Адамчук-М.-С.-Чикишева-Л.-Г.-Преобразования-плоскости. Практикум по курсу геометрии мс. Адамчук, Л. Г. Чикишева. Южно сахалинск издво СахГУ, 2014. 88 с Практикум по курсу геометрии предназначен для изучения темы Геометрические преобразования, входящей в фгос
 Скачать 0.63 Mb.
|
|
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САХАЛИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» М. С. АдАМчук Л. Г. чикишевА ПреобрАзовАния ПЛоСкоСти Практикум по курсу геометрии Южно-Сахалинск Издательство СахГУ 2014 УДК 514.001.1(076) ББК 22.151.0–5 А Печатается по решению учебно-методического совета Сахалинского государственного университета, 2013 Рецензенты: Мисиков Б. Р канд. физмат. наук, др пед. наук, завкафедрой математики СахГУ; Лихачева ОН канд. физмат. наук, доцент, заместитель директора Сахалинского филиала геофизической службы РАН. Адамчук, МС. Преобразования плоскости : практикум по курсу геометрии / МС. Адамчук, Л. Г. Чикишева. – Южно- Сахалинск : изд-во СахГУ, 2014. – 88 с Практикум по курсу геометрии предназначен для изучения темы Геометрические преобразования, входящей в ФГОС ВПО для студентов направления Педагогическое образование, профиль Математика и физика. Практикум предназначен для организации аудиторной и внеаудиторной (индивидуальной и самостоятельной) работы студентов. В пособии указаны определения основных движений и подобий плоскости, перечислены их свойства, приведены примеры решения задач с применением этих преобразований, а также имеется большое количество задач для самостоятельного решения. А28 ISBN 978-5-88811-478-0 © Адамчук МС Чикишева Л. Г, 2014 © Сахалинский государственный университет, 2014 УДК 514.001.1(076) ББК СОДЕРЖАНИЕ Пояснительная записка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ВВЕДЕНИЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ . . . . . . . . . . . ЧАСТЬ I. ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. Параллельный перенос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2. Поворот . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 2.1. Поворот вокруг точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Центральная симметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3. Осевая симметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 4. Скользящая симметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 5. Аналитическое представление движений . . . . . . . . . . . . . 40 5.1. Основная теорема о задании движений . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.2. Уравнение движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.3. Основные типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ЧАСТЬ II. ПОДОБИЯ ПЛОСКОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1. Гомотетия плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2. Аналитическое представление гомотетий и подобий . . . . Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 5 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Практикум по курсу геометрии предназначен для изучения темы Геометрические преобразования, входящей в ФГОС ВПО для студентов направления Педагогическое образование, профиль Математика и физика. Практикум составлен в соответствии с требованиями ФГОС ВПО Российской Федерации. В настоящее время в школьном курсе математики недостаточно внимания уделяется изучению геометрии. Поэтому при изучении курса геометрии в вузе необходимо более подробно рассмотреть вопросы элементарной геометрии, к которыми относится раздел Геометрические преобразования». Практикум Геометрические преобразования предназначен для организации аудиторной и внеаудиторной (индивидуальной и самостоятельной) работы студентов педагогического направления. В данном пособии указаны определения основных преобразований плоскости, изучаемых в школьном курсе геометрии движений и подобий плоскости, перечислены их свойства. Для каждого вида преобразований приведены примеры решения задач с применением этих преобразований. Значительное место