Адамчук-М.-С.-Чикишева-Л.-Г.-Преобразования-плоскости. Практикум по курсу геометрии мс. Адамчук, Л. Г. Чикишева. Южно сахалинск издво СахГУ, 2014. 88 с Практикум по курсу геометрии предназначен для изучения темы Геометрические преобразования, входящей в фгос
 Скачать 0.63 Mb.
|
|
решение: Так как центр окружности, описанной около правильного треугольника, является центром этого треугольника, то при повороте вокруг точки O на угол α = о каждый из треугольников и А 1 В 1 С 1 отображается на себя. Причем 120 A C C B B A R O и → → → , , : 1 1 1 1 1 1 120 Следовательно 120 A CÀ CÀ BÑ BÑ A R O и → → → , , : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 120 Так как при повороте точка пересечения прямых отображается на точку пересечения их образов, то ( ) ( ) 2 2 120 2 2 120 2 2 120 0 0 0 , , ) ( А С R C B R B A R O O O = = = Это означает, что при повороте вокруг точки O на угол α = о треугольник А 2 В 2 С 2 отображается сам на себя, те. он правильный. задача 3. Построить равнобедренный прямоугольный треугольник с вершиной прямого угла в данной точке A , у которого вершины острых углов лежат одна на данной прямой, а другая – на данной окружности. Анализ Предположим, ABC Δ удовлетворяет условию задачи, те лежит на Окр ( ) R O , , B – на прямой . Определим Рис. 4 Рис. Рис. 5 Рис. 5 21 положение вершин B и С. Для этого рассмотрим поворот вокруг точки A на о C B . Так как вершина B лежит на прямой, то по свойству движений Сбудет лежать на прямой рис. 6.1). Кроме того, С по условию задачи лежит на Окр Следовательно, вершина Сможет быть получена как точка пересечения прямой 1 и Окр. ( ) R O , , а вершина B может быть получена из С при обратном преобразовании, те. Построение 1) 1 ; ( ) l l o 90 1 A R = 2) C; ( ) R O Îêð C , 1 ∩ = 3) B; ( ) C R B A o 90 − = 4) ABC ∆ III. доказательство Покажем, что построенный треугольник ABC удовлетворяет условию задачи 1) По построению вершина B получена из С при повороте вокруг точки A на ( ) o 90 − . Тогда по определению поворота AC AB = , o 90 = ∠ BAC , и значит, BAC ∆ – прямоугольный, равнобедренный 2) a) Вершина С лежит на Окр. ( ) R O , по построению б) → → − , , : 1 90 l l o B C R A нот. к. С по построению лежит на прямой 1 , то по свойству движений Итак, ABC ∆ – искомый. исследование I. Точка A вне Окр. ( ) R O , , вне прямой 1) Если прямая 1 и Окр. ( ) R O , пересекаются, то задача имеет два решения и 1 1 C AB ∆ (см. рис. 6.2). 2) Если прямая 1 касается Окр. ( ) R O , , то задача имеет одно решение (см. рис. 6.3). 3) Если прямая 1 и Окр. ( ) R O , не имеют общих точек, то задача не имеет решений (см. рис. Рис. 6.2 Рис. 6.3 Рис. 6.4 Рис Рис. 6.3 Рис. 6.4 Рис Рис. 6.1 Рис. Рис. 6.2 23 22 II. Точка A на окружности Способ построения искомого ABC ∆ тот же (см. рис. 6.5). III. Точка A на прямой (см. рис. 6.6). Проведите построение, сделайте вывод IV. Точка A внутри круга ( ) R O , . Построение, вывод сделать самостоятельно. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Докажите, что композиция поворота и параллельного переноса есть поворот на тот же угол. Постройте центр полученного поворота 2. Для двух поворотов плоскости с различными центрами постройте такую точку М, которая при этих поворотах преобразуется в одну и туже точку М 3. Укажите центр и угол поворота, при котором переходит сама в себя каждая из следующих фигура) правильный треугольник б) квадрат в) параллелограмм г) прямоугольник, отличный от квадрата д) две параллельные прямые 4. Даны два равных отрезка AB и А 1 В 1 . Постройте центр О поворота, при котором точки A и В переходят в точки A 1 и В. Определите угол поворота. Всегда ли существует такой поворот 5. Даны два равных непараллельных отрезка AB и А 1 В 1 . Пусть О – центр поворота, при котором точки A и В переходят в точки A 1 и В, а О – центр поворота, при котором точки A и В переходят соответственно в точки В и А. Докажите, что прямая ОО 1 делит пополам отрезок, соединяющий середины отрезков AB и А 1 В 1 . Докажите, что