Житенев Практикум. Практикум для студентов направлений подготовки

• Название: Практикум для студентов направлений подготовки
• Дата: 15.02.2022
• Размер: 1.21 Mb.
• Имя файла: Житенев Практикум.pdf
• Тип: Практикум; #362509
• страница: 4 из 6

9. Электростатика. Закон Кулона, теорема Гаусса Занятие На данном занятии рассматривается решение задач, использующих следующие физические понятия, теоремы и законы закон Кулона, напряженность электрического поля, принцип суперпозиции, поток вектора напряженности, теорема Гаусса и ее применение, работа сил электростатического поля, потенциал

электростатического поля, связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом. Примеры решения задач
Пример 1 Два точечных электрических заряда q
1
= 1 нКл и q
2
= –2 нКл находятся в воздухе на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить напряженность
E

и потенциал j поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удаленной от заряда q
1
на расстояние
r
1
= 9 см и от заряда q
2
– на расстояние r
2
= 7 см.
Решение. Согласно принципу суперпозиции электрических полей каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности. Напряженности электрического поля, создаваемого в воздухе (ε = 1) зарядами q
1
и q
2
, равны 2
1 2
2 2
0 1 0 2
,
4 4
q
q
E
E
r
r
=
=
pe На рисунке вектор
1
E

направлен по силовой линии от заряда
q
1
, так как этот заряд положителен вектор
2
E

направлен также по силовой линии, но к заряду q
2
, поскольку этот заряд отрицателен

Модуль вектора
E

найдем по теореме косинусов 2
1 1 2 2
2
cos
,
E
E
E E
E
=
+
a +где α – угол между векторами
1
E

и
2
E

, который может быть найден из треугольника со сторонами r
1
, r
2
и d:
2 2
2 1
2 1 2
cos
2
d
r
r
r r
−
−
a Во избежание громоздких записей значение cosa удобнее вычислить отдельно 2
2 0,1 0,09 0,07
cos
0,238.
2 0,09 0,07
−
−
a =
= Подставляя выражения Е и Е из уравнений (1) в формулу (2) и вынося общий множитель за знак корня, получаем 2
1 1 2 2
4 2 2 4
0 1
1 2 2
1 2 0,238 4
q
q q
q
E
r
r r
r
=
− В соответствии с принципом суперпозиции потенциал поля, создаваемого двумя зарядами q
1
и q
2
, равен алгебраической сумме потенциалов, те+ Потенциал электрического поля, создаваемого в воздухе
(ε = 1) точечным зарядом q на расстоянии r от него, вычисляется по формуле 4
q
r
j Согласно формулами Учтем, что
2 9
2 0
1 9 Нм Кл ⋅
pe и произведем вычисления 2 9
9 9 2 9
4 2
2 4
3 9
9 9
(10 )
10 2 10
(2 10 )
9 10 2 0,238 0,09 0,09 0,07 0,07 3,58 10
/
3,58
/ ;
10 2 10 9 10 157 .
0,09 0,07
B мкм При вычислении Е знак заряда q
2
опущен, так как он определяет направление вектора напряженности, которое было учтено при графическом изображении вектора
E

(см. рисунок. Пример 2 Потенциал поля задан в виде
2 3
4 7ln
x
z y
j =
−
+
. Найти величину и направление напряженности электрического поля в точке с координатами (0, –2, 1).
Решение.
Используем формулы связи напряженности с потенциалом. Проекция вектора
E

на оси координат определяются следующим образом 3
2
(4 )
8 ;
( )
3 ;
7
( 7ln )
x
y
z
E
x
x
x
E
y
y
y
E
z
z
z
∂
= −
= −
∂
∂
= −
= −
∂
∂
= −
−
=
∂

Вектор напряженности электрического поля равен
2 7
8 3
,
12 7 .
E
xi
y j
k
z
E
j
k
= −
−
+
= Модуль вектора напряженности
2 2
( 12)
(7)
14 /
H Кл = Ответ
12 7
E
j
k
= −
+



