которой равна h, а угол с горизонтом a. Найти скорость тела в конце плоскости, если коэффициент трения равен µ, начальная скорость тела равна нулю.
Решение.
Выберем за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии основание наклонной плоскости. Тогда в верхней точке наклонной плоскости потенциальная энергия тела W
p1
= mgh, где

19
m – масса тела, а кинетическая W
k1
= 0, так как начальная скорость равна нулю. Обозначим через V скорость тела в конце плоскости. Тогда кинетическая энергия тела в конце плоскости
2 2
2
k
mV
W =
, а потенциальная W
p2
= 0. Приращение полной механической энергии тела равно работе силы трения + W
p2
) – (W
k1
+ W
p1
) = A
тр или
(
)
2 0
0
,
2
mV
mgh
A


+
−
+
=




тр
(но A
тр
= F
тр
· l · cos180° = –F
тр
· l, так как угол между силой трения и перемещением равен 180°. Здесь F
тр
– модуль силы трения, l – длина наклонной плоскости sin
h
l Сумма проекций всех сил на ось О равна нулю, те Отсюда N = mg cosa. Следовательно, F
тр
= mN = m · mg cosa (µ – коэффициент трения. Тогда cos ctg .
sin тр
A
mgh
mgh
a
= −m ⋅
= −m ⋅
⋅
a Подставив это выражение в уравнение (4.1), получим
2
ctg .
2
mV
mgh
mgh
−
= −m Отсюда находим скорость тела в конце наклонной плоскости (1
ctg ).
V
gh
=
− m Задача Пуля массой m = 15 г, летящая с горизонтальной скоростью u
= 0,5 км/с, попадает в баллистический маятник массой M = 6 кг

и застревает в нем. Определите высоту h, на которую поднимется маятник, откачнувшись после удара.
Дано:
m = 15 г = 15 10
–3
кг 500 км мкг ?
Решение.
В соответствии с законом сохранения импульса в направлении взаимодействия можно записать для проекций импульса на горизонтальное направление
mu = (m + M)uʹ. Отсюда следует, что M
u
′
u Далее можно применить закон сохранения механической энергии, если не учитывать трение системы пуля – маятник при её движении в воздухе, в этом случае следует записать M
m M gh
′
+
u
=
+
(В результате для максимальной высоты подъёма маятника с учётом формулы (2) имеем 2
2
( )
2 2 (
)
m
h
g
g m M
′
u Подставляя данные в задаче величины, можно оценить высоту подъёма маятникам см

21
4.2. Задачи для практического занятия. Тело массой m = 1 кг, теплоемкость которого с = 453 Дж/К, соскальзывает безначальной скорости с наклонной плоскости высотой h = 1 м. Определить скорость тела в конце плоскости, если, соскользнув, оно нагрелось на ∆T = 0,015 К (ответ –
2,45 мс. При взвешивании космонавта на орбитальной станции между ними эталонной массой Э = 1 кг устанавливается сжатая пружина, при разжатии которой космонавт и эталонная масса начинают двигаться в противоположных направлениях. Определить массу космонавта к, если известно 1) жесткость пружины Нм 2) начальное сжатие пружины x = 10 см 3) кинетическая энергия эталонной массы после разжатия пружины
T = 0,05 Дж 4) масса пружины много меньше как к, таки Э кг. Подвешены два одинаковых шарика первый на нити длиной м, второй – на нити длиной l
2
= 1 м. Когда нити вертикальны, шарики касаются друг друга, а линия, соединяющая их центры, горизонтальна. Если отклонить первый шарик на угол a
1
= 15°, то второй после столкновения отклоняется на угол a
2
= 8°, причем в момент столкновения первая нить обрывается. Каков характер столкновения абсолютно упругий, абсолютно неупругий, частично упругий (удар – частично упругий. Автомобиль массой m = 1 т движется по горизонтальному участку дороги. Путь, проходимый им, меняется по закону
s = At + Bt
2
, где A = 1 мс B = 1 мс. В какой момент времени t мощность двигателя будет равна N = 70 кВт, если сила сопротивления при этом равна с = 12 кН? (2 с. Потенциальная энергия двух частиц, находящихся на расстоянии друг от друга, вычисляется по формуле U = Lr
–1
, где
L = 9,56 · 10
–28
Нм. До какого минимального расстояния смогут сблизиться частицы, начинающие двигаться из бесконечности навстречу друг другу с относительной скоростью сближения
v = 3 · 106 мс, если масса частицы m = 6,64 · 10
–27
кг

22 6. Пружина сжата до x
1
= 10 см. Какая величина работы будет совершена при дополнительном сжатии пружины до x
2
=
= 15 см, если сила упругости в конце сжатия F
2
= 150 Н Ответ Дж. Метеорит массой 10 кг падает из бесконечности на поверхность Земли. Определить работу, которую совершают при этом силы гравитационного поля Земли. Груз массой 100 кг поднимают по наклонной плоскости со скоростью 15 мс по наклонной плоскости длиной 30 м, которая образует с горизонтом угол 300. Сила трения 2000 Н. Определить работу и мощность, развиваемую при подъёме.
9. На какой высоте h над поверхностью Земли напряженность поля равна 1 Н/кг? Какую работу надо совершить, чтобы спутник массой 400 кг запустить на эту высоту. Момент импульса. Момент силы. Закон изменения и сохранения момента импульса Занятие На данном занятии рассматривается решение задач, использующих следующие физические понятия и законы момент импульса материальной точки и механической системы, момент силы, закон изменения и сохранения момента импульса материальной точки и механической системы, движение тела в поле центральных сил. Примеры решения задач
Задача Камень массой m = 0,5 кг бросили под углом a = 30° к горизонту с начальной скоростью v
0
= 5 мс. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти момент силы тяжести
M