углы этих поворотов отличаются на о 6. На прямой a дана точка A, а на прямой b – точка В. Найдите повороты, при которых прямая a отображается напрямую и точка A – на точку В 7. Даны две равные окружности ω и ω 1 и точки ω ∈ À , Найдите поворот → → , : 1 B A R O ω ω α 8. Даны два равных одинаково ориентированных правильных треугольника. Найдите повороты, переводящие первый треугольник во второй. Как расположены центры этих поворотов 9. Даны два равных квадрата. Докажите, что в общем случае существуют четыре поворота, преобразующие первый квадрат во второй, и центры этих поворотов лежат на одной прямой 10. Через центр правильного треугольника проведены две прямые, угол между которыми равен о. Докажите, что отрезки этих прямых, заключенные внутри треугольника, равны 11. Через центр квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами некоторого квадрата 12. Точки K, L, M, N принадлежат последовательно прямым AB, BC , CD, А, содержащим стороны квадрата ABCD. Доказать, что если отрезки КМ и LN перпендикулярны, то они равны 13. На сторонах АС и BC треугольника ABC во внешнюю сторону построены правильные треугольники САВ 1 и ВСА 1 . Докажите, что отрезки АА 1 и ВВ 1 равны. Найдите угол между прямыми АА 1 и ВВ 1 14. На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены правильные треугольники ABC 1 , ВСА 1 , САВ 1 . Докажите, что прямые АА 1 , ВВ 1 , СС 1 пересекаются водной точке 15. На сторонах АС и BC треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты АСА 1 А 2 и ВСВ 1 В 2 : а) докажите, что отрезки АВ 1 и А 1 В равны и перпендикулярны б) пусть точка К – середина Рис. 6.5 Рис. 6.6 Рис Рис. 6.5 Рис. 6.6 Рис 6.6 25 отрезка А 1 В 1 . Докажите, что отрезок ВА перпендикулярен СК и длина отрезка ВА вдвое больше длины отрезка СК. 16. Длина стороны квадрата ABCD равна 1. На сторонах AB и А выбраны точки Р итак, что периметр треугольника APQ равен 2. Докажите, что о 17. Внутри квадрата ABCD взята произвольная точка Р. Из вершины А опущен перпендикулярна прямую ВР, из вершины В – напрямую СР, из вершины Сна прямую Риз вершины D – напрямую АР. Докажите, что все четыре перпендикуляра (или их продолжения) пересекаются водной точке. 18. Теорема Помпею: а) доказать, что если в плоскости правильного треугольника ABC взята произвольная точка Мне принадлежащая описанной около треугольника ABC окружности, то отрезки AM, ВМ, CM могут служить сторонами некоторого треугольника б) доказать, что для любой точки М окружности, описанной около правильного треугольника ABC, один из трех отрезков AM, ВМ, CM равен сумме двух других. Указание рассмотреть поворот точки М на о вокруг одной из вершин треугольника ABC). 19. Внутри правильного треугольника ABC лежит точка М. Известно, что о о 123 , 113 = ∠ = ∠ ВМС АМВ . Найдите углы треугольника, стороны которого равны отрезкам AM, ВМ, CM. Указание построить ( ) M R M B 0 60 1 = и рассмотреть треугольник СММ 1 . Ответ о, о, о. 20. Внутри правильного треугольника ABC взята точка М такая, что AM = 1, ВМ = 3 , CM = 2. Найдите длину стороны AB и углы АМВ, ВМС. (Ответ 7 ; о о. 21. Дан правильный треугольник ABC. Внутри угла АСВ взята точка М такая, что 0 15 , 2 , 2 = ∠ = = АМС ВМ АМ . Найдите расстояние CM. Указание выполнить поворот на угол α , 0 60 = α , вокруг вершины А. Ответ 1 3 + ). 22. Дан ромб ABCD, угол А которого равен о. Внутри ромба взята такая точка М, что AM = 1, ВМ = 3, CM = 2. Найдите длины AB и М. Указание выполнить поворот на угол α , 0 60 = α , вокруг вершины А или вершины С. Ответ 3 , 7 ). 23. Дан прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с прямым углом при вершине С. Внутри него взята точка М такая, что 1 , 2 , 2 = = = СМ АМ ВМ . Найдите длину СА и углы АМВ, СМА. Ответ , 5 о, о 24. Дан прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с прямым углом при вершине С. Вне треугольника, внутри угла ABC, взята точка М такая, что 0 135 , 1 , 2 = ∠ = = АМС СМ АМ . Найдите длину ВМ. Ответ 2 2 ). 