Адамчук-М.-С.-Чикишева-Л.-Г.-Преобразования-плоскости. Практикум по курсу геометрии мс. Адамчук, Л. Г. Чикишева. Южно сахалинск издво СахГУ, 2014. 88 с Практикум по курсу геометрии предназначен для изучения темы Геометрические преобразования, входящей в фгос

• Название: Практикум по курсу геометрии мс. Адамчук, Л. Г. Чикишева. Южно сахалинск издво СахГУ, 2014. 88 с Практикум по курсу геометрии предназначен для изучения темы Геометрические преобразования, входящей в фгос
• Дата: 15.05.2022
• Размер: 0.63 Mb.
• Имя файла: Адамчук-М.-С.-Чикишева-Л.-Г.-Преобразования-плоскости.pdf
• Тип: Практикум; #529890
• страница: 6 из 6

III. доказательство 1) По построению
κ
=
=
=
=
1 1
1 1
p
p
c
c
b
b
a
a
2)
C
AB
1
∆

1 1
1
C
B
A
∆
, т. к.
1
B
∠
– общий,
κ
=
=
⇔
=
1 1
1 1
1 1
1 1
a
a
c
c
C
B
C
B
A
B
A
B
– по построению. Тогда
α
=
∠
=
∠
1
A
A
,
β
=
∠
=
∠
1
B
B
и
1 1
1
b
AC
C
A
AC =
=
κ
, откуда
b
AC =
3) построению по Следовательно,
C
AB
1
∆
– искомый. исследование
Задача всегда имеет единственное решение, если ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Даны два отрезка AB и А
1
В
1
, лежащие на параллельных прямых и неравные друг другу. Докажите, что существует одна гомотетия, отображающая А на Аи В на В, и вторая гомотетия, отображающая А на В и В на А. Постройте центр каждой гомотетии и найдите их коэффициенты 2. Гомотетия задана двумя парами соответствующих точек Аи А, В и В. Постройте образ произвольной точки C при этой гомотетии, не находя центр гомотетии 3. Докажите, что два треугольника с соответственно параллельными сторонами гомотетичны или равны.
4. Постройте два квадрата так, чтобы один из них можно было отобразить на другой при помощи гомотетии. Сколькими гомо- тетиями это можно сделать 5. Докажите, что гомотетия отображает окружность на окружность. Докажите, что существуют две гомотетии, каждая из которых одну из двух неравных окружностей отображает на другую 7. Пусть ABCD – произвольный четырехугольник, М – любая точка плоскости, ММ, ММ точки, симметричные точке М относительно середин сторон AB, В, CD, А соответственно. Докажите, что М
1
М
2
М
3
М
4
– параллелограмм 8. Через точку касания двух окружностей проведены две произвольные прямые, которые пересекают эти окружности вторично в точках А, В и С, D, причем точки A и В лежат на одной окружности, Си на другой. Докажите, что прямые AB и CD параллельны.
A
1
α
Рис. 23.3
С
1
B
1
b
1
a
c
β
c
1
a
1
A
C
Рис. Рис. 23.2 Рис. 23.3