и момент импульса относительно точки бросания О в произвольный момент времени и при t
= 5 с

Дано = 0,5 кг = 5 мс 30°;
t
= 5
с.
Найти:
( ), ( ),
(5), (5).
M t L t M
L


x
z
О
y
Решение.
Поместим начало координат О в точку начала движения камня и запишем основное уравнение кинематики точки в векторном виде с учетом того, что
0 0
r =

2 0
( )
2
gt
r t
v Момент силы тяжести относительно точки О равен 2
0 0
0
[ ,
]
,
[ ,
] [ , ]
[ ,
] ,
2 2
gt
t
M
r mg
v t
mg
v mg t g g
v mg t


=
=
+
=
+
=






 




 


(так как векторное произведение двух одинаковых векторов
[ , ] 0
g g =
 
, следует, что 0
0 0
0 0
0 0
0 2
2 0
0 0
[ , ]
[ ,
]
[0,
] [ ,
]
[ ,
]
[ ,
] .
2 2
t
t
t
t
L L
Mdt
r p
v mg tdt
mv
v mg tdt
t
t
v mg
v mg
=
+
=
+
=
+
=
=
=
∫
∫
∫
 

 









(Дугой со стрелкой на рисунке указано направление вращательного движения правого винта от вектора начальной скорости к вектору силы тяжести
mg
, соединенному началом с вектором начальной скорости. Поступательное движение винта определяет направление вектора
0
[ ,
]
v mg


. Вектор
0
[ ,
]
v mg


направленна нас и не меняется со временем. Векторы
M

и
L

сонаправлены сданным вектором, так как отличаются от него только положительными константами t и
2 2
t
соответственно.

24
M = v
0
mg(sina)t, M(5) = 5 · 0,5 · 10 · 0,5 · 5 = 62,5 Нм кг м c
t
L v mg
L
⋅
=
a
= ⋅
⋅ Ответ
0
[ ,
]
M
v mg t
=



, M(5) = 62,5 Нм кг м Задача Горизонтальная платформа массой Мкг и радиусом
R = 1 м вращается с частотой ν
1
= 12 мин. В центре стоит человек и держит на вытянутых руках гири. Считая платформу диском, определить частоту ν
2 вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от I
1
= 6,2 кг · м
2
до I
2
= 1 кг · м
2
Дано:
M = 50 кг
R
= 1 м = 12 мин = 0,2 см кг · м
2
Найти:
ν
2
ν
1
ν
2
M
R
M
z
Решение. Дана система, состоящяя из нескольких твердых тел платформа, человек, гири. На эти твердые тела действуют внешние силы силы тяжести и силы со стороны осина которой держится платформа. Все внешние силы или параллельны, или антипараллельны оси z. Из

 
M
r F
 

,
следует, что проекция момента любой силы на ось z
M
z
= xF
y
– yF
x
, те. зависит только от компонент сил, действующих в плоскости
XOY, перпендикулярных оси z. Следовательно, проекции моментов всех внешних сил на ось z

25
M
z
= 0. Тогда имеет место закон сохранения момента импульса системы тел и
L(t) = L(tʹ), где L(t) и L(tʹ) – сумма моментов импульса тел системы в любые два момента времени. Если считать t начальным, а tʹ конечным моментами времени, то моменты импульса платформы L
1
и человека с гирями L
2
(когда тела совершают только вращательные движения вокруг неподвижной оси) соответственно) = I
p
w
1
, L
1
(tʹ) = I
1
w
1
,
(4)
L
2
(t) = I
p
w
2
, L
2
(tʹ) = I
2
w
2
, где w
1
, I
1
и w
2
, I
2
– круговые частоты вращения и моменты инерции человека с гирями в начальный и конечный момент времени,
I
p
– момент инерции платформы. Подставляя (4) ив) с учетом равенств w
1
= 2pν
1
,
(6)
w
2
= 2pν
2
, получаем · 2pν
1
+ I
1
· 2pν
1
= I
p
· 2pν
2
+ I
2
· 2pν
2 или + I
1
)ν
1
= (I
p
+ Выражая из уравнения (9) ν
2
, имеем 2
1 2
p
p
I
I
I
I
+
ν Так как платформа – диск, то момент инерции платформы относительно оси, проходящей через ее центр перпендикулярно плоскости платформы, равен 2
p
MR
I =
(11)

Подставляя (11) в (10), находим ν
2 2
1 1
2 1
1 2
2 2
2 2
p
p
MR
I
I
I
MR
I
I
I
+
+
ν =
ν Используя данные условия задачи, определяем численное значение Ответ 1
1 2
1 2
2 2
0,24 с =
ν =
+