|
|
Адамчук-М.-С.-Чикишева-Л.-Г.-Преобразования-плоскости. Практикум по курсу геометрии мс. Адамчук, Л. Г. Чикишева. Южно сахалинск издво СахГУ, 2014. 88 с Практикум по курсу геометрии предназначен для изучения темы Геометрические преобразования, входящей в фгос
Рис. 20
63 62 8) + − − = ′ + − = ′ 17 35 17 8 17 15 , 17 21 17 15 17 8 yxyyxx 9) − + = ′ + − = ′ 2 13 12 13 5 ,1 13 5 13 12 yxyyxx 2. Показать, что отображение f, заданное уравнением, является движением. Определить его вид. Задать конструктивно 1) + + − = ′ + + = ′ 5 4 3 2 3 5 ,1 3 5 3 2 yxyyxx 2) + − = ′ + + = ′ 2 3 1 3 8 ,1 3 8 3 1 yxyyxx 3) + + = ′ − + − = ′ 17 6 17 15 17 8 , 17 20 17 8 17 15 yxyyxx 4) + − = ′ − + = ′ 25 16 25 7 25 24 , 25 12 25 24 25 7 yxyyxx 5) + + = ′ + − = ′ 3 8 3 1 3 8 , 3 1 3 8 3 1 yõyyxx6) − = ′ − + = ′ 7 5 7 6 2 ,1 7 6 2 7 5 yxyyxx 7) + + − = ′ + + = ′ 7 4 3 4 7 ,1 4 7 4 3 yxyyxx 8) − − − = ′ − − = ′ 5 3 2 3 5 ,1 3 5 3 2 yxyyxx 3. Составить уравнение движения первого (второго) рода, заданного двумя парами соответствующих точек 1) ( ) 0 ;1 − A, ( ) 1 ; 2 B, ( ) 1 ; 1 1 A, ( ) 0 ; 4 1 B 2) ( ) 0 ; 0 A, ( ) 1 ;1 B, ( ) 8 ; 1 1 A, ( ) 9 ; 2 1 B 3) ( ) 1 ; 1 B, ( ) 3 ; 2 − − C, ( ) 9 ; 2 1 B, ( ) 6 ; 2 1 − C 4) ( ) 0 ; 0 A, ( ) 3 ; 2 − − C, ( ) 8 ; 1 1 A, ( ) 6 ; 2 1 − C 5) ( ) 3 ; 0 M, ( ) 1 ; 5 − N, ( ) 2 ; 1 1 − M, ( ) 3 ; 3 1 − N 6) ( ) 2 ; 1 M, ( ) 0 ; 1 − N, ( ) 5 ; 4 1 M, ( ) 3 ; 2 1 N 4. Составить уравнение скользящей симметрии, зная две пары соответствующих точек ( ) 3 ; 3 A и ( ) 5 ; 5 − ′ A, ( ) 2 ; 4 B и ( ) 4 ; 6 − ′ B 5. Составить уравнение поворота, при котором точки ( ) 0 ; 0 A, ( ) 3 ; 2 B переходят соответственно в точки ( ) 2 ; 1 A′ , ( ) 0 ; 4 B′ 6. Найти уравнение поворота с центром ( ) 1 ; 2 0 M, при котором точка ( ) 1 ; 1 A переходит в точку ′ 5 1 ; 5 7 A 7. Составить уравнение осевой симметрии относительно прямой a) 0 1 3 : = − + yx ; б) 0 1 2 3 = + − yx; в) 0 1 = + + yx; г) 0 1 2 = − x 8. Составить уравнение осевой симметрии, при которой прямая переходит впрямую, где 0 5 4 : = + − yx ; 0 8 4 : = − − ′ yx 9. Найти уравнение поворота вокруг точки ( ) 1 ; 1 − на угол ( ) 0 90 − 10. Составить уравнение поворота вокруг точки ( ) 2 ; 1 − на угол 3 π 11. Составить уравнение осевой симметрии, для которой 0 2 = − yx – инвариантная прямая, а ( ) 2 ; 2 – инвариантная точка 12. Составить уравнение скользящей симметрии, заданной осью 0 2 3 : = + − yx и вектором ( ) 2 , 6 p 13. Найти уравнение образа прямой 0 2 3 = + − yx при параллельном переносе, при котором точка ( ) 6 , 4 − A переходит в точку ( ) 7 , 7 − ′ A. Дать графическую иллюстрацию 14. Найти уравнение образа окружности ( ) 7 1 2 2 = + + yx при параллельном переносе, переводящем параболу 2 xy = в параболу ( ) 2 3 2 + − = xy
65 64 15. Найти координаты образа точки
(
)
3
,1 −
при параллельном переносе на вектор
a
, при котором прямая
0 1
=
−
+
y
x
инвариантна, а длина вектора
a
равна 2.
