Адамчук-М.-С.-Чикишева-Л.-Г.-Преобразования-плоскости. Практикум по курсу геометрии мс. Адамчук, Л. Г. Чикишева. Южно сахалинск издво СахГУ, 2014. 88 с Практикум по курсу геометрии предназначен для изучения темы Геометрические преобразования, входящей в фгос
 Скачать 0.63 Mb.
|
|
теорема. Любое движение плоскости может быть получено с помощью не более чем трех осевых симметрий. Можно доказать, что движения первого рода получаются с помощью композиции двух осевых симметрий, а композиция трех осевых симметрий есть движение второго рода. задача 1. Точки Ми К симметричны вершине С треугольника ABC относительно прямых, содержащих биссектрисы его углов Аи В соответственно. Докажите, что точка Р касания вписанной в треугольник ABC окружности со стороной AB является серединой отрезка МК. решение: Пусть О – центр окружности, вписанной в треугольники Е – точки касания этой окружности со сторонами BC и АС соответственно (рис. 9). Прямая AO содержит биссектрису 35 угла ВАС и, следовательно, является осью симметрии угла ВАС и окружности. Значит, точки Е и Р симметричны относительно прямой AO, поэтому ( ) PM EC S AO = , те. ЕС = РМ. Аналогично точки D и Р симметричны относительно прямой ВО, следовательно, С = РК. Но ЕС = С (как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, поэтому РМ = ЕС = С = РК, то есть Р – середина отрезка МК. задача 2. Даны прямая , точка M и окружность γ по одну сторону от прямой . Найти на прямой такую точку P , чтобы сумма PK MP + , где PK – касательная к окружности γ, была наименьшей. Анализ Предположим, что задача решена и P – искомая точка на прямой, те наименьшая сумма, где PK – касательная к Окр. γ. Определим положение искомой точки P на прямой . Для этого рассмотрим осевую симметрию относительно оси (рис. тогда PM M P = ′ и сумма PK MP + = PK P M + ' – наименьшая (см. рис. 10.1). Но точки M ′ , K лежат по разные стороны отданной прямой , и значит, PK P M + ' – наименьшая сумма расстояний тогда и только тогда, когда точки M ′ , P, K лежат на одной прямой, где ( ) PK – касательная к окружности γ. Откуда следует, что P есть точка пересечения прямых и ( ) K M ′ , причем ( ) K M ′ – касательная к Окр. γ. II. Построение 1) M ′ ; ( ) M S M = ′ 2) ( ) K M ′ ; где ( ) K M ′ – касательная к Окр. γ; K – точка касания Окр. γ ирис Рис. 9 l K M O Рис. 10.1 l K M O Рис. 10.2 37 36 III. доказательство 1) Точки K, P, M ′ лежат на одной прямой по построению, следовательно, сумма расстояний M P KP ′ + – наименьшая из всех сумм расстояний M P KP ′ + для точек P прямой , лежащих между точками K и M. 2) построению по к. т. , , построению по Тогда M P PM ′ = , и значит, сумма PM PK + = M P KP ′ + – наименьшая 3) Прямая ( ) K M ′ – касательная к Окр. γ по построению, ( ) K M P ′ ∈ , следовательно, ( ) PK – касательная к Окр. γ в точке Итак, P – искомая точка на прямой IV. исследование По условию точка M не лежит на прямой , и окружность γ не имеет общих точек с прямой 1) Пусть M вне круга γ. Тогда задача всегда имеет два решения (см. рис. 10.2), т. к. Окр. γ и точка M ′ расположены по разные стороны от , а из точки вне окружности всегда можно провести две касательные к этой окружности 2) Пусть M лежит на Окр. γ. Тогда M и Окр. γ – по разные стороны от прямой , и значит, построение тоже и задача имеет 2 решения (см. рис. 10.3). 3) Пусть M лежит внутри круга γ см. рис. 10.4). Сделайте вывод самостоятельно. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Сколько осей симметрии имеют следующие фигуры а) пара пересекающихся прямых б) пара параллельных прямых в) пара точек г) точка и прямая д) ромб 2. Сколько осей симметрии имеют следующие фигуры а) окружность б) окружность и точка в) окружность и прямая г) две окружности 3. Сколькими парами соответствующих точек задается осевая симметрия 4. При каких условиях два луча будут симметричными друг другу относительно некоторой оси 5. Фигура состоит из нескольких прямых, пересекающихся водной точке. Как должны быть расположены эти прямые, чтобы фигура была симметрична относительно каждой из этих прямых 6. Определить вид четырехугольника, который имеет а) ровно одну ось симметрии б) ровно две оси симметрии в) более двух осей симметрии. Может ли четырехугольник иметь ровно три оси симметрии 7. Может ли пятиугольник иметь ровно две оси симметрии 8. Докажите, что в равнобедренной трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения про- должений боковых сторон лежат на одной прямой 9. Докажите, что композиция двух осевых симметрий с параллельными осями есть параллельный перенос 10. Докажите, что композиция двух осевых симметрий с пересекающимися осями есть поворот. В каком случае получится центральная