75 74 9. Через точку касания двух окружностей проведена секущая. Докажите, что касательные к этим окружностям в точках пересечения их с секущей параллельны.
10. Пусть А
1
,
В
1
,
С
1
– середины сторон BC, АС и AB соответственно треугольника АВC, а точки A
2
,
В
2
,
С
2
– образы вершин А, В, С при симметрии относительно произвольной точки Р плоскости. Докажите, что прямые А
1
А
2
,
В
1
В
2
,
С
1
С
2
пересекаются водной точке 11. Докажите, что середины сторон любой трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой 12. В трапеции ABCD с основаниями AB и CD диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что окружности, описанные около треугольников АВО и О, касаются в точке O.
13. Две окружности касаются друг друга в точке A, а общая касательная касается этих окружностей в точках В и С. Докажите, что угол ВАС – прямой 14. Две окружности касаются внутренним образом в точке A. Хорда MN большей окружности касается меньшей окружности в точке Р. Докажите, что луч АР – биссектриса угла А. Докажите аналогичную теорему для случая внешнего касания окружностей 15. Постройте прямую, параллельную основаниям данной трапеции, так, чтобы две образовавшиеся трапеции были гомотетичны.
16. На плоскости заданы две концентрические окружности. Проведите хорду в большей из них так, чтобы она делилась меньшей окружностью натри равные части 17. Дан острый угол АОВ и внутри его точка C. Найти на стороне
ОВ точку М, равноудаленную от стороны ОА и от точки C.
18. Постройте квадрат так, чтобы одна его сторона касалась данной окружности, а противоположная служила хордой этой окружности 19. В данный круговой сектор с углом, меньшим развернутого, вписать окружность, касающуюся боковых радиусов и дуги сектора 20. В данный треугольник впишите прямоугольник с отношением сторон 2 : 1.
21. В данный треугольник ABC впишите треугольник А
1
В
1
С
1
со сторонами, соответственно перпендикулярными сторонам треугольника. Постройте параллелограмм по стороне, отношению диагоналей и углу между диагоналями 23. Даны пересекающиеся прямые a и b и точка Мне принадлежащая им. Постройте окружность, касающуюся данных прямых и проходящую через данную точку. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
ГОМОТЕТИЙ И ПОДОБИЙ
задача 1. Составить уравнение гомотетии, заданной коэффициентом и центром
(
)
4
,
3
−
S
. Найти образ точки
(
)
6
,
5 −
A
, прообраз точки
(
)
4
,
12
−
′
B
. Дать графическую иллюстрацию.
решение: 1) Пусть гомотетия
2 1
−
S
H
произвольную точку
( )
y
x
M плоскости переводит в точку
(
)
y
x
M
′
′
′ ,
. Установим зависимость между координатами образа и прообраза )
(
)
y
x
M
y
x
M
H
S
′
′
′
→
−
,
,
:
2 1
, тогда по определению гомотетии
SM
M
S
2 Запишем это векторное равенство в координатах 2
1 Приравняем соответствующие координаты, получим 2
1 4
,
3 2
1 откуда

77 76





+
−
=
′
−
−
=
′
6 2
1
,
2 9
2 1
y
y
x
x
(*)
(*) – уравнение гомотетии 1
−
S
H
, где
(
)
4
,
3
−
S
2)
(
)
(
)
y
x
A
A
H
S
′
′
′
→
−
−
,
6
,
5
:
2 1
. По уравнению гомотетии найдем координаты
A′
:
( )





+
−
⋅
−
=
′
−
⋅
−
=
′
,
6 6
2 1
,
2 9
5 2
1
y
x
или Следовательно,
(
)
9 7,
A
−
′
3)
( )
(
)
4
,
12
,
:
2 Подставив координаты точки
B′
в уравнение (*), найдем



=
=
4 15
:
y
x
B
, те) Проиллюстрируем графически.
задача 2. Составить уравнение гомотетии с центром
(
)
2 1
, и коэффициентом
κ
, решение Возьмем произвольную точку плоскости
( )
y
x
M
,
, подействуем на нее гомотетией
κ
S
H
, получим точку
(
)
y
x
M
′
′
′ Выразим координаты образа
M ′
через координаты прообраза По определению гомотетии или
(
) (
)
2 1
2 Откуда
(
)
(
)



+
−
=
′
+
−
=
′
,
,
2 2
1 1
S
S
y
y
S
S
x
x
κ
κ
⇔
(
)
(
)



⋅
−
+
=
′
⋅
−
+
=
′
,
1
,
1 2
1
S
y
y
S
x
x
κ
κ
κ
κ
– уравнение гомотетии с центром
(
)
2 1
, S
S
S
и коэффициентом Частный случай Пусть центр гомотетии совпадает с началом О (0; 0) ПДСК. Тогда уравнение гомотетии примет вид:



=
′
=
′
,
y
y
x
x
κ
κ
Его называют каноническим уравнением гомотетии В заключение отметим, что формулы гомотетии в общем случае приводятся к виду



+
=
′
+
=
′
b
y
y
a
x
x
κ
κ
, где
κ
– коэффициент гомотетии. Центр гомотетии может быть найден как инвариантная точка гомотетии, те. из системы задача 3. Найти уравнение образа прямой
0 1
2
:
=
+
−
y
x
m
при гомотетии с коэффициентом
2
=
κ
, зная две инвариантные прямые гомотетии
0 5
:
=
−
+
y
x
a
и
0 2
2
:
=
+
−
y
x
b
. Дать графическую иллюстрацию.
решение:
1) По условию
a
и
b
– инвариантные прямые гомотетии, следовательно, каждая из них проходит через центр
S
гомотетии. Найдем
S
, решив совместно уравнения прямых
a
,
b
B'
x
y
B
S
A'
O
9
A
−6 5
15
−12
−7
−3 Рис. 24

79 78 0
12 3
0 3
3
,
0 2
2
)
2
(
,
0 5
=
+
−
=
−




=
+
−
−
⋅
=
−
+
y
x
y
x
y
x
⇔



=
=
4 1
y
x
,
( )
4
;
1
S
– центр гомотетии 2) Запишем уравнение гомотетии
2
S
H
(
)
(
)