25. Найдите точку, сумма расстояний которой от вершин данного треугольника была бы наименьшей. Рассмотреть два случая а) в треугольнике каждый угол меньше 120 о (Указание: рассмотреть поворот на угол α , 0 60 = α , с центром водной из вершин треугольника б) в треугольнике один из углов не меньше о 26. Даны две параллельные прямые a и b и точка C, не принадлежащая этим прямым. Постройте правильный треугольник ABC так, чтобы b  à À ∈ ∈ , 27. Даны две параллельные прямые a и b и точка C. Постройте прямоугольный равнобедренный треугольник ABC так, чтобы b  à À ∈ ∈ , и 0 С 28. Постройте квадрат, две смежные вершины которого принадлежат двум данным окружностям, а диагонали пересекаются в данной точке 29. Постройте квадрат ABCD, если известно, что его вершина В находится в данной точке, а вершины Аи С принадлежат двум данным окружностям 30. Постройте правильный треугольник ABC по его центру О и точкам Ми, принадлежащим прямыми соответственно. 31. Постройте правильный шестиугольник ABCDEF по его центру О и точкам Ми, принадлежащим прямым аи соответственно б) AB и С соответственно 27 26 2.2. Центральная симметрия Точки A и А называются симметричными относительно точки, если О – середина отрезка АА 1 . Центральная симметрия с центром О – это преобразование, переводящее любую точку A в точку A 1 , симметричную точке A относительно точки O. На плоскости центральная симметрия есть поворот вокруг точки O на угол α = о. Обозначается центральная симметрия символом Симметрию с центром в точке O называют также отражением от точки Свойства центральной симметрии 1. Центральная симметрия – это преобразование, обратное самому себе ( ) O O Z Z = −1 . Отсюда непосредственно следует, что композиция двух симметрий с одними тем же центром есть тождественное преобразование E Z Z O O = 2. Композиция двух центральных симметрий с различными центрами О и О есть параллельный перенос на вектор 2 1 2 Î Î à = 3. Любая прямая, проходящая через центр симметрии, есть инвариантная прямая преобразования 4. При центральной симметрии прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую Если при симметрии относительно точки O фигура F отображается на себя, то говорят, что точка O – центр симметрии фигуры F. Правильный многоугольник счетным числом сторон имеет центр симметрии – это точка пересечения его больших диагоналей. Центром симметрии параллелограмма является точка пересечения его диагоналей. Пара пересекающихся прямых симметрична относительно точки пересечения этих прямых. Прямая имеет бесконечно много центров симметрии – она симметрична относительно каждой своей точки. Центральная симметрия обычно используется в тех случаях, когда известна точка, являющаяся серединой какого-либо отрезка. задача 1. Вершины параллелограмма ABCD лежат на сторонах другого параллелограмма MNKL (рис. 7). Доказать, что эти параллелограммы имеют общий центр. решение: Пусть диагонали АС и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Точки A и С симметричны относительно О, следовательно, параллельные прямые KL и MN, содержащие эти точки, также симметричны относительно О. Аналогично можно показать, что Z O (KN) = ML. Точка К пересечения прямых KL и К отображается в точку пересечения симметричных им соответственно прямых Ми М, те. М = Z O (K). Аналогично доказывается, что вершины L и N также симметричны относительно точки O, следовательно, О – центр параллелограмма задача 2. Через точку пересечения двух окружностей проведите секущую, определяющую в этих окружностях равные хорды. Анализ Предположим, задача решена, точка A пересечения данных окружностей ( ) R O , и ( ) r O , 1 определяет в этих окружностях равные хорды [ ] CA , [ ] AB , лежащие на одной секущей ( ) r O Îêð B , 1 ∈ , Определим положение точек B, C на окружностях. Для этого рассмотрим центральную симметрию с центром А. C A N M K L O B D Рис. 7 29 28 ( ) ( ) r O Îêð r O Îêð C B Z A , , : 1 Так как по условию задачи точка B лежит на Окр. ( ) r O , 1 , то по свойству движений точка C будет