симметрия 11. Докажите, что всякий перенос на ненулевой вектор можно представить композицией двух осевых симметрий с параллельными осями, перпендикулярными направлению переноса. Будет ли такое представление единственным 12. Докажите, что всякий поворот можно представить композицией двух осевых симметрий с осями, пересекающимися в центре поворота. Будет ли такое представление единственным 13. Представить данную центральную симметрию композицией двух осевых симметрий. Будет ли такое представление единственным Рис 10.3 l K M O Рис 10.4 39 38 14. Докажите, что композиция трех осевых симметрий, оси которых параллельны, есть осевая симметрия. Постройте ось этой симметрии 15. Докажите, что композиция трех осевых симметрий, оси которых пересекаются водной точке, есть осевая симметрия. Постройте ось этой симметрии 16. Известно, что правильный многоугольник симметричен относительно двух прямых, пересекающихся под углом о, и одна из его вершин принадлежит одной из этих прямых. Сколько сторон может иметь этот многоугольник 17. Даны две точки A и В и прямая l, пересекающая отрезок AB. Найдите на прямой l такую точку C, чтобы биссектриса угла АСВ принадлежала прямой l. 18. Через данную точку проведите прямую, пересекающую две данные непараллельные прямые под равными углами 19. Даны прямая l и две точки A и Вне принадлежащие прямой l. Постройте такую точку l Ñ ∈ , чтобы сумма длин отрезков АС и BC была наименьшей 20. На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника отложены равные отрезки AM и С. Докажите, что точка пересечения прямых CM и AN лежит на биссектрисе ВК треугольника. Даны прямая l и две точки A и В по одну сторону от нее. Найдите на прямой l такую точку C, чтобы периметр треугольника ABC был наименьшим 22. Докажите, что из всех треугольников сданным основанием и высотой равнобедренный имеет наименьший периметр 23. На прямоугольном бильярде даны два шара Ми. В каком направлении надо толкнуть шар М, чтобы он, отразившись отбор- тов AB и BC, попал в шар N ? Указание воспользоваться принципом угол падения равен углу отражения и рассмотреть композицию симметрий с осями AB и BC). 24. На плоскости даны две пересекающиеся прямые a и b и прямая. Постройте прямую, перпендикулярную l и пересекающую прямые a ив точках, равноудаленных от l. 25. Даны две окружности ω и ω 1 и прямая l. Постройте квадрат так, чтобы две его противоположные вершины лежали на данных окружностях, а две другие – на данной прямой 26. В четырехугольнике ABCD диагональ АС является биссектрисой угла ВАD и АD АВ ≠ . Постройте четырехугольник ABCD, если известны длины всех его сторон 27. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон 28. Точки М, N, Р не лежат на одной прямой. Постройте равнобедренную трапецию, три вершины которой находятся в данных точках. Сколько решений имеет задача 29. Две окружности с центрами О и О пересекаются в точках Аи В. Докажите, что прямая О 1 О 2 перпендикулярна к отрезку AB и делит его пополам 30. Докажите, что точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно прямых, содержащих стороны этого треугольника, лежат на описанной около треугольника окружности 31. Докажите, что если Н – ортоцентр треугольника ABC, то окружности, описанные около треугольников НАВ, НВС, НСА, равны. СКОЛЬЗЯЩАЯ СИММЕТРИЯ Скользящей симметрией называется композиция осевой симметрии и параллельного переноса à Ò , задаваемого вектором, параллельным оси симметрии l à . Скользящая симметрия с осью l и вектором à обозначается a l S , , таким образом, Скользящую симметрию называют также переносной симметрией. Свойства скользящей симметрии 1. Скользящая симметрия есть движение второго рода 2. Движение, обратное скользящей симметрии, есть скользящая симметрия стой же осью, нос противоположным вектором ( ) ( ) a l a l S S − − = , 1 , 3. Скользящая симметрия не имеет неподвижных точек. Ось – единственная инвариантная прямая скользящей симметрии 4. Ось скользящей симметрии делит пополам всякий отрезок, который соединяет точку, не принадлежащую оси, с ее образом 41 40 5. Вектор à скользящей симметрии определяется ортогональными проекциями В и В точки A и ее образа А на ось симметрии 1 ВВ а ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Докажите, что в скользящей симметрии осевая симметрия и параллельный перенос перестановочны. 