отведено классификации и решению основных задач с применением аналитических методов. Кроме того, пособие содержит большое количество задач для самостоятельной работы с указаниями и ответами. ВВЕДЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ Взаимно однозначное отображение множества Хна себя называется преобразованием этого множества. В школьном курсе геометрии рассматривают множество всех точек плоскости или множество всех точек пространства и говорят о преобразовании плоскости или пространства. Необходимыми достаточным признаком преобразования множества Х является одновременное выполнение двух условий 1) каждый элемент множества Х имеет единственный образ в этом множестве 2) каждый элемент множества Х имеет единственный прообраз в этом множестве. Обозначим символом G (X) множество всех преобразований данного множества Х. Пусть f и g – два преобразования множества Х (т. е. ( ) ( ) X G g X G f ∈ ∈ , ) и для произвольного элементах множества Х (x) = y, g (y) = z, причем y и z – элементы множества Х. Преобразование φ (х) = g (f (x)) = z называется композицией (или произведением) преобразований f и g: ( ) ( )( ) ( ) ( ) x f g x f g x = = ϕ . Обычно преобразование, которое в композиции выполняют первым, записывается справа. Композиция является бинарной операцией на множестве G (X) преобразований данного множества Х. Можно доказать, что композиция преобразований ассоциативна, те. для любых преобразований данного множества ( справедливо равенство ( ) ( ) f g h f g h = . Однако, за исключением частных случаев, композиция преобразований некомму- тативна. Преобразование Е множества X называется тождественным, если для любого элементах множества ХЕ (х) = х, те. преобразование Е каждый элемент х множества Х преобразует в себя 7 Любое преобразование ( ) X G f ∈ является биективным отображением множества X на себя, поэтому для него существует обратное отображение f –1 , которое также является преобразованием множества Хи. Таким образом, множество) всех преобразований данного множества Х есть группа относительно композиции преобразований " " . Группа G (X) называется группой всех преобразований множества Х. Любая подгруппа группы G (X) называется группой преобразований множества Х Для того чтобы непустое множество преобразований ( ) X G H ⊂ являлось группой преобразований множества Х, необходимо выполнение двух условий 1) если H g H f ∈ ∈ , , то H f g ∈ ; 2) если H f ∈ , то Пусть Аи В – любые подмножества множества Х. Можно доказать, что для любого преобразования ( ) X G f ∈ : ( ) ( ) ( и ( ) ( ) ( В дальнейшем мы рассматриваем в качестве множества Х множество точек плоскости и группу G (X) всех преобразований плоскости. Введем несколько определений. Точка М плоскости Х называется инвариантной (или неподвижной) точкой преобразования, если она при этом преобразовании переходит в себя, те Прямую d плоскости Х назовем инвариантной (или неподвижной) прямой преобразования f, если любая ее точка переходит в ка- кую-либо точку этой же прямой ( Прямую d плоскости Х назовем прямой инвариантных точек преобразования f, если любая ее точка инвариантна, те. переходит сама в себя. Очевидно, прямая инвариантных точек является инвариантной прямой преобразования, однако инвариантная прямая необязательно состоит только из инвариантных точек. ЧАСТЬ ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ Говорят, что преобразование плоскости сохраняет расстояния, если расстояние между любыми двумя точками Аи В плоскости равно расстоянию между их образами Аи В в данном преобразовании, те 1 В А АВ Преобразование плоскости, сохраняющее расстояния, называется движением (или перемещением). Из определения следует, что а) преобразование, обратное движению, есть движение б) композиция двух движений есть движение. Таким образом, множество всех движений плоскости образует группу движений Тождественное преобразование есть нейтральный элемент этой группы. Фигура F называется равной фигуре F 1 , если существует движение, переводящее