⋅
−
+
=
′
⋅
−
+
=
′
,
4 2
1 2
,1 2
1 2
y
y
x
x
⇔



−
=
′
−
=
′
4 2
,
1 2
y
y
x
x
3) Найдем образ прямой
0 1
2
:
=
+
−
y
x
m
. Для этого из уравнения гомотетии
2
S
H
выразим координаты прообраза через координаты образа





+
=
+
′
=
2
'
2 1
,
2 1
2 Подставим их в уравнение прямой
m
, получим
0 1
2 2
1 2
2 1
2 1
=
+






+
′
⋅
−






+
′
y
x
⇔
0 2
5 2
1
=
−
′
−
′ y
x
⇔
⇔
0 5
2
=
−
′
−
′
y
x
– уравнение прямой
m′
4) Проиллюстрируем графически (см. рис. Задачу 3 можно решить другими способами. Укажем еще один способ.
2-й способ 1) Сначала также находим центр гомотетии
( )
4
,1
S
2) По условию имеем точку через проходит не к.
т.
,
где
,
прямая,
ая инвариантн к.
т.
,
:
2
S
m
m
m
m
m
а
a
a
H
S
Тогда гомотетия
2
S
H
точку M пересечения прямых
a
и
m
переводит в точку
m
a
M
′
∩
=
′
(см. рис. 25). Найдем эти точки a)
2
)
1
(
,
0 1
2
,
0 5
:
⋅
−
⋅




=
+
−
=
−
+
y
x
y
x
M
⇒
( )
2
;
3
M
0 9
3 0
6 3
=
−
=
−
x
y
б)
( откуда
SM
M
S
2
=
′
или
(
) (
)
2
;
2 или



−
=
−
′
=
−
′
,
4 4
,
4 1
y
x
и значит,



=
′
=
′
0
,
5
y
x
( )
0
;
5
M ′
3) Поскольку
m
m′
, то
m′
может быть задана уравнением
0 2
=
+
−
c
y
x
. Итак как
M ′
лежит на этой прямой, то Таким образом,
0 задача 4. Найти уравнение образа окружности
(
)
1 1
2 при гомотетии с коэффициентом
3
−
=
κ
, если точка является образом точки
( )
1
;
1
A
. Проиллюстрировать графически
y
M'
m
M
S
a
4 2
5
−1 −1
m'
1
b
O Рис. 25

81 решение) Найдем центр гомотетии
(
)
2 1
, По условию
( )
(
)
3
,
5
'
1
,1
:
3
−
→
−
A
A
H
s
, тогда
SA
A
S
3
−
=
′
или
(
)
(
)
2 1
2 1
1
;
1 3
3
;
5
S
S
S
S
−
−
−
=
−
−
−
, откуда



+
−
=
−
−
+
−
=
−
,
3 3
3
,
3 3
5 2
2 1
1
S
S
S
S
⇔



=
=
0
,
2 Точка
( )
0
,
2
S
– центр гомотетии 2) Запишем уравнение гомотетии
(
)
(
)



⋅
+
+
−
=
′
⋅
+
+
−
=
′
−
,
0 3
1 3
,
2 3
1 3
:
3
y
y
x
x
H
S
⇔



−
=
′
+
−
=
′
3
,
8 3
y
y
x
x
3) Чтобы найти уравнение образа данной окружности, достаточно определить образ центра этой окружности и радиус искомой окружности 1
−
O
– центр,
1
=
r
– радиус данной окружности Найдем
1
O′
,
R
а)
( )



⋅
−
=
′
+
−
⋅
−
=
′
′
,
0 3
,
8 1
3
:
1
y
x
O
откуда Точка
(
)
0
;
11 1
O′
– центр искомой окружности б) Очевидно, что В самом деле, если
1 1
=
= и
(
)
(
)
( )
( )



′
→
′
→
−
−
,
0
;
8 0
;
0
,
0
;
11 0
;
1
:
1 то
3 1
=
′
′
= Тогда
(
)
9 11 2
2
=
+
−
y
x
– уравнение окружности
(
)
R
O
,
1
′
4) Проиллюстрируем графически (см. рис. Задачу 4 можно решить другими способами.
Коротко остановимся на аналитическом представлении подобия. Отметим, что уравнения любого подобия в ПДСК имеют вид 0
y
ay
bx
y
x
by
ax
x
или