16. Найти уравнение прообраза прямой
0 1
7
:
=
−
+
y
x
m
при параллельном переносе, при котором прямая
0 3
4
:
=
+
y
x
c
инвариантна и прямая
0 1
:
=
+
+
y
x
d
переходит впрямую. Найти координаты образа точки
( )
0
;
0
M
при повороте с центром
( на угол 45°.
18. Составить уравнение образа окружности) (
)
4 2
1
:
2 при движении
f
, заданном уравнением
−
−
=
′
+
=
′
1 3
x
y
y
x
19. Определить координаты прообраза точки
(
)
2
;
3 −
A
при повороте, для которого точка
( )
0
;
0
O
инвариантна, а прямая
0 1
3
=
+
+
y
x
переходит впрямую. Найти координаты образа точки
( )
1
;
0
A
при осевой симметрии, при которой точка
(
)
6
;
4
−
M
переходит в точку Проиллюстрировать графически 21. Составить уравнение образа прямой
0 5
2
=
+
−
y
x
при осевой симметрии, при которой точка
( )
1
;
2
M ′
является образом точки
( )
1
;
0
M
. Дать графическую иллюстрацию 22. Найти уравнение образа окружности
1 2
2
=
+
y
x
при осевой симметрии, зная две инвариантные точки
( )
1
,1
A
и B
( )
3
,
2 23. Составить уравнение образа прямой
0 1
=
+
−
y
x
при осевой симметрии, при которой прямая
0 5
4
=
+
−
y
x
переходит впрямую. Ось симметрии
задана уравнением
0 2
=
+
−
y
x
. Написать уравнение прямой
m′
, симметричной данной прямой
0 1
2
:
=
+
−
y
x
m
относительно
. Проиллюстрировать графически. Найти образ прямой
0 2
3
:
=
−
+
y
x
m
при осевой симметрии относительно
0 3
2
:
=
+
−
y
x
26. Найти координаты образа точки
( )
1
,1
M
при скользящей симметрии, при которой точки
( )
0
,
0
O
и
( )
2
,1
A
переходят в точки и
( )
4
,
4
A′
27. Найти образ
ABC
∆
с вершинами
( )
2
,1
A
,
( )
4
,
5
B
,
(
)
2
,
3 при скользящей симметрии, заданной осью
0 1
2
:
=
+
+
y
x
и вектором. Найти координаты прообраза точки
( )
1
,
2
M
при скользящей симметрии, зная координаты ее вектора
( )
1
,1
a
и пару соответствующих точек
( )
1
,1
A
и
( )
5
,
3
A′
67 ЧАСТЬ ПОДОБИЯ ПЛОСКОСТИ Преобразование плоскости называется подобием (преобразованием подобия, если для любых двух точек Аи В плоскости и их образов Аи В1 имеет место соотношение ABkВА= 1 1 , где k – положительное число, называемое коэффициентом подобия. Подобие с коэффициентом k обозначается так Из определения следует а) преобразование, обратное преобразованию подобия
k
Ï
, есть подобие с коэффициентом, равным
k
1
; б) композиция двух преобразований подобия с коэффициентами и k
2 есть преобразование подобия с коэффициентом
k
k ⋅
2 1
. Следовательно, множество всех преобразований подобия плоскости образует группу. Группа движений плоскости есть подгруппа группы подобий плоскости.
