Житенев Практикум. Практикум для студентов направлений подготовки
 Скачать 1.21 Mb.
|
|
12. Магнитостатика Занятие На данном занятии рассматривается решение задач, использующих следующие физические понятия и законы магнитный момент контура стоком, магнитная индукция, закон Ампера, закон Био-Савара-Лапласа, поле прямого и кругового тока, работа перемещения проводника и рамки стоком в магнитном поле. Примеры решения задач Пример 1 Два параллельных бесконечно длинных провода В и С, по которым текут водном направлении электрические токи силой I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого проводниками стоком в точке А см. рисунок, отстоящей от оси одного проводника на расстоянии см, а от другого на расстоянии см. Решение. Для нахождения магнитной индукции B в точке А воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого выделим направления магнитных индукций полей 1 B и 2 B , создаваемых каждым проводником в отдельности и сложим их геометрически (см. рисунок). Модуль вектора B может быть найден по теореме косинусов 2 1 2 1 2 2 cos , B B B B где a – угол между векторами 1 B и 2 B . Магнитные индукции В 1 и B 2 выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r 1 и r 2 от проводов до точки А 0 1 2 1 2 ; 2 2 I I B B r r m m = = p Подставляя выражения В ив формулу (1) и вынося выражение за знак корня, получаем 2 1 1 2 2 1 2cos 1 . 2 I B r r r r m Вычислим cosa по теореме косинусов, учитывая что ∠a = АС (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами где d – расстояние между проводами Подставим в формулу (2) числовые значения физических величин и произведем вычисления 2 2 4 3,14 10 60 1 1 1 23 309 2 3,14 0,5 0,12 0,5 0,12 40 мкТл B − ⋅ ⋅ ⋅ = + + ⋅ = ⋅ ⋅ Пример 2 По двум параллельным проводникам, расположенным на расстоянии см друг от друга, текут токи одного направления величиной в 100 А. Длина проводников равна 3 м. Вычислить силу взаимодействия между проводниками, если они находятся в ва- кууме. Решение. На проводники стоком в магнитном поле действует сила Ампера, которая может быть найдена по формуле 1 2 , 2 I I L F d mm = p где d – расстояние между проводниками L – их длина I 1 и I 2 – токи в проводниках µ – магнитная проницаемость среды (для вакуума магнитная постоянная. Подставив в формулу известные нам значения, получаем 1 4 10 100 100 3 0,03 . 2 3,14 0,2 H F − ⋅ p Пример Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов, равную В, попал в однородное магнитное поле напряженностью H = 1 кА/м. Определить радиус кривизны траектории и частоту обращения электрона в магнитном поле, если вектор скорости перпендикулярен линиям поля. Решение. На движущийся в магнитном поле электрон действует сила Лоренца, которая сообщает электрону нормальное ускорение. По второму закону Ньютона Л, где n a – нормальное ускорение. Тогда в проекции на направление ускорения, с учетом выражений для силы Лоренца и нормального ускорения, имеем Л где e – заряд электрона v – скорость электрона B – магнитная индукция m – масса электрона R – радиус кривизны траектории, α – угол между векторами B ив нашем случае он равен 90°, следовательно, sin a = 1). Отсюда найдем R: mv R eB = (Входящий в равенство (1) импульс электрона m может быть выражен через его кинетическую энергию (T) как Поскольку кинетическую энергию электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, можно определить равенством T = eU, получаем (Магнитная индукция может быть выражена через напряженность магнитного поля в вакууме как B = µ 0 H. Подставив полученные выражения в формулу (1), находим Производим вычисления 19 2 7 19 3 2 9,11 10 1,6 10 400 5,37 10 . 4 3,14 10 1,6 10 10 м R − − − − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Частота обращения электрона в магнитном поле связана сего скоростью и радиусом соотношением n = ν/(2pR). Подставив в это соотношение выражение (3) с учетом (2), получаем = m 0 eH/(2pm). Произведем вычисления 7 19 3 7 31 4 3,14 10 1,6 10 10 3,52 10 1/ . 