маслов. Практикум предназначен для проведения лабораторных занятий и са мостоятельной работы студентов факультета Ф, обучающихся по спе циальности Ядерные реакторы и энергетические установки
 Скачать 1.6 Mb.
|
|
2.1.2. Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностной схемы При численном решении дифференциальных уравнений можно выделить следующие этапы: − замена исходной области непрерывного изменения перемен- ных пространственно-временной сеткой; − построение разностной схемы; − решение системы разностных уравнений. При построении разностной схемы необходимо обеспечить стремление сеточной функции разностного решения j n u к сеточной функции точного решения j n T при измельчении шагов по про- странственным и временной координатам. Погрешность j n ε раз- лична в разных узлах пространственно-временной сетки. Погреш- 34 ность во всей области t h ∆ Ω , характеризуют нормой погрешности j n ε : j n j n j n ε = ε , max . (2.13) Используя понятие нормы, сформулированное требование к разностной схеме, можно записать в виде 0 lim 0 , 0 = ε → → ∆ j n h t . (2.14) Условие (2.14) называется условием сходимости разностной схемы. Если при достаточно малых ∆t и h выполняется условие p r j n h С t С 2 1 + ∆ ≤ ε , (2.15) где С 1 ,С 2 – постоянные, не зависящие от ∆t и h, то говорят, что раз- ностная схема сходится со скоростью о(∆t r + h p ) или порядок точ- ностисхемы равен r по временной и р по пространственной пере- менной, т.е. понятие порядка точности характеризует асимптотиче- ское поведение погрешности при измельчении сетки. Уравнение (2.9) для сеточной функции точного решения j n T от- личается от разностного уравнения (2.10) для j n u на величины j n δ и j n γ , стремящиеся к нулю при 0 , 0 → → ∆ h t . Поэтому точные се- точные функции j n T в общем случае не удовлетворяют уравнениям для разностного решения и при подстановке j n T в эти уравнения возникает некоторая невязка j n ψ . Для разностного уравнения (2.10) эта невязка равна: 35 j n j n j n с λγ + δ ρ − = ψ . (2.16) Невязка j n ψ , которая возникает при подстановке сеточной функции точного решения в уравнение для разностного решения, называется погрешностью аппроксимации исходного дифференци- ального уравнения разностным уравнением. Эта невязка, как сле- дует из соотношений для j n δ и j n γ , стремится к нулю при измель- чении сетки: ) ( 2 h t о j n + ∆ = ψ Для характеристики погрешности аппроксимации всей разност- ной схемы вводят ее норму j n ψ , определяемую как и j n ε , из (2.13). Условиеаппроксимацииисходной дифференциальной задачи разностной схемой заключается в том, что погрешность аппрокси- мации должна стремиться к нулю при измельчении пространствен- но-временной сетки: 0 lim 0 , 0 = ψ → → ∆ j n h t . (2.17) Если ) ( p r j n h t о + ∆ = ψ , то говорят, что имеет место аппрокси- мация с порядком r по времени и р по пространственной координа- те. Стремление к нулю «отличительных членов» j n ψ при измельче- нии шагов пространственно-временной сетки позволяет надеяться на сходимость j n u к j n T . Однако это выполняется не всегда. Необ- ходимо, чтобы помимо аппроксимации выполнялось условие ус- тойчивости. 36 Понятие устойчивости связано с «поведением» погрешности j n ε при 0 , 0 → → ∆ h t . Рассматриваемая разностная задача решается последовательно во времени, причем решение на (j - 1)-м слое ис- пользуется для определения решения на j-м слое. Погрешность 1 n ε на первом временном слое уже будет отлична от нуля и будет зави- сеть 1 n ψ . На втором временном слое погрешность 2 n ε ,определяется погрешностью на предыдущем слое 1 n ε и погрешностью аппрокси- мации 2 n ψ . Происходит как бы «перенос» погрешности разностно- го решения с предыдущего шага на текущий и ее «взаимодействие» с погрешностью аппроксимации. Если схема не обладает устойчивостью, то при решении задачи в результате описанного процесса происходит увеличение погреш- ности j n ε по мере продвижения во времени. Появляется и развива- ется так называемая «раскачка» схемы, которая выражается в том, что погрешность увеличивается по модулю и меняет знак при пе- реходе от одного временного слоя к следующему. При измельчении сетки в случае неустойчивых схем погреш- ность не уменьшается, несмотря на уменьшение погрешности ап- проксимации j n ψ . Для устойчивых схем такого роста погрешности не происходит. Величина j n ε остается ограниченной и уменьшается при уменьшении