F в F 1 . Иногда удобно представлять фигуры F и F 1 как начальное и конечное положение одной и той же фигуры при перемещении. Про равные фигуры говорят также, что их можно совместить Если при движении f фигура F переходит сама в себя, то говорят, что f – самосовмещение фигуры F. Свойства движений 1. Движение переводит прямую впрямую, а параллельные прямые – в параллельные 2. Движение переводит полуплоскость с границей а в полуплоскость с границей а, где а – образ прямой a. 3. Движение переводит отрезок в равный ему отрезок 4. Движение сохраняет для трех точек одной прямой отношение лежать между 5. Движение переводит луч в луча сонаправленные лучи – в сонаправленные. 6. Движение переводит угол в равный ему угол 9 Говорят, что треугольник ABC ориентирован положительно, если обход его вершин в порядке А, В, С происходит в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки треугольник ABC ориентирован отрицательно если обход его вершин в порядке А, В, С происходит в направлении, совпадающем с направлением движения часовой стрелки Таким образом, треугольники ABC и АСВ, которые геометрически не отличаются друг от друга, ориентированы противоположно. Пустьпроизвольное движение плоскости f переводит треугольник в треугольник А 1 В 1 С 1 . Треугольники ABC и А 1 В 1 С 1 равны между собой, но могут быть ориентированы по-разному. Движение плоскости f называется движением первого рода если для любого треугольника ABC ориентация этого треугольника совпадает с ориентацией треугольника А 1 В 1 С 1 . В противном случае движение f называется движением второго рода. На плоскости рассматривают следующие виды движений параллельный перенос, поворот вокруг точки (частный случай поворота центральная симметрия, осевая симметрия, скользящая симметрия. При этом параллельный переноси поворот вокруг точки являются движениями первого рода, а осевая симметрия и скользящая симметрия – движениями второго рода. Справедливо следующее утверждение если точки A и Враз- личны и отрезок А 1 В 1 равен отрезку AB, тона плоскости существует ровно одно движение первого рода и ровно одно движение второго рода, каждое из которых отображает точку A на точку A 1 и точку В на точку В. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС Параллельным переносом на вектор à называется преобразование плоскости, при котором каждая точка A плоскости переходит в такую точку A 1 , что вектор 1 АА равен вектору à . Параллельный перенос на вектор à обозначается ( ) 1 ; А А Т Т а а = r Из определения следует, что параллельный перенос может быть задан парой соответствующих точек. Свойства параллельного переноса 1. Параллельный перенос является движением первого рода 2. Параллельный перенос на нулевой вектор 0 является тождественным преобразованием Е Т Т АА = = 0 r 3. Преобразование, обратное параллельному переносу навек- тор à , есть параллельный перенос на вектор, противоположный вектору à : ( ) à à Ò Ò − − = 1 4. Композиция двух параллельных переносов есть параллельный перенос b a a b T T Ò + = 5. Композиция любых двух параллельных переносов коммутативна. Параллельный перенос отображает любую прямую, не параллельную вектору переноса, на параллельную ей прямую 7. Каждая прямая, параллельная вектору параллельного переноса, отображается самана себя, те. является инвариантной прямой этого переноса 8. Параллельный перенос отображает луч на сонаправленный ему луч. Заметим, что ограниченная фигура не может переходить сама в себя при параллельном переносе. Параллельный перенос применяют обычно тогда, когда задача связана с фигурой, содержащей параллельные прямые или отрезки. Если речь идет о параллелограмме, то чаще всего применяется параллельный перенос на вектор, совпадающий с одной из 11 сторон, т. к. при таком переносе две вершины параллелограмма переходят в две другие его вершины (см. задачу 1). В случае, когда рассматривается трапеция, обычно применяется параллельный перенос на вектор, совпадающий с одним из оснований трапеции, т. к. при