; E ≈ 14 Н/Кл.
9.2. Задачи для практического занятия. Расстояние между двумя точечными зарядами q
1
= 22 нКл и q
2
= –44 нКл равно 5 см. Найти напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии 3 см от положительного заряда и 4 см от отрицательного заряда. Медный шар диаметром 1 см помещен в масло. Плотность масла ρ = 800 кг/м
3
. Чему равен заряд шара, если в однородном электрическом поле шар оказался взвешенным в масле Электрическое поле направлено вертикально вверх, а его напряженность Е = 36 кВ/см.
3. Шарик массой 40 мг, имеющий положительный заряд, равный Кл, движется со скоростью v = 10 см. На какое расстояние может приблизиться шарик к положительному точечному заряду, равному 1,4 · 10
–9
Кл. Два шарика с зарядами q
1
= 7 нКл и q
2
= 13 нКл находятся на расстоянии r
1
= 40 см. Какую работу нужно совершить, чтобы сблизить их до расстояния r
2
= 25 см. Определить напряжённость Е электрического поля, созданного бесконечно протяжённой равномерно заряженной пластиной с поверхностной плотностью заряда σ = 10
–9
Кл/м
2
, в точке, отстоящей от пластины на расстоянии r = 0,1 м, а также разность потенциалов между точками отстоящими от плоскости на расстоянии мм. Четыре одинаковых точечных заряда, равные q = 40 · 10
–9
Кл, находятся в вершинах квадрата со стороной а = 10 см. Определить силу F, действующую на один из зарядов со стороны других

45 7. На каждой из трёх бесконечных больших плоскостей с координатами ха, хи ха находится поверхностный заряд, распределённый с равномерной плотностью σ. Определить напряжённость электрического поля в точке ха. Определить напряжённость Е и потенциал φ электрического поля в точке, расположенной в центре полукольца радиуса
R = 0,05 см, если поэтому полукольцу равномерно распределён заряд Q = 3 · 10
–7 Кл. Две очень длинные одноименно заряженные нити расположены на расстоянии r = 10 см друг от друга. Линейная плотность заряда на нитях τ
1
= τ
2
= 10 мкКл/м. Найти модуль и направление напряжённости Е результирующего электрического поля в точке, находящейся на расстоянии а = 10 см от каждой нити. Шарик массой 1 г и зарядом 10
–8
Кл перемещается в электростатическом поле из точки Ас потенциалом 600 В в точку В, потенциал которой равен нулю. Какова была его скорость в точке А, если в точке Вона стала равной 20 см/с?
10. Электростатика. Электрическая емкость. Напряженность электростатического поля Занятие На данном занятии рассматривается решение задач, использующих следующие физические понятия и законы электрическая емкость, конденсаторы, энергия заряженного проводника, энергия системы проводников, энергия конденсатора, энергия электростатического поля, вектор поляризации (поляризованность, напряженность электростатического поля в диэлектрике. Примеры решения задач
Пример Вычислить энергию поля, заряженного зарядом q проводящего шара радиуса R, помещенного в однородный безграничный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε.

46
Решение.
Проводящий (металлический) шар, заряженный зарядом q, создает электростатическое поле, напряженность которого изменяется с расстоянием r (см. рисунок 0
1
,
4
r R
q
E
r
>
=
pe e те. электростатическое поле заряженного шара неоднородно. Поэтому для вычисления энергии поля выделим бесконечно малый объем в виде шарового слоя толщиной dr. Объем сферы
3 4
3
V
r
= p
, а dV = 4pr
2
dr. Энергия поля выделенного объема равна
dW = W
0
dV, где W
0
– объемная плотность энергии поля. В соответствии с известной формулой запишем выражение для dW:
2 2
2 0
2 0
0 1
4 2 4 2 4
q
q
dr
dW
r dr
r
r


e e
=
p
=


pe e pe Интегрируя полученное выражение, увидим, что энергия электрического поля заряженного шара, помещенного в безграничный диэлектрик, равна 2
2 2
0 0
0 1
1 1
1 2 4 2 4 2 4
R
R
q
dr
q
q
W
r
r
R
∞
∞


=
=
−
=


pe e pe e pe Пример Конденсатор емкостью C
1
= 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U
1
= 40 В. После отключения от источника тока его соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью C
2
= 5 мкФ. Какая энергия W израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?
Решение.
Энергия, израсходованная на образование искры, равна W
1
– W
2
,
(1)
dr
r

q
R

где W
1
– энергия, которой обладал первый конденсатор допри- соединения к нему второго конденсатора W
2
– энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.
Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле где C – емкость конденсатора U – разность потенциалов между его обкладками.
Выразив в уравнении (1) энергии W
1
и W
2
по формуле (2) и приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим 2
2 1
1 2
2
,
2 2
C U
C C где U
2
– разность потенциалов на зажимах батареи конденсато- ров.
Учитывая, что общий заряд q после подключения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов следующим образом 1 2
1 2
1 2
C U
q
U
C C
C Подставив выражение (4) в формулу (3), найдем 2
2 2
1 2
1 1
1 1 1 2 1 1
2 1
2 2
2 2
C C C U
C U
C C U
W
C C
C Произведем вычисления 6
2 3
6 6
3 10 5 10 40 1,5 10 2 3 10 5 Дж ⋅
⋅
=
=
⋅
⋅ ⋅
+ ⋅