погрешности аппроксимации j n ψ . Запишем условие устойчивости как условие выполнения нера- венства j n j n B ψ ≤ ε (2.18) при достаточно малых ∆t и h и постоянной В, не зависящей от ∆t и h. При более общей математической трактовке устойчивость рас- сматривается как свойство разностной схемы, заключающееся в том, что малым изменениям правых частей в системе алгебраиче- 37 ских уравнений разностной схемы соответствуют малые изменения разностного решения. Если условие (2.18) выполняется при любом соотношении меж- ду шагами ∆t и h, то схему называют безусловно устойчивой. Если устойчивость наблюдается лишь при условии выполнения опреде- ленного соотношения между шагами по пространственной коорди- нате и по времени, то схему называют условно устойчивой. Выполнение условий аппроксимации и устойчивости является необходимым и достаточным для сходимости. 2.2. Явная и неявная разностные схемы При аппроксимации производной по времени обычно исполь- зуют значения Т в j-й и (j - 1)-й моменты времени. Такие разност- ные схемы называются двухслойными. Пространственный дифференциальный оператор в двухслойных схемах также аппроксимируют на основе значений температуры в j-й и (j - 1)-й моменты времени. При этом наибольшее распростра- нение получили два «крайних» случая. В первом случае при ап- проксимации используются только значения температуры для ис- комого, текущего j-го момента времени: ( ) 2 1 1 2 2 / 2 h T T T x T j n j n j n − + + − ≈ ∂ ∂ , а во втором – только значения температуры для предыдущего мо- мента времени (j - 1): ( ) 2 1 1 1 1 1 2 2 / 2 h T T T x T j n j n j n − − − − + + − ≈ ∂ ∂ Соответственно получают два различных разностных уравне- ния, аппроксимирующие уравнение теплопроводности (2.1): 38 ( ) v j n j n j n j n j n q u u u h t u u с + + − λ = ∆ − ρ − + − 1 1 2 1 2 (2.19) и ( ) v j n j n j n j n j n q u u u h t u u с + + − λ = ∆ − ρ − − − − + − 1 1 1 1 1 2 1 2 . (2.20) Для граничных и начальных условий остаются выражения (2.11) и (2.12) соответственно. Записанные разностные уравнения аппроксимируют уравнение теплопроводности с порядком o(∆t + h 2 ) и граничные условия с по- рядком o(h). Уравнения (2.19) или (2.20) вместе с уравнениями (2.11) – (2.12) образуют разностные схемы, позволяющие найти сеточную функ- цию j n u . Однако между схемами, использующими уравнения (2.19) и (2.20), существует принципиальная разница. Уравнение (2.20) позволяет выразить в явном виде неизвестное значение j n u сеточной функции на «новом» временном слое j через известные значения сеточной функции на предыдущем (j - 1)-м слое: ( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 − − − − − + + ρ ∆ + + − ∆ = j n v j n j n j n j n u с t q u u u h t a u . (2.21) Разностная схема (2.21), (2.11), (2.12) называется явной, т.к. по- зволяет в явном виде выразить искомые значения сеточной функ- ции j n u через найденные ранее значения 1 − j n u . Алгоритм числен- ного расчета по явной схеме очень прост и легко программируется. В каждое уравнение вида (2.19) кроме неизвестного значения j n u для n-й пространственной точки входят еще два искомых зна- чения сеточной функции j n u 1 − и j n u 1 + для соседних (п – 1)-й и (п + 1)-й точек. Все искомые значения { } N n j n u 1 = оказываются «завязан- ными» друг с другом в общую систему уравнений. Эта система со- 39 стоит из (N – 2) уравнений (2.19) для внутренних узлов и двух уравнений (2.11), соответствующих граничным условиям. Всего имеем N уравнений относительно N неизвестных { } N n j n u 1 = .Таким образом, на каждом временном слое значения сеточной функции j n u определяются не по явным формулам, а из решения системы N уравнений, поэтому рассмотренная разностная схема называется неявной. При том же порядке аппроксимации явная схема требует суще- ственно меньших затрат, чем неявная на расчет одного шага по времени. Однако явная схема является условно устойчивой, т.е. устойчивой при определенном ограничении на величину шага по времени ∆t a h t t уст 2 / 2 = ∆ ≤ ∆ . (2.22) Из условия устойчивости следует, что измельчение пространст- венной сетки должно сопровождаться измельчением временной сетки. Это в ряде случаев приводит к неприемлемым затратам ма- шинного времени. Кроме того, при неоправданно большом числе временных шагов может начать проявляться погрешность округле- ния, возникающая в ЭВМ при реализации арифметических опера- ций. Неявная схема (2.19) – безусловно устойчивая, т.