планэкс(Изначальный). Практикум и пособие для выполнения домашнего задания и курсовой работы для специальности 1105
 Скачать 0.77 Mb.
|
 Y2  а Y4 Y6  Y1 Y5 Y3 Y2 б  Y4 Y6  Y7 Y1 Y5 Y3 Рис.4.1. Решетчатые симплексные планы трехкомпонентной системы: а- полная вторая степень; б- неполная третья степень; Y2 Y5 Y8 в  Y4 Y9 Y10 Y1 Y6 Y7 Y3 Y2 г  Y4 Y8 Y6  Y7 Y9 Y1 Y5 Y3 Рис.4.1. Решетчатые симплексные планы трехкомпонентной системы: в- полная третья степень; г- неполная четвертая степень; Y2   Y8 Y11 д Y4 Y8 Y6 Y7 Y7 Y9 Y12 Y1 Y9 Y5 Y10 Y3 Рис.4.1. Решетчатые симплексные планы трехкомпонентной системы: д- полная четвертая степень; ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 5 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИМПЛЕКСНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ (2 ч) 1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ Освоить метод симплекс-планирования для построения математических моделей параметры термообработки-свойство. Закрепить навыки работы с программой "СИМПЛЕКС" для решения различных задач, связанных с симплекс-планированием. 2. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ Метод симплексного планирования может быть использован для построения зависимостей свойств не только от состава, но и от различных технологических параметров (режимов термообработки, плавки, обработки давлением и т.д.). В случае двумерного симплекса количество независимых переменных равно двум, а вершинами треугольника являются заданные комбинации этих переменных параметров, которым присваивают те же кодовые значения, что и в случае состава: 1- X1 =1; X2 =0; X3 =0; 2- X1 =0; X2 =1; X3 =0; 3- X1 =0;X2 =0; X3 =1. Очевидно, что состав сплава и другие технологические параметры должны быть постоянными. Выбор вершин симплекса осуществляют таким образом, чтобы вся интересующая исследователяобласть изучаемых параметров оказалась бы внутри треугольника. В связи с этим метод симплексного планирования для изучения влияния двух независимых переменных целесообразно использовать в том случае, когда изучаемая область достаточно хорошо подходит для треугольника, например при решении задач связанных с оптимизацией температуры и времени термообработки. Это обусловлено тем, что при низких температурах диффузионные процессы в сплавах протекают сравнительно медленно, а при высоких - относительно быстро, поэтому в первом случае требуются как правило, длительные выдержки, а во-втором - короткие. Если же изучаемая область имеет прямоугольную форму, то целесообразность использования треугольного симплекса значительно снижается. Перевод значений двух рассматриваемых параметров (P1 и P2 ) с определенной размерностью (температура, время, давление и т.д.) в безразмерные кодовые значения производят по следующим соотношениям: X2=(P1 -P1min )/(P1max -P1min ); ?5.1% X3=(P2 -P2min )/(P2max -P2min ) X1 =1-X2 -X3 , где Pimax (Pimin - максимальное и минимальное значение i-параметра. Например, при изучении влияния температуры и времени нагрева по закалку в диапазоне 700-850 С, 2-10 ч при 700 С и 2-4 ч при 850 С на свойства (Y1,Y2,Y3) сплава с использованием метода симплексного планирования следует провести следующую подготовительную процедуру. 1. Выбрать вершины симплекса, например: 1-700С, 2ч ; 2- 700 С, 10 ч 3- 900 С, 2 ч. В этом случае вся изучаемая область окажется внутри треугольного симплекса. 2. Составить формулы перевода натуральных значений в кодовые: X =(T-700)/200; X =(t-2)/8; X1 =1-X2 -X3 3. Выбрать степень модели и составить матрицу планирования, которая для модели неполной четвертой степени имеет следующий вид:
4. Выбрать точки контрольных опытов для проверки адекватности модели. Эти точки (как правило не менее 3) целесообразно выбирать в областях, где предполагается наиболее сильное влияние независимых переменных. Если таких априорных сведений недостаточно, контрольные точки выбирают на максимальном расстоянии от точек плана. После этой подготовительной работы проводят эксперимент, т.е. определяют значения Y1, Y2 и Y3. Зная величины последних рассчитывают коэффициенты i, что позволяет получить математические модели зависимости соответствующих свойств от кодовых значений температуры и времени нагрева под закалку.
Поставлена задача построить математическую модель влияния температуры и времени термообработки на механические свойства алюминиевого сплава, используя имеющиеся экспериментальные данные ( см. варианты задания). 1. По имеющимся данным построить симплекс, отметив все точки плана и контрольные точки для проверки адекватности модели. 2. Построить соответствующую матрицу планирования в виде таблицы. 3. Используя программу СИМПЛЕКС рассчитать на ЭВМ значения коэффициентов математических моделей и построить соответствующие графические иллюстрации в виде линий равных значений. 4. Используя математическую модель и экспериментальные значения всех контрольных сплавов оценить адекватность построенных моделей для =0.05 по t-критерию.