2. Докажите, что композиция O l Z S есть скользящая симметрия, если l O ∉ 3. Определите, каким преобразованием является композиция O l Z S , если l O ∈ 4. Докажите, что композиция двух скользящих симметрий с параллельными осями есть параллельный перенос 5. Докажите, что композиция трех осевых симметрий с осями, не проходящими через одну точку, среди которых есть непарал- лельные, является скользящей симметрией 6. Даны два равных отрезка AB и А 1 В 1 . Построить ось и вектор скользящей симметрии, преобразующей А в А, В в В 7. Даны два равных отрезка AB и CD. Пусть → → , , : , D B C A S a l и → → , : , C B D A S b m Докажите, что а) оси этих скользящих симметрий перпендикулярны б) композиция этих скользящих симметрий есть центральная симметрия. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ. Основная теорема о задании движений Каковы бы ни были два ортонормированных репера R, R′, существует единственное движение f плоскости, переводящее репер R в репер R′. При этом точка ( ) y , x M в репере R переходит в точку ( ) y , x M ′ в репере Символическая запись { } 2 1 OE , OE , O R = , { } 2 1 E O , E O , O R ′ ′ ′ ′ ′ = ′ ′ → ′ → ′ → ′ → ′ → , , , , , : 2 2 1 или ( ) ( ) ′ → ′ → ′ → ′ → ′ → , , , , , , : y x M y x M j j i i O O R R f 5.2. Уравнение движения Основная теорема о задании движений позволяет получить уравнение движения плоскости. Пусть f – движение. Зададим на плоскости ПДСК. Возьмем произвольную точку M и подействуем на нее движением Рис. 11 2 E 1 E′ 2 E′ x j ( ) R y , x M i j ′ i ′ ( Рис. 11 43 42 ( Установим зависимость между координатами образа M и его прообраза – По основной теореме о задании движений движение f переводит репер R в равный ему репера точку Мху в точку Мху с теми же самыми координатами ) ( Задача составления уравнения движения f свелась к задаче установления зависимости между координатами одной и той же точки M ′ в старой R и новой R′ системах координат ( ( ) ( ) R R y x M y x M ′ ′ ′ ′ ′ , , , ( ) ( ) R R y x M y x M ′ ′ ′ ′ ′ , , , , см. рис. 12). При этом старые координаты выражаются через новые по формулам sin , sin cos 0 где ( ) R y , x O 0 0 ′ , ( ) i i ′ ∠ = ∠ , α , а 1 = ξ , если R и R′ ориентированы одинаково и 1 − = ξ , если R и R′ ориентированы противоположно. Таким образом 0 cos sin , sin cos y y x y x y x x α α α α – уравнение движения первого рода 0 cos sin , sin cos y y x y x y x x α α α α – уравнение движения второго рода, где матрицы − α α α α cos sin sin cos и − α α α α cos sin sin cos уравнений движений – ортогональные. В самом деле, 1 2 2 = + α α sin cos , а Имеет место и обратное утверждение. Если аналитическое выражение отображения f в ортонормированном репере имеет вид 2 2 0 1 где матрица 2 2 1 1 b a b a – ортогональная, то f – движение. При этом, если определитель ∆ матрицы равен единице, то f – движение первого рода, а если 1 − = ∆ , то f – движение второго рода. Вид движения определяется по количеству неподвижных точек см. таблицу нас Рис. 12 2 E 1 E′ 2 E′ x j ( ) y , x M i i ′ ( Рис. 12 45 44 5.3. Основные типовые задачи тип определить вид движения по его уравнению. указать элементы, его определяющие. задача 1. Показать, что отображение, заданное уравнением, является движением. Определить его вид и указать элементы, его определяющие 15 4 1 4 15 , 1 4 15 решение 1) − 4 1 4 15 4 15 4 1 – матрица уравнения отображения f является ортогональной, т. к 4 15 4 1 2 2 2 2 2 1 = − + = + a a , 1 4 1 4 15 2 2 2 2 2 1 = + = + b b , 0 4 1 4 15 4 15 4 1 2 2 1 1 = ⋅ − + ⋅ = + b a b a 1 16 15 16 1 4 1 4 15 4 15 Следовательно, отображение f является движением Iрода. Движ ения I рода вид движения количество неподвижных точек неподвижные прямые) Параллельные переносы Каждая точка плоскости Всякая прямая плоскости Нет неподвижных точек Прямые, параллельные) Повороты Каждая точка плоскости Всякая прямая плоскости Одна – центр поворота Нет неподвижных прямых (цент ра льные симмет рии) π α = Всяк ая прямая, проходящая через центр симметрии Движения рода вид движения количество неподвижных точек неподвижные прямые) Осевые симметрии Каждая точка оси симметрии Ось симметрии каждая прямая, перпендикулярная оси симметрии) Скользящие симметрии Нет неподвижных точек Ось симметрии) Определим его вид по количеству неподвижных точек. Пусть Мху неподвижная точка движения f , те одна неподвижная точка, следовательно, f – поворот 3) Укажем элементы, задающие поворот 15 7 ; 8 1 O – центр поворота. Угол поворота определяется по значениям функций 15 sin 4 1 cos α α , откуда угол α ∈ IV четверти 1 2 − = π α Таким образом, задача 2. Определить вид движения. Указать элементы, его определяющие 4 5 3 5 4 , 5 8 5 4 5 решение 1) 1 25 16 25 9 5 3 5 4 5 4 5 3 − = − − = − = ∆ f – движение II рода 2) Найдем неподвижные точки f − + = + + − = , 5 4 5 3 5 4 , 5 8 5 4 5 3 y x y y x x ⇔ = + + − = − − ⇔ , 0 4 2 4 , 0 8 4 8 y x y x ⇔ 0 Каждая точка прямой 0 2 2 : = − − y x является неподвижной. 3) S f = , где 0 задача 3. Указать элементы, определяющие движение Задать f конструктивно. |