Практикум для студентов технических специальностей очной и заочной форм обучения Тюмень
 Скачать 1.31 Mb.
|
|
ВНИМАНИЕ При выстреле не смотрите через прицельное устройство на цилиндр (пуля может отскочить) и не находитесь рядом со шкалой 6. 4. Вычислить средние значения параметров m, периода T и смещения S. Таблица № пули m, г m, г S 1 , мм S 2 , мм S, мм S мм t, с Т, с T, c 1. 5. М = R = n = 10 5. Из выражения (9) вывести формулу для определения относительной и абсолютной погрешностей скорости V, вычислить V и δV. Записать окончательный результат. Сделать вывод. 6. Определить потерю механической энергии системой при абсолютно неупругом ударе с помощью формулы (10). Оценить долю механической энергии пули, переходящую во внутреннюю энергию пластилина и пули, те. найти величину Е. 7. Сделайте вывод о выполнимости законов сохранения импульса и энергии. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Дайте определение импульса и момента импульса материальной точки и вращающегося тела. 2. Какой удар называется абсолютно упругими абсолютно неупругим Каким является удар пули о маятник 3. Как выражается кинетическая и потенциальная энергия маятника 4. Сформулируйте законы сохранения импульса, момента импульса и механической энергии для маятника и пули. Какие из этих законов выполняются в настоящей лабораторной работе 5. Как определяется в этой работе момент инерции маятника 6. Почему нельзя приравнять кинетическую энергию пули и полученную при ударе кинетическую энергию маятника 7. Получите формулу (9). ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1-4-5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПОЛЕТА ПУЛИ С ПОМОЩЬЮ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА Цель работы применение законов сохранения энергии и момента импульса для определения скорости полета пули с помощью баллистического крутильного маятника. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Общий вид баллистического маятника FPM 09 показан на риса, б. На плите маятника 1 имеется колонка 3, на которой закреплены три кронштейна. На кронштейне 4 находится стреляющее устройство 5, а также прозрачный экран с нанесенной на него угловой шкалой 6. Верхний и нижний кронштейны 8 и 9 имеют зажимы, служащие для крепления стальной проволоки 10, на которой подвешена крестовина с двумя передвигающимися грузами 12 и мишенью Колебания маятника регистрируются фотоэлементом 7. На лицевой панели прибора 13 размещены кнопки управления секундомером "сеть, сброс" и "стоп. Пуля, выпущенная из пружинной пушки 5, попадает в мишень 11 и застревает в пластилине. В результате неупругого столкновения маятник с пулей повернется на некоторый максимальный угол Стальная нить, на которой подвешен маятник, упруго закручивается. В результате возникает возвращающий момент сил упругости M, который определяется по закону Гука M = f, (1) здесь угол закручивания f модуль кручения, постоянная для данной проволоки величина. Если маятник предоставить самому себе, то он будет колебаться. Так как колебания осуществляются в форме вращательного движения, то 6 13 5 а) б) 8 11 3 9 1 12 4 5 7 10 11 12 Рис описывать движение маятника можно с помощью основного уравнения динамики вращательного движения 2 2 dt d I I M , где I момент инерции системы "маятник - пуля угловое ускорение. Объединяя формулы (1) и (2), получим дифференциальное уравнение, описывающее колебания маятника без учета момента сил трения I f 2 2 dt Уравнение (3) по форме совпадает с уравнением движения пружинного маятника 0 x 2 0 2 2 dt x d , где собственная частота колебаний пружинного маятника. По аналогии находим, что циклическая частота 0 свободных колебаний крутильного маятника равна Т Пуля, обладающая импульсом m V (m, V масса и скорость пули соответственно, неупруго ударяет в маятник на расстоянии r от оси вращения. При этом она сообщает ему момент импульса m Vr. Согласно закону сохранения момента импульса m Vr = I, (6) где момент импульса системы "маятник - пуля начальная угловая скорость крутильного маятника, которую он приобрел в результате удара пули. Маятник с пулей