+
−
=
′
+
+
=
′
,
,
0 0
y
ay
bx
y
x
by
ax
x
где числа
a
и
b
одновременно неравны В этом случае коэффициент подобия
∆
=
κ
, где
∆
– определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных
x
ив формулах подобия.
задача 5. Представить подобие в виде композиции гомотетии и движения, указав вид движения 5
12
,
2 12 решение
1) Найдем коэффициент подобия
κ
:
∆
=
κ
, где
169 144 25 5
12 12 5
=
+
=
−
=
∆
13
=
κ
2) Любое подобие с коэффициентом
κ
можно представить в виде композиции гомотетии
H
стем же коэффициентом и любым центром и движения
f
. В качестве центра гомотетии возьмем точку
( )
0
;
0
O
, тогда уравнение гомотетии
13 0
H
будет иметь вид
A'
2 5
−3
x
y о
11 1
1
O'
S
1
O Рис. 26

83 82



=
′
=
′
y
y
x
x
13 13 3) Найдем уравнение движения
f
. Для этого прежде выразим движение через подобие и гомотетию. Умножим обе части равенства справа на
ê
Î
Í
1
:
(
)
к
к
H
H
f
H
1
O
O
1
O
⋅
⋅
=
⋅
Π
κ
κ
; получим
к
H
f
1
O
⋅
Π
=
κ
. В нашем случае
13 Пусть гомотетия
( О 1
, где





=
′
=
′
,
13 1
,
13 1
y
y
x
x
а подобие
(
)
(
)
y
x
M
y
x
M
′′
′′
′′
→
′
′
Π
;
;
:
κ
, где



−
′
+
′
=
′′
+
′
−
′
=
′′
1 5
12
,
2 12 Тогда
:
f
( и





−
⋅
+
⋅
=
′′
+
⋅
−
⋅
=
′′
,1 13 1
5 13 1
12
,
2 13 1
12 13 1
5
y
x
y
y
x
x
⇔
⇔





−
+
=
′′
+
−
=
′′
1 13 5
13 12
,
2 13 12 13 5
y
x
y
y
x
x
– уравнение движения Определим вид движения а)
1 169 144 169 25 13 5
13 12 13 12 13 5
=
+
=
−
=
∆
f
– движение I рода б)





−
+
=
+
−
=
,1 13 5
13 12
,
2 13 12 13 5
y
x
y
y
x
x
⇔
⇔
0 208 208 0
364 208 8
)
12
(
12 8
,
0 13 8
12
,
0 26 12 8
=
+
−
=
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅



=
−
−
=
−
+
y
x
y
x
y
x
⇔




=
=
1
,
4 Движение имеет одну неподвижную точку, следовательно, является поворотом с центром






1 4
7 ;
S
и углом
13 Таким образом, подобие, заданное уравнением



−
+
=
′
+
−
=
′
,
1 5
12
,
2 12 является композицией гомотетии



=
′
=
′
y
y
x
x
H
13
,
13
:
13 0
и поворота
α
S
R
c центром






1 4
7 ;
S
и углом
13 5
arccos
=
α
, заданного уравнением 13 15 13 12
'
,
2 13 12 13 5
'
y
x
y
y
x
x

85 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Найти координаты образа точки
(
)
4
,
2 −
M
при гомотетии с центром
(
)
2
,1 0
−
−
M
и коэффициентом
3
−
=
κ
2. Найти координаты образа точки
(
)
5
,
3 −
M
при гомотетии с центром
(
)
5
,
1 0
−
M
, при которой начало координат
( )
0
,
0
O
переходит в точку
(
)
20
,
4
−
A
3. Найти уравнение образа прямой
0 3
2
:
=
+
y
x
d
при гомотетии с центром
( )
2
,1 0
M
, при которой прямая
0 1
:
=
+
+
y
x
a
переходит впрямую. Дать графическую иллюстрацию 4. Найти уравнение прообраза прямой
0 1
3
:
=
+
−
y
x
d
при гомотетии, зная, что точки
( )
4
;
7
A′
и
(
)
0
;
11
B′
являются образами точек
( )
1
;
2
A
,
( )
0
;
3
B
. Дать графическую иллюстрацию 5. Найти образ точки
( )
3
;
5
M
при гомотетии с коэффициентом
2
−
=
κ
, зная две инвариантные прямые гомотетии 2
2
:
=
+
−
y
x
a
и
0 1
4
:
=
+
+
y
x
b
6. Найти прообраз точки
(
)
4
;
3 −
′
A
, образ точки
(
)
5
;
4
−
B
при гомотетии с коэффициентом
2
−
=
κ
, при которой прямые
0 6
2
:
=
+
−
y
x
a
и
0 30 переходят соответственно в прямые
0 2
:
=
−
′
y
x
a
и
0 Проиллюстрировать графически 7. Найти уравнение образа окружности
(
) (
)
4 1
3 при гомотетии с коэффициентом
3
=
κ
, если точка
(
)
3
;
2
−
′
A
является образом точки
( )
1
;
1
A
. Дать графическую иллюстрацию 8. Найти уравнение прообраза оси
OX
, прообраза оси при гомотетии с центром
( )
2
,1 0
M
, переводящей прямую
0 5
4 3
:
=
−
+
y
x
a
впрямую Дать графическую иллюстрацию 9. Какие изданных формул являются формулами подобия Найти коэффициенты заданных подобий 1)