таком переносе прямые, содержащие основания, являются инвариантными прямыми. При этом стороны многоугольников считаются направленными отрезками. В задачах, связанных с многоугольниками, параллельный перенос применяют для того, чтобы сблизить элементы, не имеющие общих точек в результате такого сближения задача обычно сводится к рассмотрению некоторого треугольника, который определен. В задачах на построение параллельный перенос применяют также для построения ключевой точки, которая является общей точкой данной фигуры и фигуры, полученной параллельным переносом другой данной фигуры (см. задачу задача 1. На стороне AB прямоугольника ABCD вне его построен треугольник АВЕ. Через точки C и D проведены перпендикуляры и DK к прямым АЕ и ВЕ соответственно. Пусть Р – точка пересечения прямых CM и DK. Докажите, что АВ ЕР ⊥ (рис. решение Так как в данной задаче рассматриваются прямые, перпендикулярные сторонам треугольника, то имеет смысл рассмотреть также и прямые, содержащие высоты этого треугольника, т. к. прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны и, следовательно, могут переходить друг в друга при некотором параллельном переносе. В задаче требуется доказать, что прямая ЕР перпендикулярна прямой AB. Нот. к. из точки Е напрямую можно опустить только один перпендикуляр, то, следовательно, нужно доказать, что точка Р лежит на прямой, содержащей высоту треугольника АЕВ, проведенную из вершины Е. Пусть Н – точка пересечения высот треугольника АВЕ. Перенос на вектор ВС отображает точки A и В соответственно на точки D и С, следовательно, при этом переносе прямая АН, проходящая через точку A и перпендикулярная ВЕ, отобразится напрямую, также перпендикулярную ВЕ и проходящую через точку D; аналогично прямая ВН, перпендикулярная АЕ, отобразится напрямую, перпендикулярную АЕ. Прямая ЕН параллельна вектору ВС , поэтому приданном параллельном переносе она отобразится самана себя, причем точка Н пересечения прямых АН, ВН, ЕН отобразится в точку пересечения Р образов этих прямых DK, CM, ЕН. Отсюда следует, что EН Р ∈ и ВС НР = , ат. к. АВ ВС ⊥ , то и АВ ЕР Замечание Точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника, называется ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри его ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла ор- тоцентр тупоугольного треугольника находится вне треугольника. задача 2. Даны окружность и две точки A, B, причем A – внутри вне окружности. Построить параллелограмм ABCD, две вершины Си которого лежат на данной окружности. Анализ Предположим, задача решена, параллелограмм ABCD удовлетворяет условию задачи. Определим положение вершин C, D. Для этого рассмотрим параллельный перенос на вектор AB . При указанном движении вершина D перейдет в вершину С, а окружность ( ) R O , , на которой лежит точка D , перейдет в окружность Рис. 1 A B C D M E K H ρ Рис. 1 13 Символически это можно записать следующим образом: ( ) ( ) → → R O Окр R O Окр C D T AB , , : 1 Но тогда по свойству движений вершина C будет лежать на Окр. ( ) R O , 1 . И т. к. точка C по условию принадлежит Окр. ( ) R O , , то C есть пересечение окружностей, те (см. рис. Вершину D можно получить из вершины C с помощью параллельного переноса на вектор BA , те. Построение 1) AB 2) Окр. ( ) R O , 1 ; ( ) ( ) ( ) R O Окр T R O Окр AB , , 1 = 3) C; ( ) ( ) R O Îêð R O Îêð Ñ , , 1 ∩ = 4) D; ( ) C T D BA = 5) ABCD – четырехугольник. доказательство Покажем, что построенный четырехугольник ABCD удовлетворяет условию задачи 1) По построению D C T BA → : , тогда по определению параллельного переноса BA CD = . И т. кто параллелограмма по построению б) взаимно свойству по – , , , построению по – : 1 R O Окр R O Окр D C T BA обратных преобразований. Но т. к. ( ) R O Îêð Ñ , 1 ∈ по построению, то по свойству движений Следовательно, ABCD – искомый параллелограмм. исследование 1) Задача имеет решение, если ( ) R O Îêð , и ( ) R O Îêð , 1 пересекаются или касаются (внешним образом, а это имеет место тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами не превосходит суммы радиусов этих окружностей, те Причем задача имеет два решения, если R AB 2 < и см. рис. 2.2), и одно решение, если R AB 2 < , но ( ) 1 OO A∈ (при этом получаются два равных параллелограмма, симметричных относительно ( Задача имеет одно решение, если R AB 2 = и см. рис. 2.3). 