представляет собой замкнутую систему. Полученная кинетическая энергия вращательного движения маятника Е к = I 2 /2 переходит в потенциальную энергию закрученной нити Е п = f m 2 /2, где максимальный угол закручивания маятника, те. 2 f 2 I 2 Момент инерции системы I складывается из момента инерции маятника без грузов I 0 , момента инерции двух грузов 2m г, которые рассматриваются как материальные точки (R расстояния от оси вращения до центра масс грузов, m г масса груза) и момента инерции пули, которым можно пренебречь ввиду его малости I = I 0 + 2m г. (8) Начальную угловую скорость маятника найдем из уравнения (6) = mVr/I. Подставив ее в (7) и используя (5), получим I T r m I r m f I r m V m 2 2 0 m Таким образом, измеряя период колебаний маятника T, максимальный угол отклонения m , и зная момент инерции I системы, можно найти скорость полета пули. Рассмотрим два положения грузов в маятнике, которым соответствуют два момента инерции системы I 1 = I 0 + 2 m г 2 (10) I 2 = I 0 + 2 m г Так как момент инерции маятника без грузов I 0 неизвестен, то его можно исключить, для этого вычтем из первого уравнения второе I = I 1 I 2 = 2 m г (R 1 2 R 2 2 ) (11) Модуль кручения данной проволоки величина постоянная и согласно (5) равная 2 2 2 2 1 2 1 Тогда 1 I T T 1 I T T I I I I 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 Из (11) и (12) имеем 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 г Подставив выражения для I изв, найдем скорость полета пули V Г Здесь φ m1 – максимальный угол закручивания при первом расположении грузов в маятнике. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ 1. Путем взвешивания определить массу пули m. 2. Установить грузы симметрично относительно оси вращения маятника. Добиться совпадения риски на мишени с нулевым положением угловой шкалы. Измерить расстояние от центра груза до оси вращения R 1 38 3. Включить кнопку "сеть" и нажать "сброс. Этим действием прибор секундомер и фотоэлемент) приводится в рабочее состояние. 4. Зарядить стреляющее устройство и произвести выстрел. При этом маятник отклонится и начнет колебаться. Измерить максимальный угол отклонения m1 и расстояние от оси вращения (оси проволоки) до точки попадания пули в мишень r. 5. Измерить время t 1 десяти полных колебаний. Для этого, когда на счетчике периодов появится цифра 9, нажать кнопку "стоп. Вычислить период колебаний T 1 = t 1 /10. Значения T 1 и t 1 занести в таблицу 1. Опыт повторить 3 раза. 6. Установить новое расстояние R 2 от оси вращения до центра масс грузов и повторить измерения согласно пунктами. Результаты всех измерений и расчетов занести в таблицу 1. 7. Вычислить скорость полета пули по формуле (14), подставив в нее средние значения измеряемых величин. 8. Вычислить максимальную кинетическую энергию пули по формуле 2 к. Сделать вывод о выполнимости законов сохранения. Таблица № п/п R 1 , мс с m 1, рад r, мм, с T 2 , с 1. 2. 3. > > < m 1 > > > г = m = КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какую систему тел называют консервативной, неконсервативной? 2. Какие колебания называются крутильными Запишите дифференциальное уравнение таких колебаний. Как определяется их частота 3. Дайте определение импульса, момента импульса материальной точки. 4. Сформулируйте законы сохранения импульса, момента импульса, энергии как для упругих итак и для неупругих столкновений. 5. Выведите расчетную формулу (14). 6. Выполняется ли в системе "маятник - пуля" закон сохранения механической энергии Как используется закон сохранения энергии в данной задаче ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1-5-1 СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА Цель работы Изучение колебаний пружинного маятника. Определение основных параметров колебаний периода, коэффициента затухания, добротности, жесткости пружины. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пружинным маятником называется система, состоящая из груза массой m, подвешенного на упругой пружине (рис, причем масса пружины пренебрежимо мала по сравнению с массой груза. Если вывести груз из положения равновесия, то со стороны деформированной на величину x пружины на груз подействует возвращающая сила F, пропорциональная, согласно закону Гука величине смещения F=-kx. (1) Здесь k - коэффициент жесткости пружины. Движению груза противодействует сила сопротивления, которая при небольшой скорости движения пропорциональна ее величине, те. dt dx r rυ сопр Здесь r - коэффициент сопротивления. Уравнение движения груза массой m в соответствии сом законом Ньютона запишется в виде ma = F - f сопр . Т.к. ускорение 2 2 dt x d a , то после подстановки и деления на m, получим 0 x m k dt dx m r dt x d 2 Введем обозначения m 2 r β , T π 2 m k ω 0 , где - коэффициент затухания 0 , T 0 – соответственно циклическая частота и период свободных незатухающих колебаний. После подстановки получим стандартное дифференциальное уравнение затухающих колебаний 0 х Рис сопр f 40 0 x ω dt dx β 2 dt x d 2 0 2 Решение уравнения (5) имеет вид и называется уравнением затухающих колебаний 0 0 0 φ t ω cos t A φ t ω cos e A x t β , где t β e A t A 0 - убывающая со временем амплитуда затухающих колебаний, А значение амплитуды в начальный момент времени t =0; 0 - начальная фаза колебаний, - циклическая частота затухающих колебаний, определяемая соотношением 2 2 2 0 2 m r m k β ω ω , 2 2 0 Если масса колеблющегося груза велика, то влияние коэффициента затухания на частоту незначительно, те. 2 0 2 ω β , и им часто пренебрегают. В этом случае период колебаний пружинного маятника можно считать равным периоду его незатухающих колебаний k m π T T 2 Коэффициент затухания и обратно пропорциональная ему величина добротность Q являются важнейшими характеристиками колебательной системы, параметрами контроля качества изделий в ряде областей машиностроения. Добротностью Q колебательной системы называется величина, пропорциональная отношению запасенной энергии к энергии, потерянной за период T T t E t E t E 2 Q (9) Здесь =T -логарифмический декремент затухания, который обратен числу колебаний, совершаемых системой за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается враз. По величине добротности можно судить о том, как много колебаний совершит система до остановки. Для определения добротности Q по формуле (9) нужно измерить потерю энергии за период, что весьма сложно. Поэтому оценивают потерю энергии за время t 1 =nT (n - число полных колебаний, в течение которого амплитуда уменьшится враз. Так как вся энергия маятника может быть выражена через его максимальную потенциальную энергию, связанную с амплитудой соотношением 41 2 kA W E 2 , а амплитуда со временем убывает по экспоненте t 0 e A t A , то 2 2 2 S 1 1 2 t A nT t A 1 2 nT t E t E t E 2 Q = n Q nT e 1 Здесь использовано разложение экспоненты вряд Из (11) следует формула для вычисления добротности колебательной системы 2 2 S 1 1 T t 2 S 1 Зная добротность Q , можно из (9) и (12) найти коэффициент затухания системы : t 2 S 1 1 TQ 2 (13а) Коэффициент сопротивления определим изб) ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Измерить координату x 1 нижнего конца пружины без груза, а затем для каждого из грузов с различной массой m - x 2 Растянуть пружину с грузом на 10 мм и отпустить измерить время t десяти полных колебаний. Вычислить период колебаний T = t/10, Точно такие же измерения и расчеты провести для 4-6 различных грузов. Результаты занести в таблицу 1. Таблицах мм m 1 , г m 2 , г m 3 , г m 4 , г m 5 , г m 6 , г 100 200 300 400 500 600 х, мм t, с к ст , Нм T, c Т, с 2. Построить график зависимости силы, действующей на пружину F = mg, от величины ее деформации х = (х 2 -х 1 ). Сделать вывод о выполнимости закона Гука. Из полученного графика найти к ст =ΔF/Δx 42 3. Зависимость T 2 =4π 2 m/k представить в виде уравнения прямой у = ax, где у Т, x = m, a = 4π 2 /k. По графику зависимости у от x определить угловой коэффициент прямой а = (y 2 –y 1 )/(x 2 – x 1 ) (см. рис. По его значению определить динамический коэффициент жесткости к д= =4 2 а. Сравнить полученное в упражнении 3 значение к ст со значением к д. Для груза максимальной массы измерить время t и число полных