Практикум для студентов технических специальностей очной и заочной форм обучения Тюмень
 Скачать 1.31 Mb.
|
TL T y 2 , 2 L x , g 4 a 2 , g m I π 4 b 0 Тогда выражение (12) можно представить линейной функцией вида y =b + ах Пример графика такой функции показан на рис Угловой коэффициент прямой у = f(x), равный тангенсу угла её наклона коси позволяет определить величину ускорения свободного падения 1 2 1 2 2 2 4 По отрезку, отсекаемому продолжением прямой на оси ординат, можно найти коэффициент b. Полагая, что величина g известна, экспериментально определить I 0 и сравнить его значение с теоретическим теор = mL 0 2 /12, (15) где m 0 масса однородного стержня, его длина. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ 1. Закрепить стержень в муфте. Для этой целина стержне сделаны кольцевые выемки, расстояние между которыми 5 10 см. 2. Отклонить стержень на угол не более и измерить время t, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в 2 раза. Одновременно сосчитать число полных колебаний n. 3. Определить период колебаний Т = t/n и логарифмический декремент затухания = ln2/n. 4. Измерения по пунктам 1 3 провести для различных длин L, определяющих расстояние от оси вращения до центра масс стержня. Результаты занести в таблицу 1. 5. Вычислить величины x и y для каждого значения L. 6. Построить график зависимости y от x. Определить по нему угловой коэффициента и свободный член b. Вычислить по формулами) величины g и I 0 10 6 8(1) 9(1) 7 8(2) 9(2) 5 4 1 3 2 L Рис g m a m I 2 a Т 0 , где момент инерции физического маятника относительно точки подвеса, равный, согласно теореме Штейнера, I = I 0 +ma 2 ; m масса маятника a расстояние между осью вращения и центром тяжести маятника, I 0 момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр масс. В методе оборотного маятника существуют такие положения грузов и призм, для которых периоды колебаний маятника совпадают T 1 =T 2 =T 0 : T I m a m g a 0 1 2 1 1 2 и T I m a m g a 0 2 2 2 2 2 Здесь аи а 2 расстояния от центра масс до первой и второй призм соответственно. Выражая из уравнений (2) величину I 0 , найдем что 2 0 2 T L π 4 g 0 , где расстояние между призмами L 0 = a 1 + a 2 может быть измерено достаточно точно. Соотношение (3) позволяет определить величину g, если добиться такого расположения опорных призм и грузов на стержне, при котором периоды колебаний маятника для различных осей, проходящих через лезвия призм, совпадают. Поэтому маятники называется оборотным. В математическом маятнике шарик массой m расположен на расстоянии L от точки подвеса. Его можно представить как материальную точку с моментом инерции I = mL 2 . С учетом этого по формуле (1) получим выражение для периода колебаний математического маятника Из (4) по периоду колебаний маятника Т и его длине L можно определить ускорение свободного падения g. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Упражнение 1. Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника. Установить в рабочее положение математический маятник. Подвести к нему фотоэлектрический датчик. При этом черта на шарике должна 2. Привести маятник в движение, отклонив на 5 от положения равновесия. Измерить время t десяти полных колебаний. Для этого нажать клавишу сброс, включив тем самым счет числа колебаний и времени. Остановить секундомер нажатием клавиши стоп. Рассчитать период колебаний T = t/10 и T 2 3. Изменить длину нити и повторить измерения согласно пунктам 1 2. Результаты 8 измерений и расчетов занести в таблицу 1. Таблица 1 № п/п L, мс Тсс. Построить график зависимости Тот. По нему определить угловой коэффициент A = Δ(T 2 )/ΔL= 1 2 2 1 2 2 L L T T g π 4 2 . Рассчитать ускорение свободного падения по формуле g = 4π 2 /A. Сравнить с табличным значением и сделать соответствующий вывод. Упражнение 2. Определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника. Первую чечевицу маятника (см. рис) закрепить на 3 см от конца стержня, а опорную призму 9(1) – на расстоянии примерно 2-3 см от нее. Вторую чечевицу закрепить примерно на 23-25 см от первой, а призму 9(2) закрепить примерно на 3 см от второй чечевицы. Измерить расстояние между призмами L. 2. Повесить маятник на призму 9(1), расположенную вблизи конца стержня. Фотоэлектрический датчик установить так, чтобы нижний конец стержня пересекал луч фотоэлемента. 