2 3,14 9,11 10 c n − − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 12.2. Задачи для практического занятия. По изогнутому под углом 120° длинному проводу течет ток силой 20 А. Определить напряженность поляна биссектрисе угла в точке, отстоящей от вершины угла на 15 см. Радиусы кольцевых токов силой 5 Аи А соответственно равны 12 см и 16 см. Они имеют общий центр, и их плоскости расположены под углом 60°. Найти напряженность магнитного поля в общем центре витков. Рассмотреть случаи одинакового и противоположного направлений токов в витках. По изолированному кольцевому проводнику радиусом 20 см течет ток силой 10 А. Перпендикулярно плоскости кольца проходят два длинных провода стоками и 20 Атак, что они касаются кольца в точках, лежащих на противоположных концах диаметра. Определить индукцию в центре кольца, когда токи текут водном или в противоположных направлениях. 4. Определить магнитную индукцию B на оси тонкого проволочного кольца радиусом R = 10 см в точке, расположенной на расстоянии d = 20 см от центра кольца, если при протекании тока по кольцу в центре кольца индукции B = 50 мкТл. 5. Проволочная квадратная рамка стоком и стороной a = 15 см создает в центре напряженность магнитного поля H = 30 А/м. Определить силу тока I в рамке. Квадратный проводящий контур, по которому течет ток I = 10 А, свободно подвешен в однородном магнитном поле с магнитной индукцией B = 0,2 Тл. При повороте контура на 180° вокруг оси, перпендикулярной направлению магнитного поля, совершена работа А = 0.16 Дж. Определить площадь S контура. В однородном магнитном поле напряженностью 30000 А/м находится проводник стоком А длиной 2 м, расположенный под углом 45° к направлению вектора В. Найти силу, действующую на проводник со стороны поля. Потрем параллельным проводникам, находящимся на расстоянии см друг от друга, текут одинаковые токи силой I = 100 А. Во всех проводах направления токов совпадают. Вычислить для каждого из проводов отношение силы, действующей на него к его длине. Круговой контур радиусом 2 см помещен в однородное магнитное поле напряженностью 5 А/м перпендикулярно силовым линиям. По контуру течет ток силой 2 А. Какую работу надо совершить, чтобы повернуть контур на угол 90° вокруг оси, совпадающей с диаметром контура 10. Прямой провод длиной l = 20 см истоком А, находящийся в однородном магнитном поле с индукцией B = 0,1 Тл, расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определить работу A сил поля, под действием которых проводник переместится на расстояние d = 2 см. Электромагнитная индукция и самоиндукция (Занятие На данном занятии рассматривается решение задач, использующих следующие физические понятия и законы закон электромагнитной индукции, явление самоиндукции, индуктивность, индуктивность соленоида и тороида, взаимная индукция и взаимная индуктивность, энергия магнитного поля. Примеры решения задач Пример 1 В однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл равномерно с частотой 10 с вращается рамка, содержащая 1000 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки равна 150 см. Определить мгновенное значение ЭДС индукции, если угол поворота рамки равен 30°. Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции определяется уравнением Фарадея-Максвелла , i d dt Φ e = − (где Φ – потокосцепление. Потокосцепление связано с магнитным потоком Фи числом витков N соотношением Φ = Ф. Подставляя выражение (2) в формулу (1), получаем = При вращении рамки магнитный поток, пронизывающий ее в момент времени t, определяется соотношением cos , BS t Φ где B – магнитная индукция S – площадь рамки w – циклическая частота. Подставив в формулу (2) выражение (3) и продифференцировав повремени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции . i NBS t e = w Учитывая, что w = 2pn, а wt = j, получаем . i nNBS e = p Произведем вычисления 2 2 3,14 10 10 0,1 1,5 10 0,5 47,1 . B i − e = ⋅ ⋅ Пример Имеется катушка, индуктивность которой равна 0,2 Гн, сопротивление Ом. Найти, во сколько раз уменьшится сила тока в катушке через 0,05 с после того, как ЭДС выключена и катушка замкнута накоротко. Решение. При выключении тока вцепи, содержащей R и L см. рисунок, и закорачивании катушки спад тока в ней осуществляется поза- кону 0 exp , R I где I 0 – значение тока до закорачивания катушки. Через промежуток времени t 1 сила тока в катушке будет равна I 1 = I 0 exp(–Rt 1 /L). Тогда соотношение токов будет следующим Произведем вычисления 1,64 0,05 exp 1,5 раза. Задачи для практического занятия. Горизонтальный стержень длиной l = 1 м вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Ось вращения параллельна магнитному полюс индукцией В = 50 мкТл. При какой частоте ω вращения стержня разность потенциалов на концах этого