лежать на Окр. ( ) r O , 1 ′ . Но по условию задачи С лежит на Окр. ( ) R O , . Следовательно, ( ) ( ) R Î Îêð r O Îêð Ñ , , 1 ∩ ′ = , а точка B может быть получена из Спри обратном преобразовании, те (см. рис. 8.1). II. Построение 1) Окр. ( ) r O , 1 ′ ; ( ) ( ) r O Îêð r O Îêð Z A , , : 1 1 ′ → 2) C; ( ) ( ) R O Îêð r O Îêð Ñ , , 1 ∩ ′ = 3) B; ( ) C Z B A = 4) ( ) l = CB ; [ ] CB . (см. рис. 8.1). III. доказательство 1) По построению B C Z A → : , откуда по определению центральной симметрии следует, что точки A, C, B лежат на одной прямой , причем А – середина отрезка [ ] CB , те. А – общий конец равных хорд [ ] CA , [ ] AB данных окружностей 2) a) ( ) R O Îêð Ñ , ∈ по построению б) взаимно свойству по – , , , построению по – : 1 r O Окр r O Окр B C Z A обратных преобразований. Так как ( ) r O Îêð Ñ , 1 ′ ∈ , то по свойству движений ( ) r , O . Îêð B 1 ∈ Следовательно, – искомая секущая. исследование Задача всегда имеет решения. Две секущие 1 , которая высекает равные хорды [ ] AC и [ ] AB на двух данных окружностях ( ) R O , и ( ) r O , 1 ; и 2 , которая высекает равные хорды [ ] 1 1 C A и [ ] 1 1 B A на этих окружностях. и 2 симметричны относительно линии центров ( ) 1 OO (см. рис. 8.2). Очевидно, и секущая ( ) 3 удовлетворяет условию задачи (см. рис. Рис. 8.1 Рис. Рис. 8.2 l 1 B C A O 1 O O 1 ' 1 O 1 '' l 2 B 1 A 1 C 1 l 3 Рис. 8.2 31 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Докажите, что композиция двух центральных симметрий с различными центрами есть параллельный перенос 2. Докажите, что композиция четного числа центральных симметрий есть параллельный переносили тождественное преобразование. Постройте вектор этого переноса 3. Докажите, что композиция трех центральных симметрий есть центральная симметрия, и постройте ее центр 4. Докажите, что композиция центральной симметрии и параллельного переноса есть центральная симметрия, и постройте ее центр. Будет ли эта композиция перестановочна? 5. Докажите, что композиция нечетного числа центральных симметрий есть центральная симметрия 6. Даны три точки A, В, С. Постройте центры симметрий, являющихся композициями трех симметрий с центрами в данных точках при различных последовательностях выполнения указанных симметрий 7. Точка М отражается последовательно от вершин А, В, С треугольника и после отражений занимает положение М. Докажите, что середина отрезка ММ есть точка, независящая от выбора точки М 8. Точка М отражается последовательно от точек А, В, С А, В, С. Докажите, что в результате этих отражений точка М преобразуется в себя. 9. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм, три вершины которого находятся в данных точках. Сколько решений имеет задача 10. Дан угол с недоступной вершиной Аи точкой М внутри его. Постройте доступную часть прямой AM. 11. Два равных отрезка лежат на параллельных прямых. Постройте центр симметрии, отображающей один из отрезков на другой 12. Даны две пересекающиеся прямые a и b и точка O, не принадлежащая им. Постройте параллелограмм с центром в точке O, две стороны которого принадлежат прямыми. Верно ли утверждение, что наличие у четырехугольника центра симметрии является необходимыми достаточным условием того, что этот четырехугольник есть параллелограмм 14. Даны две прямые a и b и точка O. Постройте точки а А∈ , В ∈ , симметричные относительно точки O. 15. Даны три точки A, ВО, не лежащие на одной прямой. Проведите две прямые a и b, симметричные друг другу относительно точки O так, чтобы b  à À ∈ ∈ , 16. Даны точка O, окружность ω и прямая a. Постройте отрезок AB с серединой в точке O так, чтобы ω ∈ ∈  à À , 17. Даны две окружности и точка. Проведите через данную точку секущую так, чтобы ее отрезок с концами на данных окружностях делился данной точкой пополам 18. Постройте параллелограмм, две противоположные вершины которого находились бы в данных точках Аи С, а две другие – на двух данных окружностях 19. Даны три точки КМ, О, не лежащие на одной прямой. Постройте квадрат с