3. Отклонить маятник на 5 от положения равновесия и отпустить. Нажать кнопку сброс и, измерить время t 1 пяти колебаний. Определить период колебаний Т 4. Снять маятник, перевернуть его и повесить на призму 9(2). Установить фотоэлектрический датчик так, чтобы конец маятника пересекал световой луч. Измерить время t 2 пяти колебаний. Определить период колебаний Т 5. Проделать измерения периода Теще несколько раз, удаляя призму 9(2) от призмы 9(1) каждый раз на 1 см до тех пор, пока Т не станет больше, чем Т. Результаты занести в таблицу 2. № п/п L, мс Тсс Т, с m = L 0 = T 0 = 5. Продолжить определение периода T 1 при тех же L, что и T 2 6. Построить график зависимости периодов колебаний Т и Тот расстояния между призмами L. Определить координаты Т и L 0 точки пересечения прямых. 7. Рассчитать по формуле (3) величину g. Сравнить с табличным значением и сделать вывод. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что называется математическими физическим маятниками 2. При каких условиях колебания этих маятников являются гармоническими 3. От каких параметров (величин) зависят циклическая частота и период колебаний математического и физического маятников 4. Как связан момент инерции I и период колебаний оборотного маятника от положения его грузов и призм 5. С какой целью в работе перемещают призму оборотного маятника 6. С какой целью строят график зависимости T = f(L) для оборотного маятника 7. Почему период Т мало изменяется при изменении положения призмы 9(2)? Т,с L, м L 0 T 0 Т 2 Т 1 2 отклонения маятников от вертикали, те. система имеет две степени свободы. Уравнение движения для каждого маятника можно получить из общего уравнения динамики вращательного движения стержня с грузом вокруг неподвижной оси M dt d I I 2 Здесь угол поворота, M момент действующих на тело сил относительно оси подвеса, угловое ускорение, I момент инерции каждого маятника относительно оси подвеса. На каждый маятник действует сила тяжести m g, приложенная к ихцентру масс, и сила упругости f=-k x, где k коэффициент жесткости пружины, x – ее деформация. Величина деформации x при малых 1 ив соответствии с рис, находится как длина дуги, опирающейся на прямые d: x = d ( 2 1 ). Следовательно, сила f = k d( 2 1 ). d у у x 1 x 2 2 1 V 2 V 1 L Рис. 1 mgLSin mgL, (2) упр = k d( 2 1 ) d = kd 2 ( 2 1 ) = M упр2 Момент сил отрицателен, т.к. он возвращает маятник в положение равновесия. Уравнение (1) для каждого из маятников запишется 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 Маятники могут длительное время колебаться, сохраняя, например, положение, изображенное на рис. В этом случае f упр. Для рисунка 2 f упр = k d( 2 + 1 ). Введем новые переменные 1 + 2 = 1 и 2 1 = 2 , (4) характеризующие относительное движение маятников. Просуммируем левые и правые части уравнений (3). Затем поделим результирующее уравнение на I. С учетом новых переменных получим 0 1 2 2 I L g m d dt / 1 . (5) Из второго уравнения системы (3) вычтем первое. В итоге получим 0 2 2 2 2 2 2 Θ I) d k I + L g Каждое из уравнений (5) и (6) аналогично дифференциальному уравнению для гармонических колебаний (см. лаб. раб. № 1-5-1) вида 0 x ω x/dt d 2 0 2 При сопоставлении получаем, что собственные частоты колебаний равны I mgL πν o ω 1 2 1 ; I kd I mgL πν o ω 2 2 2 Момент инерции маятника складывается из момента инерции стержня массой m ст и длиной ст = m ст момента инерции диска радиусом R и массой m, удаленного на расстояние L от точки подвеса I = m ст 2 /3 + m L 2 + m R 2 /2. (8) Решения уравнений (5) и (6), как известно, имеют вид 1 = А + 1 ), 2 = B cos( o2 t + 2 ), (9) где A и B – амплитуды изменений величин 1 и 2 , аи соответственно их начальные фазы. Рис. 2 d L x 2 x 1 1 2 1 = 1/2 ( 1 2 ) = A/2 cos( o1 t + 1 ) B/2cos( o2 t + 2 ) (10) 2 = 1/2 ( 1 + 2 )= A/2 cos( o1 t + 1 ) + B/2 cos( o2 t + 2 ) Из (10) видно, что колебания каждого маятника складываются из двух независимых колебаний с частотами o1 и o2 , определяемых выражениями (7), которые носят название нормальных частот или мод, при этом, как видно из (7), o2 > o1 . Если обратиться к уравнениям (7) тов первом из них выражена собственная частота свободных незатухающих колебаний физического маятника I L g m . Когда упругая связь не действует, те, маятники движутся синхронно водном направлении параллельно друг другу (синфазно). Во втором уравнении частота o2 > o1 за счет действия упругой связи, которая будет максимальна, если маятники движутся точно в противофазе навстречу друг другу или друг от друга (рис. 2). При любом другом движении осуществляются колебания с частотой k , лежащей в диапазоне от o1 до o2 . Если вклад сил упругости в изменение частоты невелик, те. 2 kd 2 /I < m gL/I, то частоты o1 и близки и результат сложения колебаний представляется в виде биений. При этом амплитуда медленно изменяется с частотой биений били б = 2 1 . (11) Если с помощью внешней периодической силы, частота которой будет возрастать от нуля, действовать на связанную колебательную систему, то при частотах вынуждающей силы , близких к 1 и будет наблюдаться два резонанса, те. резкое увеличение амплитуды колебаний маятников. Зависимость A= f( ) будет иметь два максимума. ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ Общий вид прибора представлен на рис. 14 12 13 11 10 3 5 6 9 8 7 1 4 2 Рис. 3 Определение частот 1 и 2 двух мод связанных колебаний. 1. Закрепить на стержнях каждого маятника грузы на равных расстояниях от оси вращения. Соединить маятники пружинами. 2. Вычислить частоты 1 и 2 по формуле (7). L и d измерить миллиметровой линейкой. Mасса груза m = 0,1 кг, коэффициент жесткости пружины k = 3,3 Нм, ускорение свободного падения g = 9,81 мс. 3. Кнопкой "сеть" включить секундомер. Возбудить колебания моды Для этого отклонить маятники на равные углы (10 12) в одну сторону и, одновременно отпуская их, нажать кнопку "сброс" начнется отсчет времени. После 5 полных колебаний нажать кнопку "стоп. Записать в таблицу число полных колебаний и время t 1 . Вычислить частоту моды 1 = N 1 /t 1 (число колебаний в секунду. Проделать измерения 5 рази определить среднее значение < 1 >. 4. Возбудить колебания моды 2 ( 2 ). Для этого отклонить маятники на равные углы (10-12 ) в противоположные стороны и отпустить их, проделывая те же операции, что ив пункте 3. Определить среднее значение < 2 > по результатам пяти измерений. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА И МОДУЛЯ ЮНГА ПРОВОЛОКИ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Цель работы изучение крутильных колебаний маятника, определение модуля сдвига G и модуля Юнга E. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Все реальные твердые тела под действием внешних сил деформируются, те. изменяют свою форму удлиняются, сжимаются, закручиваются, изгибаются и т.д. Тела, в которых после прекращения действия внешней силы деформация полностью исчезает и восстанавливается первоначальная форма, называются абсолютно упругими. При небольших деформациях многие твердые тела (в частности, металлические) ведут себя почти как абсолютно упругие. Остаточные деформации в них весьма малы, и часто их можно не учитывать. При простом растяжении или сжатии деформация однородна. Тогда как при кручении она неоднородна, те. изменяется от точки к точке. Если взять однородную проволоку, закрепить ее верхний конец, а к нижнему приложить закручивающие силы, создающие закручивающий момент относительно продольной оси, то проволока испытает деформацию кручения. При этом любой радиус, проведенный в ее нижнем сечении, повернется вокруг осина угол рис. Закон Гука для деформации кручения имеет вид М = - f , (1) где М момент силы, приложенной к проволоке, а постоянная для данной проволоки величина, называемая модулем кручения. Модуль кручения зависит не только от материала, но и от геометрических размеров проволоки 4 где модуль сдвига, L - длина проволоки, r ее радиус. (Вывод этой формулы смотри в [11, 14]). Модуль сдвига G является характеристикой вещества и связан с модулем Юнга E через коэффициент Пуассона соотношением r L Рис 59 E = 2 (1 + )G. (3) Здесь равен отношению относительной поперечной деформации r/r при растяжении к относительной продольной деформации L/L. Таким образом, определив модуль кручения f, можно найти модуль сдвига G и модуль Юнга E. Если к нижнему концу проволоки прикрепить какой-нибудь груз например, рамку с грузом, повернуть ее на некоторый угол относительно оси проволоки, а затем отпустить, тов такой системе возникнут крутильные колебания, которые описываются углом поворота радиус-вектора, проведенного в нижнем сечении проволоки. При небольших амплитудах 0 колебания будут гармоническими и описываются уравнением = 0 sin( 0 t + ). (4) Здесь 0 =2 /T циклическая частота свободных колебаний угловая скорость, Т период колебаний, начальная фаза, t время. Уравнение динамики вращательного движения будет иметь вид t Sin I dt d I I M 0 0 2 0 2 2 , где M момент сил, момент инерции системы, ее угловое ускорение. Т.