−
+
=
′
+
−
=
′
;
7 3
5
,1 5
3
ó
õ
ó
ó
õ
õ
2)






+
=
′
+
=
′
;
9 2
1
,1 2
1
y
y
x
x
3)



−
+
=
′
−
+
=
′
;
9 6
4
,
7 4
6
y
x
y
y
x
x
4)



−
=
′
+
=
′
;
1 8
,
3 8
x
y
y
x
5)



+
=
′
−
−
=
′
;
2 3
,1 2
3
y
x
y
y
x
x
6)



−
=
′
+
−
=
′
;
3 2
,1 2
y
y
x
x
7)






+
−
=
′
+
+
=
′
;
4 2
1 3
,
2 3
2 1
y
x
y
y
x
x
8)



+
+
=
′
−
+
−
=
′
;
9 4
3
,1 3
4
y
x
y
y
x
x
9)



+
−
=
′
−
=
′
1 3
,1 3
x
y
y
y
x
10. Представить подобие, заданное уравнением, в виде композиции гомотетии и движения, указав вид движения 1)



−
+
=
′
+
−
=
′
;
7 3
4
,1 4
3
y
x
y
y
x
x
2)



+
+
=
′
−
+
−
=
′
;
9 4
3
,1 3
4
y
x
y
y
x
x
3)



+
−
=
′
+
+
=
′
;
3 4
2
,
5 2
4
y
x
y
y
x
x
4)





+
+
−
=
′
−
+
=
′
2 2
1 3
1
,
3 3
1 2
1
y
x
y
y
x
x
11. Представить подобие



+
−
=
′
−
+
=
′
y
x
y
y
x
x
4 3
,1 3
4
в виде композиции гомотетии и движения с общей инвариантной точкой 12. Каким преобразованием является композиция двух гомоте- тий с разными центрами и коэффициентами, равными
1
κ
и
2
κ
?

87 86 13. Найти образ прямой
0 3
2
:
=
−
+
y
x
a
при подобии, заданном уравнением





+
+
−
=
′
−
+
=
′
2 2
1 3
1
,
3 3
1 2
1
y
x
y
y
x
x
14. Составить уравнение образа окружности
(
)
9 1
2 при подобии, заданном уравнением



−
=
′
+
−
=
′
3 2
,1 2
y
y
x
x
Проиллюстрировать графически.
Литература
1. Атанасян, Л. С. Геометрия : в 2 ч. – Ч. 1 : учеб. пособие для студентов физмат. фак. пед. ин-тов / Л. С. Атанасян, ВТ. Базы- лев. – М. : Просвещение, 1986. – 336 с 2. Аргунов, Б. И. Преобразования плоскости : учеб. пособие для студентов-заочников педагогических институтов / Б. И. Аргунов. – М. : Просвещение, 1976. – 80 с 3. Гусева, НИ. Сборник задач по геометрии : в 2 ч. – Ч. 1 : учеб. пособие / НИ. Гусева, НС. Денисова, О. Ю. Тесля. – M. : КНОРУС,
2012. – 528 с 4. Понарин, Я. П. Перемещения и подобия плоскости : пособие для самообразования учителей / Я. П. Понарин, ЗА. Скопец. – К. :
Радянська школа, 1981. – 176 с.

Учебное издание
АдАМчук Маргарита Станиславовна
чикишевА Лариса Григорьевна
ПреобрАзовАния ПЛоСкоСти
Практикум по курсу геометрии
корректор М. Ф. Шатохина
верстка ОП. Резников
Подписано в печать 19.05.2014 г. Бумага Гарнитура «Times New Roman». Формат 60
×
84 Тираж 500 экз. (й завод 1–100 экз. Объем 5,5 усл. пл. Заказ № Издательство Сахалинского государственного университета, Южно-Сахалинск, ул. Ленина, 290, каб. Тел. [phone], факс [phone].
E-mail: [e-mail],
[e-mail]