2) Задача не имеет решений, если R AB см. рис. 2.4) или если R AB 2 = и воспользуйтесь рис. Рис. 2.2 Рис. 2.3 Рис. 2.4 Рис. 2.1 Рис. Рис Рис Рис. 2.2 15 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Докажите, что многоугольник не может переходить сам в себя при параллельном переносе на ненулевой вектор 2. Определите, в каком случае композиция двух переносов есть тождественное преобразование. 3. На стороне угла, вершина О которого недоступна, дана точка М. Постройте отрезок, равный ОМ 4. Даны две параллельные прямые a и b. В каких преобразованиях переноса а) прямая a преобразуется впрямую б) прямая b преобразуется впрямую в) прямые a и b преобразуются каждая в себя 5. Точка М пересечения двух прямых a и b отображается в точку К, не принадлежащую данным прямым. Постройте образы прямых и b при параллельном переносе на вектор МК 6. Какими свойствами должны обладать а) два отрезка б) два луча в) две полуплоскости г) две окружности, чтобы одна из этих фигур отображалась на другую при параллельном переносе. Указать вектор переноса в каждом из этих случаев 7. Представьте данный параллельный перенос в виде композиции двух переносов на векторы, параллельные соответственно двум данным непараллельным прямым 8. Даны две пересекающиеся прямые a и b и вектор ñ . Найдите такие точки à À ∈ и b  ∈ , чтобы c AB r = 9. Найдите в треугольнике ABC такую точку O, чтобы композиция параллельных переносов ОА ОВ ОС Т Т Т o o была тождественным преобразованием Е 10. Даны две пересекающиеся прямые d 1 и d 2 . Постройте прямую а, параллельную третьей данной прямой d 3 так, чтобы данные две прямые d 1 и d 2 отсекали на прямой a отрезок, равный данному отрезку m. 11. Проведите в данной окружности хорду данной длины, параллельную данной прямой 12. Две равные окружности пересекаются в точках Ми К. Точки A и В этих окружностей принадлежат их линии центров и находятся водной полуплоскости с границей МК. Докажите, что сумма 2 2 AB MK + не зависит от расстояния между центрами окружностей. Указание рассмотреть перенос, переводящий одну из окружностей в другую 13. Две равные окружности касаются внешним образом в точке М. Хорды МА и МВ этих окружностей перпендикулярны. Найдите длину отрезка AB, если радиус окружности равен Ответ 2 r). 14. Дан квадрат ABCD и внутри его точка М. Докажите, что отрезки МА, МВ, MC и М могут быть сторонами четырехугольника с перпендикулярными диагоналями. 15. Точка Н – ортоцентр треугольника ABC, R – радиус описанной окружности. Докажите, что 2 2 2 4R СН АВ = + 16. Постройте трапецию по четырем ее сторонам 17. Постройте трапецию по боковым сторонам, разности оснований и одной диагонали 18. Постройте трапецию по разности оснований, диагонали и двум углам, прилежащим к одному основанию 19. По разные стороны от реки с параллельными берегами находятся пункты Аи В. Где нужно построить мост, чтобы путь из А в В был кратчайшим Указание рассмотреть перенос, совмещающий один берег с другим, в направлении, перпендикулярном берегам 20. Докажите, что сумма оснований трапеции меньше суммы ее диагоналей, но больше их разности 21. Докажите, что разность оснований трапеции больше разности боковых сторон, но меньше их суммы 22. Докажите, что если отрезок М, соединяющий середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD, равен полусумме сторон Си А, то стороны Си А параллельны. Указание построить ( ) D T D BC = 1 и доказать, что М – средняя линия треугольника 1 ABD ). 