колебаний n, в течение которых амплитуда колебаний уменьшится в 1,5 раза (S=1,5). Для этого рекомендуется взять начальную амплитуду равной 15 мм, а конечную – 10 мм. Измерения произвести три раза. Результаты занести в таблицу 2 Таблица 2 m, кг t 1 , с t 2 , с t 3 , с ‹ t ›, с Т, с n 1 n 2 n 3 ‹ n › 0,6 S=1,5 5. Оценить с помощью формулы (12) добротность Q пружинного маятника. По формуле (а) найти коэффициент затухания , а по (б) рассчитать коэффициент сопротивления r. 6. Оценить влияние коэффициента на величину периода колебаний пружинного маятника. Вычислить период колебаний по формулам (7), (8). Сделать соответствующий вывод. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Дать определения свободных затухающих и незатухающих колебаний. 2. Получить дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний. Что является решением этого уравнения 3. Что такое коэффициент затухания Отчего он зависит 4. Как изменяется во времени амплитуда затухающих колебаний 5. Как зависят частота и период колебаний от коэффициента затухания 6. Записать формулу для периода гармонических незатухающих колебаний. 7. Что такое добротность колебательной системы Как она определяется в работе 8. Как изменяется энергия колебательной системы в процессе колебаний у у 2 у 1 x 1 x 2 Рису ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА Цель работы изучение свободных затухающих колебаний физического маятника. Определение параметров колебаний периода колебаний, момента инерции маятника, логарифмического декремента затухания. Определение ускорения свободного падения. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Твердое тело, способное совершать колебания под действием силы тяжести относительно неподвижной оси О 1 , не проходящей через его центр тяжести, называется физическим маятником. Таковым является однородный металлический стержень массой m и длиной L 0 , подвешенный на оси О 1 , удаленной от его центра масс на величину см. рис. Из-за трения механическая энергия маятника рассеивается в виде тепла, поэтому колебания всегда затухают. Маятник совершает вращательные колебания. Они описываются основным уравнением динамики вращательного движения относительно неподвижной оси О d I M 2 2 , (где угол отклонения маятника его угловое ускорение, I момент инерции маятника относительно оси подвеса, М - результирующий момент всех сил, действующих на тело. Он складывается из вращательного момента, создаваемого силой тяжести ври тормозящего момента, создаваемого силами трения M тр = r, где r коэффициент трения, = d/dt угловая скорость. Знак "" в этих формулах отражает тот факт, что возвращающая сила всегда направлена к положению равновесия, те. в сторону уменьшения угла и направление силы трения всегда противоположно направлению движения. При малых углах отклонения (6 ÷ 10 0 ), когда колебания можно считать гармоническими sin . Тогда ври уравнение (1) можно представить в виде 0 l g m dt d r dt d I 2 О Рис. 1 Поделим все слагаемые уравнения (2) на I и введем обозначения 2 I r , 2 0 I L g m , (3) где коэффициент затухания, а собственная циклическая частота незатухающих колебаний маятника. В итоге придем к дифференциальному уравнению свободных затухающих колебаний вида 0 dt d 2 dt d 2 0 2 Решением этого уравнения является функция 0 t β 0 α t Sin Множитель е представляет собой амплитуду затухающих колебаний в момент времени t; амплитуда колебаний в начальный момент времени. Выражение под знаком синуса фаза колебаний в момент времени t, начальная фаза, 2 2 0 β ω ω - циклическая частота затухающих колебаний. График функции (5) для 0 = 0 представлен на рис. 2. Количественной характеристикой затухания служит логарифмический декремент затухания . Он определяется как натуральный логарифм отношения двух амплитуд следующих через время t = T T β ) T t ( A ) t ( A ln A A ln δ 1 n При слабом затухании трудно определить уменьшение амплитуды за один период, поэтому для нахождения удобней брать n периодов. Тогда время t n = n T будет временем, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится враз. С учетом этого получим A 0 e t |