стержня U = 1 мВ. В магнитном поле с индукцией В = 0,05 Тл помещена квадратная рамка из медной проволоки с площадью поперечного сечения проволоки s = 1 мм. Площадь рамки S = 25 см. Нормаль к плоскости рамки параллельна магнитному полю. Какое количество электричества q пройдет по контуру рамки при исчезновении магнитного поля. Проводящая рамка вращается с постоянной угловой скоростью в однородном магнитном поле вокруг оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярной вектору индукции (см. рисунок. На рисунке также представлен график зависимости от времени потока вектора магнитной индукции, пронизывающего рамку. Записать закон изменения ЭДС индукции от времени, если максимальное значение магнитного потока Φ = 2 мВб, а время измерялось в секундах. Во сколько раз уменьшится ток в катушке с индуктивностью L = 0,2 Гни сопротивлением R = 1,64 Ом через время t = 0,05 с после того, как ЭДС выключена и катушка замкнута накоротко. Скорость самолета с реактивным двигателем v = 950 км/ч. Найти ЭДС ε индукции возникающую между концами крыльев, если вертикальная составляющая индукции земного магнитного поля B = 39,8 Тл, а размах крыльев самолетам. В магнитном поле с индукцией В = 0,05 Тл помещена катушка, состоящая из N = 200 витков проволоки. Сопротивление катушки R = 40 Ом площадь поперечного сечения S = 12 см 2 Катушка помещена так, что ее ось составляет угол a = 60° сна- правлением магнитного поля. Какое количество электричества q пройдет по катушке при исчезновении магнитного поля. Через какое время t после подключения ЭДС к катушке с индуктивностью Гни сопротивлением R = 10 Ом потечет ток I, равный половине установившегосятока I 0 ? 8. Круговой контур радиусом r = 2 см помещен в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,2 Тл. Плоскость контура перпендикулярна направлению магнитного поля. Сопротивление контура R = 1 Ом. Какое количество электричества q пройдет через катушку при повороте ее на угол a = 90°? 9. Через катушку с индуктивностью L = 20 мГн течет ток, изменяющийся со временем по закону I = I 0 sinωt, где I 0 = 5 Аи с. Найти зависимость от времени t: а) ЭДС самоиндукции б) энергии W магнитного поля катушки. Через катушку с индуктивностью L = 200 мГн протекает ток, изменяющийся по закону I = 2cos3t. Определить 1) ЭДС самоиндукции) максимальное значение ε max 63 14. Механические и электромагнитные колебания, волны Занятие На данном занятии рассматривается решение задач, использующих следующие физические понятия и законы свободные незатухающие колебания, период колебания, частота колебания, фаза колебания, затухающие колебания, коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания, добротность, вынужденные колебания под действием гармонической ЭДС, резонанс, переменный ток, реактивное сопротивление, полное сопротивление переменному току, механические волны, электромагнитные волны. Примеры решения задач Задача Однородный диск радиуса R колеблется около горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей на расстоянии от центра диска. Каков период его колебаний? Дано: Найти T. Решение. Период колебаний физического маятника 2 , I T mgd = p где d – расстояние от оси вращения до точки приложения силы тяжести. Согласно теореме Штейнера момент инерции I относительно осине проходящей через цент тяжести диска 0 , I I m = + где I 0 – момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр тяжести m – масса диска l – расстояние между осями, равно d. Учитывая, что 2 1 2 I mR = , получим 2 1 Ответ период колебания физического маятника равен 2 2 1 2 2 R d T gd + = Задача Собственная частота ν 0 колебаний некоторой системы составляет Гц. Определить частоту ν затухающих колебаний этой системы, если резонансная частота рез = 499 Гц. Дано: ν 0 = 500 Гц ; ν рез = 499 Гц Решение. Циклическая частота затухающих колебаний и циклическая резонансная частота определяются соотношениями (1) и (2): ν – ? 2 2 0 , w = w − β (1) 2 2 0 2 рез w = w − Из уравнений (1) и (2) получим 2 0 рез w + w w Учитывая, что w 0 = 2pν 0 , w рез = рез, w = 2pν, имеем 2 2 2 0 500 499 499,5 2 2 рез Гц ν + ν + ν Ответ ν = 499,5 Гц 65 14.2. Задачи для практического занятия. Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой ν = 10 Гц. В момент t = 0 точка имеет максимальное смещение х мах = 10 см. Написать уравнение движения материальной точки. Материальная точка с массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид ХА, где А = 0,2 м, ω = 8 рад/с. Найти возвращающую силу F в момент t = 0,1 с, а также полную энергию Е точки. 