к. M = f= f 0 sin( 0 t + ) (см. формулу 1 и 4), то из уравнения (5) следует, что f = I 0 2 или f = (4 2 /T 2 ) I. (6) Таким образом, модуль кручения f можно найти, измеряя период крутильных колебаний. Для определения модуля кручения проволоки используется установка, основным элементом которой является рамка, закрепленная с помощью двух проволок П(рис. 2). Внутри рамки крепится сменный металлический цилиндр Ц, который совершает крутильные колебания вместе с рамкой. Время колебаний t определяется электрическим секундомером, вмонтированным в установку вместе со счетчиком периодов n. Период колебаний находится как Т = t/n. Меняя цилиндр, мы тем самым меняем массу m и момент инерции I всей системы и, следовательно, период колебаний. Согласно (6) для одной и той же проволоки, когда f = const, имеем П П Ц Рис 60 I 1 01 2 = I 2 02 2 или I 1 /I 2 = T 1 2 /T 2 2 . (7) Здесь I 1 и моменты инерции для двух различных цилиндров. Момент инерции системы I складывается из момента инерции цилиндра массы m и радиуса R, относительно его оси симметрии I = m R 2 /2 и момента инерции рамки I 0 . Для первого и второго цилиндров они имеют вид 2 2 2 0 2 2 1 1 0 Исключив величину I 0 в уравнениях (8) и используя выражение (7), выразим величины I 1 ив следующем виде 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 R m R m 2 1 T T T I R m R m 2 1 T T T I 2 Здесь Т и Т 2 периоды колебаний маятников с первыми вторым цилиндром соответственно. Используя выражения (6) и (9), получим формулу для модуля кручения системы 2 2 2 1 2 2 2 1 2 R m R m T T 2 c f 2 В лабораторной установке рамка крепится двумя проволоками одинаковой длины. Модуль кручения одной проволоки f п будет в два раза меньше, чем двух f пс. С учетом этого из (2) и (10) получим выражение для модуля сдвига G 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 4 T T R m R m r l 2 2 c f r Используя табличное значение коэффициента Пуассона для тали =0,230,31), можно определить по формулами) модуль Юнга E. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ 1. Один раз взвесить цилиндры и измерить их массы. 2. Измерить 5 раз штангенциркулем радиусы цилиндров. 3. Измерить длину проволок от точки закрепления до рамки L 1 и Принять за L их среднее значение 1 + L 2 )/2. 4. Измерить диаметр проволоки d микрометром. 61 5. Закручивая рамку с цилиндром на заданный в пределах (40 100) угол, определить время 10 колебаний системы с первым цилиндром. Вычислить T 1 . Измерения проводить 5 раз для выбранного угла. 6. Повторить измерения для системы со вторым цилиндром согласно пункту 5. 7. Вычислить по формуле (11) модуль сдвига G. 8. Приняв коэффициент Пуассона = 0,29, вычислить по формуле (3) модуль E. Сравнить модуль сдвига G и модуль Юнга E с табличными значениями для сталей и сделать вывод. Таблицам, мм, мм кг m 2 = кг КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какие бывают виды деформации Чем отличается кручение от других видов деформаций 2. Записать закон Гука для деформации кручения. 3. Отчего зависит модуль кручения 4. Чему равен момент инерции маятника Из чего он складывается 5. Что такое деформация сдвига G? 6. Что такое коэффициент Пуассона ? 7. Как связаны модуль сдвига и модуль Юнга 8. Как и почему будет изменяться 0 с ростом массы цилиндра 62 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЯРНОЙ МАССЫ, ПЛОТНОСТИ ВОЗДУХА И КОНЦЕНТРАЦИИ МОЛЕКУЛ КИСЛОРОДА Цель работы определение с помощью уравнения Менделеева -Клапейрона молярной массы, плотности воздуха и концентрации молекул кислорода. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Газ состоит из непрерывно и хаотически движущихся молекул. Состояние газа количественно описывается параметрами объемом V, давлением Р, температурой Т массой всех молекул в заданном объеме m и молярной массой μ. Объем газа равен объему сосуда, в котором он находится. Давление равно силе, действующей на единицу площади поверхности сосуда. Оно тем больше, чем больше концентрация n 0 (n 0 - число молекул в единице объема) и средняя кинетическая энергия его молекул < > (для одноатомной молекулы газа <> = 3kT/2). Температура Тесть мера этой энергии. Параметры идеального газа связаны уравнением состояния Менделеева – Клапейрона RT m PV , (1) где R=8,31Дж/(Кּмоль)- универсальная газовая постоянная. Для реальных газов, например воздуха, уравнение (1) хорошо согласуется с экспериментом при небольших давлениях (атмосферное и ниже) и температурах порядка комнатных и выше. При известных P,V,T и m формула (1) позволяет определить молярную массу и плотность газа. Так как плотность равна массе газа в единице объема, то с учетом (1) получаем RT P V m , (2) а формула для молярной массы имеет вид RT PV m (3) Для определения μ из сосуда объёмом V откачивают воздух, определяют массу откачанного воздуха Δm и убыль давления ΔP. В этом случае необходимо записать уравнение (1) для двух состояний 1) начальное состояние воздуха массой в сосуде при атмосферном давлении Р 2) конечное состояние воздуха массой оставшегося в сосуде после откачивания при давлении Р 1 ; RT m V P 2 2 . (4) Вычитая второе уравнение из первого