48
10.2. Задачи для практического занятия. Найти емкость земного шара. Радиус Земли принять равным
6400 км. Насколько изменится потенциал земного шара, если ему сообщить количество электричества, равное 1 Кл. Шарик радиусом 2 см заряжен отрицательно до потенциала
2000 В. Найти массу всех электронов, составляющих заряд, сообщенных шарику при зарядке. Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до другой, приобретает скорость 10 8
мс. Расстояние между пластинами 5,3 мм. Найти 1) разность потенциалов между пластинами) напряженность электрического поля внутри конденсатора. Электрон летит от одной пластины плоского конденсатора до другой. Разность потенциалов между пластинами 3 кВ, расстояние между пластинами 5 мм. Найти 1) силу, действующую на электрон 2) ускорение электрона 3) скорость, с которой он достигает второй пластины. Конденсатор, заряженный до напряжения U
1
= 100 В, соединяют с другим конденсатором такой же емкости, заряженным до напряжения U
2
= 200 Вас одноименно заряженными обкладками б) с разноименно заряженными обкладками. Определить установившееся напряжение в каждом случае. Ответа В б) U = 25 В. Пространство между обкладками плоского конденсатора наполовину заполнили диэлектриком с диэлектрической проницаемостью, во второй половине остался воздух. Во сколько раз отличается распределение энергии в диэлектрике ив воздушном зазоре Чему равна емкость такого конденсатора?
Ответ: а)
1 2
W
W
= e
; б)
1 2
1
W
W
=
e
;
2
( 1)
4
a б +
=
e
7. Шар радиусом R = 25 см заряжен до потенциала U = 600 В. Какое количество теплоты выделится в проволоке, соединяющей шар с Землей?
Ответ:
2 2
2 0
2 1
4 0
2 2
2
RU
CU
CU
Q W W
pe e
=
−
= −
= −
= −
, Q = –2,5 мкДж, энергия выделяется

49 8. Плоский конденсатор, расстояние между обкладками которого см, заряжен до U
1
= 150 В. Какова будет разность потенциалов, если в отключенном от источника конденсаторе раздвинуть пластины до расстояния d
2
= 4 см. Какую работу придется при этом затратить, если площадь каждой из обкладок
S = 314 см Как изменится энергия такого конденсатора?
Ответ:
2 0
2 1
2 1
2 1
(
) 4,4 2
мкДж
U S d
d
A W W
d
e
−
=
−
=
=
9. Два одинаковых плоских воздушных конденсатора соединены последовательно и подключены к источнику с постоянной ЭДС. Как изменится модуль напряженности электрического поля в первом конденсаторе, если пространство между обкладками второго конденсатора заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε = 2?
10. Одна батарея составлена из n
1
= 15 параллельно соединенных одинаковых конденсаторов, заряженных до разности потенциалов В. Другая батарея составлена из n
2
= 10 таких же одинаковых последовательно соединенных конденсаторов, на каждом из которых разность потенциалов U
2
= 40 В. Найти отношение энергии первой батареи к энергии второй батареи конденсаторов. Постоянный электрический ток. ЭДС. Напряжение. Закон Ома для однородного и неоднородного участка цепи. Закон Джоуля-Ленца. Правила Кирхгофа Занятие На данном занятии рассматривается решение задач, использующих следующие физические понятия и законы электрический токи его характеристики, ЭДС источника тока, напряжение, закон Ома для однородного и неоднородного участка цепи, закон
Джоуля-Ленца, правила Кирхгофа

50
11.1. Примеры решения задач
Пример 1 Потенциометр с сопротивлением п = 100 Ом подключен к батарее, ЭДС которой ε = 150 В, внутреннее сопротивление
r = 50 Ом. Определить 1) показание вольтметра с сопротивлением Ом, соединенного с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом, установленным посередине потенциометра) разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра.
Решение. Показание вольтметра, подключенного к точкам Аи В (см. рисунок, или разность потенциалов U
1
между точками Аи В определяем по формуле = I
1
R
1
, где R
1
– сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины сопротивления потенциометра I
1
– суммарная сила тока в ветвях этого соединения (она равна силе тока в неразвет- вленной части цепи).
Силу тока I
1
найдем по закону Ома для полной цепи r
e
=
+
(где R – сопротивление внешней цепи. Оно является суммой двух сопротивлений Перепишем формулу (2) с учетом выражения (3)
1 1
2
I
R R п