Фигура F
1 называется подобной фигуре F (F
1
F), если существует подобие, отображающее F на Отношение фигур быть подобными обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, те. является отношением эквивалентности.
Любое движение является подобием при k = 1, поэтому равные фигуры подобны.
Свойства преобразований подобия 1. Подобие отображает точки, лежащие на одной прямой, в точки, также лежащие на одной прямой 2. Подобие отображает прямую напрямую, отрезок на отрезок, луч – на луч, полуплоскость – на полуплоскость 3. Подобие отображает параллельные прямые на параллельные прямые 4. Подобие отображает угол на равный ему угол 5. Подобие сохраняет отношение длин любых двух отрезков 6. При подобии многоугольник преобразуется в одноименный ему многоугольник, углы которого равны соответственно углам, а стороны пропорциональны сторонам исходного многоугольника.
Подобие плоскости, сохраняющее ориентацию треугольников, называется подобием первого рода. Подобие плоскости, изменяющее ориентацию треугольников на противоположную, называется подобием второго рода.
69 68 1. ГОМОТЕТИЯ ПЛОСКОСТИГомотетией с центром О и коэффициентом 0 ≠ m называется преобразование плоскости, при котором образом произвольной точки A является такая точка A1 , что OAmОА = 1 . Обозначение Из определения следует, что при m = 1 гомотетия есть тождественное преобразование при m = –1 гомотетия есть центральная симметрия. Свойства гомотетии 1. Гомотетия есть подобие с коэффициентом
m
k
=
2. Преобразование, обратное гомотетии, есть гомотетия стем же центром
( )
m
O
m
O
H
H
1 1
=
−
3. Точка и ее образ в данной гомотетии лежат на одной прямой с центром гомотетии 4. Центр – единственная неподвижная точка нетождественной гомотетии. Любая прямая, проходящая через центр гомотетии, является инвариантной прямой 5. Гомотетия с положительным коэффициентом отображает любой луч на сонаправленный ему луч гомотетия с отрицательным коэффициентом отображает любой луч на противоположно направленный ему луч 6. Гомотетия отображает любую прямую, не проходящую через центр, на параллельную ей прямую 7. Гомотетия не меняет ориентацию треугольников, то есть является подобием первого рода 8. Множество всех гомотетий с одними тем же центром есть абелева группа относительно композиции преобразований.
Можно доказать, что любое подобие плоскости
k
Ï
представляется в виде композиции гомотетии и некоторого движения f, причем О – произвольная точка плоскости, а
k
m
=
. Так как гомотетия это подобие первого рода, то род подобия
k
Ï
определяется родом движения Гомотетию можно графически задать 1) центром О и парой соответственных точек Аи А при условии, что точки O, Аи А лежат на одной прямой
2) двумя парами соответствующих точек Аи А, В и В при условии, что векторы
АВ
и
1 1
Â
À
коллинеарны, ноне равны.