будем иметь RT m PV (5) где 2 1 m m m - масса откачанного из сосуда воздуха, 2 1 P P P - изменение давления после откачивания. С учетом этого формула для расчета молярной массы воздуха примет вид RT PV m (6) Воздух представляет собой смесь, более чем на 99% состоящую из азота ( 2 N ) и кислорода ( 2 O ). Поэтому в соответствии с законом Дальтона давление воздуха в сосуде складывается из суммы парциальных давлений азота и кислорода V RT m V RT m m P P P O O N N O N ) ( (7) Здесь O N O N O N m m P P , , , , , - парциальные давления, массы, молярные массы азота и кислорода. Из выражения (7) следует O O N N m m m , (8) где Откуда масса кислорода O m в известной массе m атмосферного воздуха ) ( O N N O O m m (9) Масса одной молекулы кислорода М определяется из отношения М, (10) где А 23 моль - число Авогадро. Учитывая, что отношением M O m m / определяется число молекул кислорода N, находящихся в откачанном из сосуда воздухе, получим расчётную формулу для определения концентрации этих молекул М (11) СХЕМА ЭКСПЕРЕМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ Блок-схема экспериментальной установки для определения параметров воздуха изображена на рис. 1. Сосуд объемом л, заполненный воздухом, представляет собой колбу с краном, воздух из которой откачивается с помощью насоса Комовского. Давление в системе P 2 измеряется манометром. По лабораторному барометру определяется атмосферное давление Р в открытой колбе. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ 1. Взвесьте колбу с открытым краном навесах и определите массу колбы с воздухом. 2. Соедините колбу с насосом при помощи резиновой трубки. Включив насос и открыв кран насоса, откачайте воздух до минимально возможного давления Р, которое может обеспечить насос ( 50 мм. рт. ст. Снимите показания манометра Р и определите P = Результаты занесите в таблицу. Таблица N опыта 1 2 3 4 5 m 1 , г m 2 , г Р = T = V = = m, г m = P 2 , мм.рт.ст. мм.рт.ст. P = P, Па, кг/моль μ = кран колба манометр Рис.1 насос 65 3. Закройте кран колбы. Отсоедините ее от насоса и взвесьте, определив при этом массу m 2 . Рассчитайте массу откаченного воздуха m = m 1 - m 2 4. Повторите измерения по пунктам 1-3. 5. С помощью термометра определите температуру воздуха Т, по барометру атмосферное давление 1 P 6. Для каждого из опытов вычислите молярную массу μ воздуха по формуле (6). Результаты занесите в таблицу. Определите среднее значение <μ>, и сравните с табличным значением. Сделайте соответствующий вывод. 7. Используя известные значения <μ> ив уравнении (2), рассчитайте плотность воздуха. Сравните с табличным значением и сделайте соответствующий вывод. 8. По формуле (9) вычислите массу кислорода, откачанного из колбы, с учётом того, что молярная масса азота μ N = 28 г/моль, молярная масса кислорода О = 32 г/моль. 9. По формуле (10) найдите массу одной молекулы кислорода m м, а по формуле (11) рассчитайте концентрацию его молекул n. 10. Получите выражение для расчёта относительной и абсолютной погрешности косвенного измерения молярной массы воздуха. Рассчитайте эти погрешности. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что такое газ В чем заключается модель идеального газа 2. Каков молекулярно - кинетический смысл давления и температуры 3. Что называется молярной массой вещества 4. Напишите уравнение состояния идеального газа. 5. Выведите расчетные формулы для и . 6. Что такое парциальное давление Сформулируйте закон Дальтона. 7. Выведите формулу для определения массы кислорода в известном объеме воздуха. 8. Как определяется масса одной молекулы газа 9. Дайте понятие концентрации молекул газа ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ ГЛИЦЕРИНА МЕТОДОМ ПАДАЮЩЕГО ШАРИКА МЕТОД СТОКСА) Цель работы экспериментальная проверка формулы Стокса и определение коэффициента вязкости глицерина. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Вязкость - свойство жидкости оказывать сопротивление перемещению одной ее части относительно другой. При ламинарном (не вихревом) течении жидкости между ее слоями, движущимися с различными скоростями, возникают силы внутреннего (вязкого) трения, которые стремятся выровнять скорости слоев, те. медленно текущий слой будет ускоряться соседним более быстрым слоем, а быстрый слой, наоборот, замедляться. Природа этих сил объясняется молекулярными (ван-дер-ваальсовскими) силами притяжения, действующими между молекулами. Однако наряду с этим механизмом вязкости действует и другой - переноса импульса, суть которого заключается в следующем молекулы более быстрого слоя, перелетая в соседний более медленный слой, будут отдавать молекулам этого слоя избыточный импульс своего направленного движения и тем самым ускорять его. Молекулы медленного слоя, переходя в более быстрый слой, будут забирать часть импульса направленного движения этого слоя, и тормозить его. При температурах, далеких от точки кипения жидкости, первый механизм вязкости является доминирующим. С повышением температуры вязкость жидкости уменьшается, т.