Сопротивление R
1
найдем по формуле параллельного соединения проводников 1
1 2 откуда 2
v Произведем промежуточные вычисления по формулами Ом+ ⋅
1 150 1,03 ,
100 45,5 50 2
A
I =
=
+
+
U
1
= 1,03
·45,5 = 46,9 В.
Разность потенциалов между точками Аи при отключенном вольтметре равна произведению силы тока I
2
наполовину сопротивления потенциометра 2
2
R
U
I
=
(Силу тока вцепи при отключенном вольтметре определяем по формуле Подставив выражение (7) в формулу (6), найдем разность потенциалов После вычислений получим 150 100 50 .
2(100 Пример Найти мощность, выделяемую электрическим током в нагрузке Ом, если последняя подключена к источнику постоянного тока с внутренним сопротивлением r = 0,1 Ом и током короткого замыкания I
КЗ
= 150 А.
Решение.
Записываем выражение для определения мощности, выделяемой на нагрузке R:
P = I
2
R. Согласно закону Ома для замкнутой цепи Запишем соотношение, связывающее ток короткого замыкания З, ЭДС источника и его внутреннее сопротивление r
КЗ
I
r
e
=
(3)
Отсюда
ε = З
r. Подстановка (4) в (2) дает
КЗ
I r
I
R Переписав (1) с учетом (5), получим окончательную формулу 2
2
,
КЗ
I r
P
R
R r
=
+
(а затем, подставив числовые значения, найдем 2
150 0,1 25 9 .
25 Вт

53
11.2. Задачи для практического занятия. Сила тока I в проводнике изменяется со временем согласно уравнению I = A + B · t, где А = 4 А, В = 2 Ас. Какое количество электричества проходит через поперечное сечение проводника за время от t
1
= 2 c до t
2
= 6 c? При какой силе постоянного тока через поперечное сечение проводника проходит такое же количество электричества. Сопротивление вольфрамовой нити электрической лампочки при 20 С равно 35,8 см. Какова будет температура нити в лампочке, если при включении в сеть напряжением 120 В по нити идет ток I = 0,35 А Температурный коэффициент сопротивления вольфрама равен 4,6·10
–3 С 3. Элемент с ЭДС 1,1 В и внутренним сопротивлением 1 Ом замкнут на внешнее сопротивление 9 Ом. Найти 1) силу тока вцепи) падение потенциала во внешней цепи 3) падение потенциала внутри элемента 4) КПД источника. Чему равен КПД элемента с ЭДС 1,6 В и внутренним сопротивлением Ом при силе тока 2,4 А. Элемент питания, реостат и амперметр включены последовательно. Элемент имеет ЭДС, равную 2 В, и внутреннее сопротивление Ом. Амперметр показывает силу тока 1 АС каким КПД работает элемент. За 3 с сила тока в проводнике линейно возрастает от некоторого начального значения до 8 А, при этом через поперечное сечение проводника проходит заряд 18 Кл. Чему равно начальное значение силы тока. В замкнутой электрической цепи с нагрузкой сила тока
I = 0,8 А. Найти ЭДС (e) источника тока и сопротивление R нагрузки, если внутреннее сопротивление источника r = 0,6 Ом и сила тока короткого замыкания ЗА одинаковых источников тока с внутренним сопротивлением сначала соединяют в батарею параллельно, а затем последовательно и замыкают на внешнее сопротивление R, при котором сила тока в обоих случаях одинакова. Найти величину сопротивления. Десять параллельно соединенных ламп, каждая из которых имеет электрическое сопротивление R = 0,5 кОм и рассчитана на напряжение U
1
= 120 В, подсоединены последовательно к реостату. Найти мощность тока в реостате, если напряжение на участке цепи U
2
= 220 В. Троллейбус массой m = 11 т движется со скоростью
v = 36 км/час по дороге c некоторым коэффициентом трения µ. Найти значение этого коэффициента, если сопротивление обмотки двигателя R = 10 Ом, его КПД η = 0,8 и напряжение в сети
U = 550 В.
11. Линия электропередачи длиной L = 100 км работает при напряжении U = 2·10 5
В. Определить η (КПД) электрической линии, те. отношение напряжения на нагрузке к напряжению, подводимому к линии, если она выполнена из алюминиевого кабеля, площадью поперечного сечения S = 150 мм. Передаваемая мощность Р = 3·10 4
кВт. Удельное сопротивление алюминия
ρ
= 0,028 мкОм·м.

1   2   3   4   5   6