е. явление не- устойчивости не возникает при любых величинах ∆t. Поэтому при решении задачи по неявной схеме величину шага по времени зада- ют только из соображений обеспечения требуемой погрешности численного решения. Рассмотренному отличию в поведении решений, полученных по явной и неявной схемам, можно дать следующее физическое объ- яснение. При расчете по явной и неявной схемам предполагается, что функция меняется линейно на интервале [t j-1 , t j ]. Значение про- изводной по времени при явной схеме вычисляется по значениям искомой функции в начале временного интервала, поэтому прира- щение искомой функции ( j n u – 1 − j n u ) не зависит от получаемых 40 значений, а абсолютная величина этого приращения пропорцио- нальна шагу. В результате при некотором критическом шаге ∆t можно получить новые значения j n u противоречащие физическому смыслу задачи. В неявной схеме приращение ( j n u – 1 − j n u ) зависит от всех значений j n u на новом временном слое, т.е. имеется как бы «обратная связь», не позволяющая получать абсурдные прираще- ния сеточной функции. Можно построить разностную схему, являющуюся линейной комбинацией явной и неявной схем с весовыми коэффициентами σ и (1 – σ): ( ) ( ) λ + + − σ − + + − σ = ∆ − − − − − + − + − / 2 ) 1 ( 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 v j n j n j n j n j n j n j n j n q u u u h u u u h t u u a . (2.23) Эту схему называют схемой с весами. Схема (2.23) при σ ≠ 0 не- явная, так как содержит в правой части искомые значения j n u 1 + , j n u , j n u 1 − на новом временном слое. Схема с весами безусловно устойчива при σ≥ 1/2, а при σ < 1/2 условие устойчивости имеет вид )] 2 1 ( 2 /[ 2 σ − ≤ ∆ a h t . (2.24) Кроме предельных случаев явной (σ = 0) и чисто неявной (σ = 1) схем достаточно часто применяют схему с весом σ = 1/2, называе- мую схемой Кранка – Николсона. Эта схема имеет второй порядок аппроксимации по времени: ) ( 2 h t o j n + ∆ = ψ и является безусловно устойчивой. Недостатки схемы Кранка – Николсона будут рас- смотрены ниже. 41 2.3. Монотонность разностных схем К разностной схеме можно предъявить еще одно разумное тре- бование, выполнение которого обычно проверяют на практике. Чтобы его сформулировать, запишем разностное уравнение (2.23) в виде n j n n j n n j n n j n n j n n j n n g u f u e u d u c u a u b + + + + + = − − − + − − + 1 1 1 1 1 1 1 , (2.25) где коэффициенты имеют следующие значения: , ) 1 ( , ) 1 ( 2 1 , , 1 2 2 2 2 2 c q g h a f e h a t d h a c a t h a b v n n n n n n n ρ = σ − = = σ − − ∆ = σ = = ∆ + σ = (2.26) Разностное решение j n u должно правильно качественно отра- жать свойства точных решений. Из физических соображений выте- кает, что при прочих равных условиях увеличение любой темпера- туры, стоящей в правой части равенства (2.25), должно приводить к возрастанию значения j n u . Отсюда следует, что коэффициенты а п , с п , d n , e n , f n не должны принимать отрицательных значений, если b п > 0. В противном случае мы можем получить физически неправ- доподобные решения. Из (2.26) видно, что все коэффициенты, кроме d n , всегда поло- жительные. Условие положительности для d n имеет вид )] 1 ( 2 /[ 2 σ − ≤ ∆ a h t . (2.27) Для явной схемы (при σ = 0) условие (2.27) совпадает с услови- ем устойчивости (2.22). У чисто неявной схемы (при σ = 1) условие (2.27) переходит в d n = 1/∆t > 0 и выполняется всегда. Для абсо- лютно устойчивой схемы Кранка – Николсона (при σ = 1/2) из (2.27) вытекает ограничение на шаг по времени, обусловленное 42 требованием получения физически правдоподобных решений. Если не выполняется условие (2.27), то при моделировании процессов, для которых точные решения представляют собой монотонные по времени функции Т(х, t), могут получаться разностные решения, колеблющиеся по времени и по пространственной координате. Условие отсутствия колебаний разностного решения при моде- лировании процессов с монотонно изменяющейся искомой функ- ции называется условием монотонности разностной схемы. Таким образом, недостатком схемы Кранка – Николсона являет- ся отсутствие монотонности при превышении некоторой критиче- ской величины шага по времени. Отсутствие монотонности приве- дет к тому, что качественное поведение разностного решения мо- жет противоречить физическому смыслу, хотя количественно ве- личина погрешности разностного решения j n j n j n u T − = ε может быть и достаточно мала. |