к. увеличивается расстояние между молекулами, а молекулярное притяжение уменьшается. При этом увеличивается скорость хаотического движения молекул ( 2 Т. Поэтому при высоких температурах механизм переноса импульса молекулами становится доминирующим. Это подтверждается тем, что вязкость жидкостей при температурах, приближающихся к температуре кипения, начинает расти. При движении твердого тела в жидкости прилипшие к телу молекулы за счет молекулярных сил притяжения будут увлекать за собой соседние молекулы, а те, в свою очередь, тормозить тело. Стокс установил, что в случае ламинарного движения тела шарообразной формы сила сопротивления имеет вид d F 3 , (1) где d - диаметр шарообразного тела, - его скорость, - коэффициент вязкости жидкости. В настоящей работе предлагается определить коэффициент вязкости глицерина, находящегося в стеклянном цилиндрическом сосуде. Определение динамической вязкости жидкости сводится к измерению времени и пути, пройденного металлическим шариком при равномерном движении. На шарик, падающий в жидкости, действуют три силы (рис 1) сила тяжести 6 3 g d g V mg P ш ш ш ; 2) выталкивающая сила Архимеда 6 3 g d g V F г ш г арх ; 3) сила сопротивления движению тела в жидкости F, определяемая по формуле Стокса (1). В приведенных формулах m - масса шарика, ш V -его объём, ш - плотность материала шарика, г- плотность глицерина, g - ускорение свободного падения. Так как силы Р и F арх постоянны, а сила F, согласно (1), возрастает с увеличением скорости движения шарика, тов некоторый момент времени эти силы уравновесят друг друга и дальнейшее движение шарика в жидкости будет равномерным со скоростью, которую можно определить повремени прохождения шариком расстояния h между двумя метками на цилиндре : = h/t. Если силы, действующие на шарик, спроектировать на вертикальную ось, то при установившемся равномерном режиме движения согласно второму закону Ньютона F + арх- P=0 получаем, что d 3 = 6 / 3 г ш g d . Откуда следует, что коэффициент вязкости глицерина h t g d v g d г ш г ш 18 ) ( 18 ) ( 2 2 (2) Однако уравнение (2) справедливо лишь в том случае, когда шарик падает в безграничной среде. В условиях проводимого эксперимента шарик движется в узком цилиндре, поэтому вводится поправочный коэффициент и формула (2) примет вид ) 4 , 2 1 ( ) ( 18 2 D d h gt d г ш , (3) где D - диаметр цилиндра. h F арх F g m P Рис.1 Формула (3) справедлива только для ламинарного обтекания жидкостью шарика. Поэтому, прежде чем пользоваться этой формулой, нужно убедиться в ламинарности движения, те. в том, что выполняется пропорциональность при вихревом движении F 2 ). Для этого определяется скорость движения шариков различного диаметра d в глицерине и строится их графическая зависимость. Получение линейной зависимости отбудет свидетельствовать о справедливости формулы Стокса. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ 1. Установите верхнее кольцо на цилиндрическом сосуде на расстоянии не менее 2 – 3 см от уровня жидкости, нижнее кольцо расположите на высоте 2 см от дна сосуда. В этом случае после прохождения кольца шарик будет двигаться равномерно. 2. Штангенциркулем (микрометром) не менее х раз измерьте диаметр d каждого из 5 шариков и однократно диаметр D сосуда, линейкой измерьте расстояние h между кольцами на цилиндре, ареометром - плотность жидкости в цилиндре, термометром - ее температуру. Измерьте секундомером время прохождения каждым шариком расстояния h между метками. Результаты измерений занесите в таблицу. Таблица N d 1 , мм d 2 , мм d 3 , мм 3 h = мг кг/м 3 t = 0 C D= м D d 4 , 2 1 3. Вычислите 2 , и занести их значения в таблицу. Постройте график зависимости от 2 и убедитесь в том, что прямая проходит через начало координат. По координатам двух произвольных точек прямой, определите угловой коэффициент зависимости 2 1 2 2 1 2 d d A 4. Рассчитайте вязкость глицерина D d А g г ш 4 , 2 1 18 1 69 5. Сопоставьте полученное значение вязкости со значением 20 , указанным в таблице результатов измерений. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что называется вязкостью Каков механизм вязкости жидкости Как зависит ее вязкость от температуры 2. Какое движение называется ламинарным, турбулентным 3. Какие силы действуют на шарик, падающий в жидкости Отчего они зависят 4. Почему измерения коэффициента вязкости верны только при малых скоростях 5. Как в данной работе определяется коэффициент вязкости 6. Сила Архимеда. 7. Как определяется масса шарика или куба, если известны их геометрические размеры и плотность вещества, из которого они изготовлены 8. Как экспериментально можно определить объём тела 9. В чем различие механизма вязкости в жидкости и газе 10. Сформулируйте физический смысл коэффициента вязкости 11. В каких единицах измеряется коэффициент вязкости 12. Как изменяется с температурой коэффициент вязкости 13. Выведите расчетную формулу для вычисления коэффициента вязкости по методу Стока 14. Как определить скорость падения шарика ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2.3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ И СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА МОЛЕКУЛ ГАЗА Цель работы изучение явления внутреннего трения, определение коэффициента вязкости и средней длины свободного пробега молекул воздуха. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Вязкость или внутреннее трение - это свойство текучих тел оказывать сопротивление перемещению одних их частей относительно других. На практике наблюдается два вида течения жидкости или газа. В одних случаях жидкость (газ) как бы разделяется на слои, которые скользят друг относительно друга, не перемешиваясь. Такое течение называется ламинарным (слоистым. При увеличении скорости или поперечных размеров потока характер течения существенным образом изменяется. Возникает интенсивное перемешивание жидкости (газа. Такое течение называется турбулентным. В газе, где расстояние между молекулами много больше радиуса действия молекулярных сил, механизм вязкости определяется хаотическими перемещениями молекул из слоя в слой. Молекулы более быстрого слоя, переходя в соседний более медленный слой, будут отдавать его молекулам при столкновении избыточный импульс своего направленного движения и тем самым ускорять их, а молекулы медленного слоя, переходя в более быстрый слой, будут забирать часть импульса этого слоя и тормозить его. В результате осуществляется перенос импульса от более быстрого слоя к более медленному слою. Согласно второму закону Ньютона изменение импульса тела (например, слоя) в единицу времени равно силе. В данном случае это есть сила внутреннего трения. Для силы внутреннего трения, возникающей между слоями ламинарно-текущего газа, Ньютоном получена формула S dz d F , (1) где S - площадь поверхности слоя молекул газа, вдоль которого действует сила трения F, градиент скорости вдоль оси z , перпендикулярной к поверхности отделяющей один слой от другого слоя коэффициент внутреннего трения газа, d разность скоростей течения жидкости или газа в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии dz . В соответствии с молекулярно - кинетической теорией идеального газа коэффициент вязкости зависит от его микроскопических характеристик 3 1 , (2) где средняя арифметическая скорость хаотического движения молекул средняя длина свободного пробега молекул плотность газа. Плотность газа можно выразить из уравнения Менделеева- Клапейрона: RT P / , где молярная масса газа, универсальная газовая постоянная, давление, температура. Формула средней скорости хаотического движения молекул идеального газа имеет вид RT 8 . Подставив выражения для ив формулу (2), получим 8 3 3 RT P . (3) При ламинарном движении скорость частиц жидкости (газа) в произвольной точке потока остаётся постоянной во времени течение стационарное При турбулентном течении скорость частиц жидкости (газа) в какой либо точке изменяется беспорядочным образом течение нестационарное. Вблизи стенок трубы скорость изменяется гораздо сильнее, чем при ламинарном течении, в остальной же части сечения скорость изменяется меньше. Английский учёный Рейнольдс установил, что характер течения может быть определен по значению безразмерной величины l Re , (4) где плотность жидкости (газа, средняя (по сечению трубы) скорость потока, коэффициент вязкости жидкости газа, характерный для поперечного сечения размер, например, сторона квадрата при квадратном сечении, радиус или диаметр при круглом сечении и т. д. Величина R e , определяемая выражением (4), называется числом Рейнольдса. Режим течения различных жидкостей (газов) в трубах различных сечений одинаков, если число Рейнольдса одинаково. При значениях числа Рейнольдса меньше критического 1000 Re наблюдается ламинарное течение, а при больших значениях – течение турбулентное. Рассмотрим