. 4. ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА 1. Привести таблицу, включающую исходные данные и кодовые значения параметров режима термообработки. 2. Привести симплекс для изучаемой системы с экспериментальными точками. 3 Привести значения рассчитанных коэффициентов и уравнения математических моделей зависимостей механических свойств от температуры и времени старения. 4. Привести рассчитанные значения для контрольных сплавов и результат оценки адекватности модели.
5. ЛИТЕРАТУРА 1. Ф.С. Новик. Планирование эксперимента на симплексе при изучении металлических систем. М.:Металлургия, 1985. 6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. В каких случаях можно использовать симплекс для изучения зависимостей различных показателей от технологических параметров? 2. Как осуществляют перевод натуральных значений независимых переменных в кодовые? 3. Как выбирают контрольные точки? 4. По каким критериям оценивают адекватность моделей? 5. В чем состоит целесообразность использования треугольных симплексов для оптимизация режима термообработки? 6. Как изменится предельное значение при оценке адекватности по t-критерию, если дисперсия опыта S уменьшится? ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N6 ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ СОСТАВ - СВОЙСТВО МЕТОДОМ ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА (2 ч) 1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ Освоить методику регрессионного анализа для построения линейных моделей зависимости свойств от нескольких факторов по имеющимся экспериментальным данным. Ознакомится с использованием функции ЛИНЕЙН (LINEST) программы EXCEL.
Эксперимент считают ПАССИВНЫМ в том случае, когда исследователь не проводит запланированные опыты, а только наблюдает за неуправляемым процессом, т.е. фиксирует и обрабатывает получаемые результаты. Типичным примером может служить математическая обработка экспериментальных данных, приведенных в различных литературных источниках. Другим примером является анализ определенных свойств сплавов разных заводских плавок, на основании которого можно построить зависимости этих свойств от состава в пределах марки сплава. При пассивном эксперименте рассчитанные зависимости параметра оптимизации носят как правило достаточно частный характер и пригодны лишь для интерполяции, что схематически отражено на рис.6.1 для простейшего случая, когда рассматривается один фактор. Узкий диапазон изменения его не позволяет судить о том, насколько далеко заданная область факторов находится от оптимума, поскольку экстраполяция рассчитанных моделей в большинстве случаев дает неправильные результаты. Это является его главным недостатком. Преимущество данного метода состоит в его низкой стоимости и большом объеме экспериментальных данных, что повышает эффективность статистической обработки. Стимулирующим фактором более широкого использования пассивного эксперимента является быстрое развитие компьютерной техники и программных средств с одной стороны и повышение стоимости "материального" эксперимента с другой. Особенно эффективно использование пассивного эксперимента при рассмотрении многих факторов, поскольку проведение классического эксперимента (экспериментальное изучение раздельного влияния факторов) в этом случае становится очень затруднительным и даже нереальным. На первом этапе многофакторного эксперимента часто ограничиваются линейными регрессионными моделями: Y =b0 + bi Xi (6.1) Для построения таких моделей необходимо знать значения всех k факторов (X11 , X12 , ..X1n ; X21 , X22 , ..X2n ;... Xk1 , Xk2 , ..Xkn) параметра оптимизации (Y1 ,Y2 , Yn ) для всех n опытов. Для этого необходимо рассчитать соответствующие коэффициенты, что обычно делают методом наименьших квадратов. Суть этого метода заключается в том, что коэффициенты b определяют из условия, чтобы сумма квадратов отклонений измеренных значений Y от расчетных f(X1,X2 ,...Xk) принимала минимальное значение, т.е.: [Y -f?X ,X ,...X %] = min В случае одной независимой переменной X1, когда строят уравнения Y = b0 + X1*b1 (6.2) коэффициенты b и b рассчитывают по следующим формулам: b = [(Yi )( Xi )) - (Xi )( Xi Yi )] / [n (Xi )) -(Xi ) ] (6.3) b = [n-( XiYi)( Xi)( Yi) / [n((Xi )-( Xi)] (6.4) где Xi и Yi - известные значений независимой и зависимой переменных в i-том измерении, а n- число измерений. Процедуру расчета коэффициентов можно существенно сократить если использовать программы для ЭВМ, например EXCEL. Для работы с этой программой предварительно необходимо составить матрицу исходных значений неизвестных (X) и известных (Y ) параметров. Например, в случае нахождения регресионной зависимости какого-либо свойства (Y) от трех факторов (X1 ,X2 и X3 ) по результатам n измерений исходная матрица имеет следующий вид: X11 X21 X31 Y1 X12 X22 X32 Y2 ................... X1n X2n X3n Yn Вводя данные значения в выбранные ячейки и выделяя их как матрицу, можно с помощью функции "ЛИНЕЙН"(LINEST) рассчитать не только значения коэффициентов линейной регрессии, но и их доверительные интервалы, а также другие статистические параметры. В качестве примера на рис.6.1 показано размещение исходных значений Xij и Yi , рассчитанных значений bi и дополнительных статистических параметров, а также вспомогательных надписей, облегчающих работу с шаблоном. Данный шаблон удобно использовать для решения однотипных задач, поскольку в этом случае все действия исследователя сводятся к введению новых значений в соответствующие ячейки.