3. Стержень длиной L = 40 см колеблется около оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его верхний конец. Определить период колебаний такого маятника. Логарифмический декремент затухания колебаний математического маятника равен 0,01. Сколько полных колебаний должен сделать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в два раза 5. Определить резонансную частоту колебательной системы, если собственная частота колебаний ν 0 = 300 Гц, а логарифмический декремент затухания λ = 0,2. 6. Катушка индуктивности, конденсатор и сопротивление соединены последовательно и включены в цепь переменного тока, изменяющегося по закону I = 0,1cos(3,14t) (А. На рисунке представлена фазовая диаграмма падений напряжения на указанных элементах. Амплитудные значения напряжений соответственно равны на сопротивлении U R = 4 B; на катушке индуктивности U L = 5 B; на конденсаторе U C = 2 B. Определить реактивное сопротивление цепи. Резистор с сопротивлением R = 25 Ом, катушка с индуктивностью мГн и конденсатор с емкостью С = 12 мкФ соединены последовательно и подключены к источнику переменного напряжения, изменяющегося по закону U = 127cos(3140t), B. Определить эффективное значение напряжения на каждом элементе цепи 66 8. Уравнение бегущей волны имеет вид ξ = 6cos(1570t – 4,6x), где ξ выражено в миллиметрах, t – в секундах, х – в метрах. Чему равно отношение амплитудного значения скорости частиц среды к скорости распространения волны 9. В физиотерапии используется ультразвук частотой 800 кГц и интенсивностью 1 Вт/м 2 . Определить амплитуду колебаний молекул ангстремах (Å) при воздействии таким ультразвуком на мягкие ткани человека плотностью 1060 кг/м 3 . Считать скорость ультразвуковых волн в теле человека равной 1500 мс. Плоская электромагнитная волна распространяется в диэлектрике с проницаемостью ε = 4. Определить интенсивность волны, если амплитудное значение электрического вектора волны Е = 0,55 мВ/м (электрическая постоянная равна ε 0 = 8,85 ∙ 10 –12 Ф/м). 15. Геометрическая и волновая оптика Занятия 16, На данном занятии рассматривается решение задач, использующих следующие физические понятия и законы законы отражения и преломления света на границе раздела двух сред, явление полного внутреннего отражения, линзы, формула тонкой линзы, интерференция света, опыт Юнга, интерференция в тонких пленках, полосы равной толщины (кольца Ньютона, дифракция света на отверстии и на диске (дифракция Френеля, дифракция света щели и на дифракционной решетке (дифракция Фраунгофера). 15.1. Примеры решения задач Пример В опыте Юнга отверстия освещались монохроматическим светом с длиной волны λ = 600 нм. Расстояние между отверстиями d = 1 мм, расстояние от отверстий до экранам. Найти положение на экране четырех первых светлых полос Решение. В опыте Юнга наблюдается явление интерференции света, которое выражается в ослаблении и усилении света. Так как в задаче определено одно из условий интерференции – l >> d, то можно воспользоваться формулой для нахождения координат максимумов интенсивности света ± l где k = 0, 1, 2, Все параметры формулы заданы условием задачи. Проведем расчеты при различных значениях k. Получили 1 3 2 3 3 600 10 1, 1,8 , 10 мм мм мм ± = ± = ± l = = ± = ± = = Светлая самая яркая полоса располагается напротив отверстия. Остальные светлые полосы располагаются симметрично относительно центральной полосы (k = 0). Пример 2 На дифракционную решетку нормально падает пучок света от разрядной трубки. Чему должна быть равна постоянная дифракционной решетки, чтобы в направлении j = 41° совпадали максимумы двух линий λ 1 = 656,3 нм и λ 2 = 410,2 нм? Решение. При прохождении света через дифракционную решетку максимум будет наблюдаться при условии · sinj = где k – порядок дифракционного максимума. Знаки «±» указывают, что максимумы симметричны относительно нулевой точки (k = 0, j = 0). Из условий задачи следует, что sinj = k 1 · λ 1 /l = k 2 · λ 2 /l, или k 1 · λ 1 = k 2 · λ 2 . Отсюда k 2 /k 1 = λ 1 /λ 2 = 656,3/410,2 = Так как числа k 1 и k 2 должны быть обязательно целыми, то полученному отношению удовлетворяют значения k 1 = 5 и k 2 = 8. Тогда 6 1 1 5 656,3 10 5 10 sin sin м ⋅ j ° |