стационарный поток газа, ламинарно текущий по капилляру радиуса к и длины L . Выделим мысленно в этом потоке цилиндр радиуса r и длины L (см. рис. 1). Обозначим давление на его торцах через 1 P и 2 P , ( 1 P 2 P ). Из определения стационарности потока следует, что результирующая всех сил, действующих на цилиндр, должна быть равна нулю. Тогда сила давления 2 2 1 r P P PS F должна уравновешиваться силой трения S dr d , которая приложена к боковой поверхности цилиндра площадью rL S 2 2 2 1 2 r P P rL dr d . (5) Для решения дифференциального уравнения (5) необходимо разделить переменные υ и r, а затем проинтегрировать правую и левую часть получившегося равенства, учитывая, что υ = 0 при r = кВ результате получим формулу, для расчёта скорости потока газа 2 2 2 к . (6) Зная зависимость скорости потока газа от радиуса капилляра к, можно определить расход газа, те. объем газа, ежесекундно протекающий через поперечное сечение капилляра: к к R R L P P dr r Q 0 4 2 1 8 2 . (7) Полученная формула носит название формулы Пуазейля. Из нее следует, что коэффициент вязкости η в случае ламинарного течения жидкости или газа определяется формулой 4 k πR 8QL ΔP η , (8) Риск где 2 1 P P P - разность давлений на концах капилляра. На практике для определения коэффициента вязкости устанавливают ламинарный режим течения газа жидкости. Затем измеряют разность давлений 2 на концах капилляра для нескольких значений Q и рассчитывают η по формуле (8), либо строят график зависимости Q=f( ). При этом набор экспериментальных точек экстраполируется, с учетом формулы (7), прямой линией. По графику определяется угловой коэффициент А полученной прямой (рис) L R P Q A k 8 ) ( 4 (9) Коэффициент вязкости определяется по формуле А 4 (Совпадение экспериментально найденного значения коэффициента вязкости с табличным значением даст окончательное подтверждение правильности формулы (7), а, значит, и формулы (1). В данной работе в качестве исследуемой газовой среды берется воздух, который протекает через тонкий капилляр с известными параметрами L, R k CХЕМА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ Схема экспериментальной установки изображена на рис. 3. Она включает капилляр (1), который одним концом соединён со вспомогательным сосудом (2) и водяным манометром (5), а другой его конец сообщается с атмосферой. Во вспомогательном сосуде находится подкрашенная жидкость - вода. Сосуд соединен резиновой трубкой (4) с мерной ёмкостью (3). Q Q (P ) P Рис Рис Количество воды в мерной ёмкости измеряется по линейной шкале в миллилитрах. Для вытеснения воды из ёмкости (2) в мерную ёмкость (3) включают компрессор и открывают клапан К. При этом клапан К должен быть закрыт. Когда уровень воды в мерной ёмкости достигает верхней отметки (>600 мл, закрывают клапан К и выключают компрессор. Затем открывают клапан К. Вода начинает перетекать из ёмкости (3) в ёмкость (2) через трубку (4) и вытеснять воздух из сосуда (2) через капилляр (1) в атмосферу. На концах капилляра возникает разность давлений 2 1 P P P , которая измеряется с помощью водяного манометра (5). По изменению уровня жидкости в мерном сосуде определяют объем воздуха V , протекающего через капилляр. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ По барометру определите атмосферное давление воздуха атм, а по термометру температуру воздуха в лаборатории Т. Запишите в отчет основные параметры установки и условия проведения эксперимента, указанные в таблице №2 1. Закройте кран К. Для этого переведите рукоятку крана в горизонтальное положение. При этом кран К должен быть закрыт – его рукоятка расположена вертикально. 2. Включите компрессор путем перевода переключателя в верхнее положение. Откройте кран К. Для этого рукоятку крана К поверните против часовой стрелки на 90 0 , расположив ее горизонтально. 3. Следите за заполнением водой мерной ёмкости. После достижения уровнем воды верхней отметки (чуть более 600 мл) закройте кран К и выключите компрессор. 4. Откройте кран К, плавно поворачивая его рукоятку почасовой стрелке надо вертикального положения. В момент достижения уровнем воды отметки мл включите секундомер и произведите измерение разности уровней манометра h 1 5. Произведите измерение интервалов времени t в течение которых уровень воды в мерной ёмкости уменьшается на одно деление шкалы - V =200 мл. На момент остановки секундомера измерьте разность уровней манометра h 2 6. Пункты 2 5 повторите не менее 5 раз при различных значениях Р. Полученные результаты занесите в таблицу. 75 7. В каждом опыте определите среднее значение показаний манометра по формуле |