Поставлена задача построить математическую модель влияния состава на заданные свойства алюминиевого сплава методом пассивного эксперимента, используя известные экспериментальные значения (см варианты задания). 1. Составить матрицу исходных значений заданных факторов и параметров оптимизации. 2. Используя программу "EXCEL" (функция "ЛИНЕЙН"), рассчитать коэффициенты регрессии модели и их доверительные интервалы. 3. По полученному регрессионному уравнению рассчитать значения свойства (Y) при заданном составе. Оценить адекватность расчетных значений по t-критерию.
1. Привести таблицу, включающую исходные данные, рассчитанные значения коэффициентов регрессии, их доверительные интервалы. 2. Привести уравнение регрессии. 3. Привести результат оценки адекватности линейных моделей.
1. Чем отличается активный эксперимент от пассивного? 2. Каковы преимущества пассивного эксперимента перед активным? 3. Какие недостатки пассивного эксперимента по сравнению с активным? 4. В чем заключается определение коэффициентов регрессионной модели методом наименьших квадратов? 5. Какие исходные данные необходимо иметь для построения регрессионной модели? 6. Как можно оценить адекватность регрессионной модели? 7. Как можно использовать регрессионные уравнения? 8. Можно ли рассчитать коэффициенты линейной регрессионной модели для 8 факторов по результатам 8 измерений? 9. Сколько степеней свободы имеет линейная регрессионная модель для 10 факторов при 15 измерениях?
Рис.6.1. Шаблон для расчета множественной регрессионных линейных моделей. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N7 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТРИЧНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА ОБЪЕМНЫХ ДОЛЕЙ В МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СПЛАВАХ (2 ч)
Ознакомиться с принципом расчета объемных (QV) и массовых (QM) долей в многокомпонентных сплавах с использованием матриц. Освоить расчет QV и QM для заданного четверного сплава в программе EXCEL.
Экспериментальное определение объемных долей фаз (QV), в частности методом линейного металлографического анализа, является трудоемкой работой даже для двухфазных сплавов, поскольку удовлетворительная точность достигается при достаточно большом числе измерений. При переходе к многофазным сплавам эта задача существенно усложняется, так как идентификация фаз требует не только качественного шлифа, но и высокой квалификации исследователя. Если размер частиц близок или меньше предельной разрешающей способности светового микроскопа, то экспериментальное определение объемной доли фаз традиционными методами становится невозможным. В связи с этим большой практический интерес представляют различные расчетные способы оценки значений QV. В тройных системах определить относительные массовые количества фаз (QM) в трехфазных сплавах при заданной температуре можно с помощью измерения отрезков на соответствующих изотермических сечениях диаграмм состояния, используя правило центра тяжести треугольника. Этот метод имеет два существенных недостатка: 1- низкая точность оценки QM, которая в значительной мере определяется качеством рисунка; 2- практическая невозможность использовать этот метод для сплавов с большим числом компонентов. Более удобными являются чисто расчетные методы, которые не требуют наличия точных изображений изотермических сечений диаграмм состояния. Применительно к N-компонентным сплавам, содержащим N фаз для решения этой задачи достаточно знать состав сплава и концентрации компонентов во всех фазах при заданной температуре. Последние значения часто можно получить из справочной литературы. В этом случае используется свойство многокомпонентных сплавов, из которого следует постоянство состава всех фаз независимо от состава сплава. Рассчитать относительные массовые количества фаз можно решением системы N линейных уравнений баланса, в которых концентрация каждого компонента в сплаве (Xi ) определяется как сумма произведений концентраций этого компонента в каждой фазе (Yij ) на массовую долю (QMi ) данной фазы: Y11 QM1 + Y12 QM2 + ...+ Y1N QMN = X1 Y21 QM1 + Y22 QM2 + ...+ Y2N QMN = X2 .................................. YN1 QM1 + YN2 QM2 + ...+ YNN QMN = XN (7.2) Поскольку из N концентраций независимыми являются только N-1, а сумма массовых долей всех фаз равна 1 (или 100%) для определения искомых значений QM можно воспользоваться более удобной системой N линейных уравнений по сравнению с (7.1): Y11 QM1 + Y12 QM2 + ...+ Y1N QMN = X1 Y21 QM2 + Y22 QM2 + ...+ Y2N QMN = X2 .................................. YN-1;1 QM1 + YN-1;2 QM2 + ...+ YN-1;N QMN = XN (7.2) QM1 + QM2 + .....+ QMN = 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||