центром в точке O так, чтобы точки К и М принадлежали его противоположным сторонам 20. На сторонах параллелограмма вне его построены правильные треугольники. Докажите, что центры этих треугольников являются вершинами параллелограмма 21. Через точки, которые делят медианы треугольника в отношении считая от вершин, проведены прямые, параллельные соответственным сторонам данного треугольника. Докажите, что треугольник с вершинами в точках пересечения этих прямых равен данному треугольнику 22. В треугольнике ABC проведены медианы АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , пересекающиеся в точке М. Точки A 2 , В, С – середины отрезков AM, ВМ, CM соответственно. Докажите, что треугольники А 1 В 1 С 1 и А 2 В 2 С 2 равны. 23. В треугольник вписана окружность, к которой проведены касательные, параллельные сторонам треугольника. Докажите, что противоположные стороны образовавшегося шестиугольника равны. В каком случае этот шестиугольник является правильным 24. Точка O – центр параллелограмма ABCD. Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники АОВ, ВОС, СО и DОА, являются вершинами ромба. В каком случае этот ромб будет квадратом 33 32 25. Дан параллелограмм ABCD и произвольная точка М. Через вершины А, В, С, D проведены прямые, параллельные соответственно прямым MC, М, МА, МВ. Докажите, что построенные прямые пересекаются водной точке 26. Докажите, что точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин его сторон, лежат на описанной около треугольника окружности 27. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника, и отрезок с концами в серединах его диагоналей пересекаются водной точке 28. Противоположные стороны восьмиугольника попарно параллельны и равны. Докажите, что восьмиугольник имеет центр симметрии. Является ли он правильным 29. Даны две параллельные прямые и точка O – их центр симметрии. Докажите, что в любом прямоугольном треугольнике АОВ, вершины Аи Вострых углов которого принадлежат данным прямым, длина высоты, опущенной на гипотенузу, равна половине расстояния между данными прямыми. Указание построить ( ) A Z À O = 1 , ( ) B Z B O = 1 и рассмотреть четырехугольник АВА 1 В 1 ). 30. Через точку, данную внутри угла, проведите прямую, отсекающую от этого угла треугольник с наименьшей площадью 31. Могут ли иметь центр симметрии следующие фигуры а) треугольник б) четырехугольник в) пятиугольник. Сделать общий вывод о наличии центра симметрии у многоугольника. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ Точки A и А называются симметричными относительно прямой, если l – серединный перпендикуляр к отрезку АА 1 . Осевая симметрия с осью l – это преобразование, переводящее любую точку A в точку A 1 , симметричную точке A относительно прямой l. Точки прямой l остаются при этом преобразовании неподвижными. Обозначается осевая симметрия символом S l . Симметрию относительно оси l называют также отражением от прямой Свойства осевой симметрии 1. Осевая симметрия – это преобразование, обратное самому себе ( ) l l S S = −1 . Отсюда непосредственно следует, что композиция двух симметрий с одной и той же осью есть тождественное преобразование E S S l l = 2. Осевая симметрия есть движение второго рода 3. Любая прямая, перпендикулярная оси симметрии, является инвариантной прямой 4. Две прямые, симметричные друг другу относительно оси либо пересекаются в точке, принадлежащей оси l, либо параллельны оси Если при симметрии относительно оси l фигура F отображается на себя, то говорят, что прямая l – ось симметрии фигуры F. Говорят также, что фигура F симметрична относительно оси l. Из школьного курса геометрии известно, что прямая, содержащая биссектрису угла, является осью симметрии этого угла. Правильный угольник имеет n осей симметрии, все они пересекаются в его центре. Осью симметрии окружности является любая прямая, проходящая через ее центр. Осевая симметрия играет ведущую роль среди различных видов движений. Справедлива следующая теорема: |