Фигура F
1
называется гомотетичной фигуре F, если существует гомотетия, отображающая F на задача 1. Доказать, что в неравностороннем треугольнике ABC точка пересечения медиан М, ортоцентр К и центр О описанной окружности лежат на одной прямой, причем
ОМ
МK решение Пусть А
1
,
В
1
,
С
1
– середины сторон BC, АС и AB соответственно (рис. 21). Так как медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершин, то
,
5
,
0 МАМА 1
МВ
МВ
−
=
МС
МС
5
,
0 1
−
=
. Следовательно, гомотетия с центром Ми коэффициентом m = – 0,5 преобразует в Δ А
1
В
1
С
1
. Высоты треугольника А
1
В
1
С
1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника ABC, Рис. 21 О К Рис. 21
71 следовательно, точка O является ортоцентром треугольника А
1
В
1
С
1
и образом точки Кв данной гомотетии. Так как
O
K
H
M
→
−
:
5
,
0
, то
МК
МО
5
,
0
−
=
, откуда следует
ОМ
МK задача 2. Через точку внутри угла проведите прямую так, чтобы отрезок прямой, отсекаемый сторонами угла, делился этой точкой в отношении 1 : 2.
I. Анализ
Предположим, задача решена, отрезок
[ ]
N
N ′
прямой
удовлетворяет условию задачи, те угла BAC и
2
:
1
:
=
′
N
M
NM
. Определим положение точек
N
N ′
,
. Для этого рассмотрим гомотетию с центром M и коэффициентом Так как по условию
[
)
AB
N ∈
, то по свойству преобразований
[
)
B
A
N
′
′
∈
′
. Но по условию задачи
[
)
AC
N ∈
′
. Следовательно, точка есть пересечение лучей
[
)
B
A ′
′
и
[
)
AC
(см. рис. 22), точка N может быть получена из
N′
при обратном преобразовании, те. Построение 1)
[
)
B
A ′
′
;
[
)
[
)
′
′
→
′
→
−
,
:
2
B
A
AB
A
A
H
M
2)
N′
;
[
)
[
)
B
A
AC
N
′
′
∩
=
′
3)
N
;
( )
N
H
N
M
′
=
−
2 1
4)
(
)
=
′
N
N
;
[ ]
N
N ′
. (см. рис. 22)
III. доказательство 1) По построению точка
N′
лежит на стороне
[
)
AC
угла ВАС;
[
)
[
)
→
′
′
→
′
−
пре- обратных взаимно свойству по
–
,
построению по
:
AB
B
A
N
N
H
M
2 образований 2) Так как по построению
[
)
B
A
N
′
′
∈
′
, то по свойству преобразований) Имеем
N
N
H
M
→
′
−
:
2 1
, откуда по определению гомотетии
N
M
MN
′
−
=
2 1
, и значит,
MN
N
M
2
=
′
или Итак, прямая
, содержащая отрезок
[ ]
N
N ′
, является искомой. исследование
Задача всегда имеет единственное решение, если данный угол не является развернутым.
задача 3. Построить треугольник по периметру и двум его углам. Анализ
Два угла
β
α
,
треугольника определяют его форму, а периметр его размеры.
Легко построить
1 1
1
C
B
A
∆
, в котором
α
=
∠
1
A
,
β
=
∠
1
C
. Искомый треугольник гомотетичен вспомогательному. Гомотетия задается центром
1
B
и коэффициентом, где
1
P
P
=
κ
, P – периметр искомого треугольника,
1
P
– периметр вспомогательного
1 см. рис. 23.1).
A
1 С
B
1
b
1
a
1
c
1
β
A
A
'
N
'
N Рис. 22 Рис. Рис. 23.1
73 72 II. Построение 1)
1 1
1
C
B
A
∆
,
α
=
∠
1
A
, Обозначим
1 1
1
c
B
A
=
,
1 1
1
b
C
A
=
,
1 1
1
a
C
B
=
(см. рис. 23.2).
2)
P
;
P
разделим в отношении, равном отношению соответствующих сторон
1 1
1
C
B
A
∆
(см. рис. Если a, b, c – стороны искомого
C
AB
1
∆
, то
1 1
1
:
:
:
:
c
b
a
c
b
a
=
3) На
[
)
1 1
A
B
отложим
c
A
B
=
1
. На
[
)
1 1
C
B
отложим
a
C
B
=
1 4)
AC
B
1
∆
|
|
|
Скачать 0.63 Mb.