23. В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны AB и CD равны. Докажите, что прямые AB и CD образуют равные углы с прямой, соединяющей середины сторон Си АD. (Указание: пусть М – середина BC, N – середина А построить ( ) , 1 А Т А ВМ = ( ) D T D CM = 1 и доказать, что М – медиана треугольника МА 17 16 24. Из вершины В параллелограмма ABCD проведены две его высоты ВК и ВН. Известно, что КН = а, В = b. Найдите расстояние от точки В до точки пересечения высот треугольника ВКН. Ответ 2 2 a b − ). 25. Точки М, N, Р не лежат на одной прямой. Постройте параллелограмм, три вершины которого находятся в данных точках. Сколько решений имеет задача. ПОВОРОТ. Поворот вокруг точки Поворотом вокруг точки O на угол α называется преобразование плоскости, при котором точка O переходит в себя, а произвольная точка A, отличная от О, переходит в такую точку A 1 , что ОА 1 = ОА и ориентированный угол между лучами ОА и ОА 1 равен углу α. Точка O называется центром поворота угол α – углом поворота Поворотвокруг точки O на угол α обозначается Ясно, что всегда α α Î O R R = + 0 360 , поэтому обычно предполагается, что 0 0 360 0 < ≤ α либо 0 0 180 Свойства поворота 1. Поворот на нулевой угол есть тождественное преобразование Е 0 2. Преобразование, обратное повороту, есть поворот стем же центром на противоположный угол ( ) α α − − = O O R R 1 3. Композиция двух поворотов с одними тем же центром есть поворот стем же центром β α α β + = O O O R R R . В частности, если α + β = о или α + β = ото композиция есть тождественное преобразование 4. Композиция двух поворотов с различными центрами есть поворот (если α + β ≠ о и α + β ≠ о) либо параллельный перенос (если α + β = о или α + β = о 5. Поворот является движением первого рода 6. При повороте угол между произвольным лучом и его образом равен углу поворота. Доказательство свойства 6. В частном случае, когда начало данного луча совпадает с центром О поворота, это утверждение очевидно. Если начало луча k отлично от Ото из точки O проведем луч h, сонаправленный с лучом k (рис. 3). Так как любое движение переводит сонаправленные лучи в сонаправленные, то образы k' и h' лучей k и h тоже сонаправлены. Следовательно, угол между лучами k и k' равен углу между лучами h и h', те. равен углу поворота 7. Любой правильный угольник при повороте около его центра на угол n 0 360 = α отображается сам на себя. При решении задач методом поворота прежде всего нужно определить, какая из известных точек может быть центром по- ворота. Если в задаче рассматривается многоугольнику которого есть две равные смежные стороны и известен угол между ними, то за центр поворота можно взять общую вершину этих сторон (см. задачу. В некоторых случаях применяется поворот, при котором рассматриваемая или искомая фигура переходит сама в себя (см. задачу 2). Также, как и параллельный перенос, поворот может применяться в ситуациях, когда нужно сблизить разрозненные элементы фигур либо для построения общей точки данной фигуры и фигуры, полученной из другой данной фигуры с помощью поворота (см. задачу 3). A h O k A ' h ' k Рис. 3 19 задача 1. Точка В лежит между точками Аи СВ полуплоскости с границей АС построены правильные треугольники АВМ и ВСР. Точки К и Е – середины отрезков АР и MC соответственно. Докажите, что треугольник ВКЕ – правильный (рис. решение В данной задаче рассматриваются два равносторонних треугольника с общей вершиной В. Так как 60 0 = ∠ = ∠ МВА СВР , ВА = ВМ, ВР = BC, то нужно применить поворот с центром в точке В на угол о. Этот поворот отображает точки Ми Сна точки A и Р соответственно. Следовательно, ( ) AP MC R B = 0 60 . При повороте сохраняется отношение отрезков, поэтому середина Е отрезка MC отобразится все- редину К отрезка АР, следовательно, ВЕ = ВК и 0 60 = ∠ ЕВК Таким образом, в треугольнике ВКЕ угол ЕВК равен о, кроме того, стороны ВЕ и ВК равны, значит, треугольник ВКЕ – правильный. задача 2. В окружность с центром О вписаны два правильных, одинаково ориентированных треугольника ABC и А 1 В 1 С 1 рис. 5). Пусть А – точка пересечения BC и В 1 С 1 , В – точка пересечения АС и АСС точка пересечения AB и А 1 В 1 . Докажите, что треугольник А 2 В 2 С 2 – правильный. |