Реброва ТПЭ. Программа для чтения pdfфайлов Adobe Acrobat Reader Редактор Н. И. Косенкова Техническая подготовка Т. И. Кукина Издание первое. Дата подписания к использованию 18. 03. 2016
 Скачать 1.31 Mb.
|
|
факторным пространством.Оно задается координатными ося- ми, по которым откладываются значения факторов и параметров оп- тимизации. Каждую конкретную комбинацию факторов можно рассматри- вать как точку в многомерном факторном пространстве. Область воз- можных комбинаций факторов, построенную в многомерном фактор- x 1min x 1max x 2max x 2min x 2 x 1 Поверхность отклика y x 1 x 1max x 1min x 2min x 2max x 2 Рис. 1.2. Область определения факторов. Поверхность отклика: границы совместимости факторов; границы определения факторов Си бА ДИ 11 ном пространстве, называют областью планов эксперимента. При планировании эксперимента с целью нахождения опти- мальных условий в качестве единственной выходной величины рас- сматривается критерий оптимальности (параметр оптимизации), зави- сящий от выходных параметров объекта. Эту функцию рассматрива- ют как отклик объекта на указанную комбинацию факторов и назы- вают функцией отклика. 1.5. Параметр оптимизации Выбор параметров оптимизации (критериев оптимизации) является одним из главных этапов работы на стадии предварительного изучения объекта исследования. Под параметром оптимизации понимают характеристику цели, заданную количественно. Параметр оптимизации является откликом на воздействие факторов, которые определяют поведение исследуемой системы. Каждый реальный объект может характеризоваться несколь- кими или одним параметром оптимизации. Параметр оптимизации необходимо выбирать с учетом комплекса требований. Он должен: быть количественным,т.е. иметь числовую оценку; обладать однозначностьюв статистическом смысле. Заданному набору значений факторов должно соответствовать одно значение пара- метра оптимизации, при этом обратное утверждение неверно: одному и тому же значению параметра могут соответствовать разные наборы зна- чений факторов; быть универсальными всесторонне отражать характеристики объекта, процесса, явления. Универсальными обычно являются эконо- мические и технико-экономические параметры (себестоимость, надеж- ность и др.); быть эффективнымкак с точки зрения достижения цели, так и в статистическом смысле. Если, например, за параметр оптимизации при- нять себестоимость восстановления детали, то он не будет характери- зовать надежность ее работы. Поэтому в качестве параметра оптимиза- ции целесообразно выбирать себестоимость при допустимой износо- стойкости или износостойкость при допустимой себестоимости. Стати- стически эффективным параметром оптимизации является тот, который имеет наименьшие ошибки измерений; Си бА ДИ 12 иметь ясный физический смысл. Это требование не только оп- ределяет цель исследования, но и облегчает интерпретацию полученных результатов эксперимента. Задачи с одним выходным параметром имеют очевидные пре- имущества. Но на практике чаще всего приходится учитывать несколько выходных параметров. Иногда их число довольно велико. Так, напри- мер, при производстве резиновых и пластмассовых изделий приходится учитывать физико-механические, технологические, экономические, ху- дожественно-эстетические и другие параметры. Математические модели можно построить для каждого из параметров, но одновременно оптими- зировать несколько функций невозможно. Обычно оптимизируется одна функция, наиболее важная с точки зрения исследования, из множества выходных параметров выбирается один в качестве параметра оптимизации, а остальные служат ограниче- ниями. Используя корреляционный анализ, исследуется также возмож- ность уменьшения числа выходных параметров. Кроме того, для выбора единого параметра оптимизации применяются математические преобра- зования, переход от нескольких параметров оптимизации к обобщенному. Пусть исследуемый объект характеризуют n частных откликов n u y u , , 2 , 1 ,каждый из этих откликов имеет свой физический смысл и чаще всего разную размерность и измеряется в N опытах. Тогда ui y – это значение u-гоотклика в i-мопыте N i , , 2 , 1 . Чтобы объеди- нить отклики, необходимо ввести для каждого из них некоторую безраз- мерную шкалу, которая должна быть однотипной для всех объединяемых откликов. Если каждому ui y присвоить только два значения: 0 – неудов- летворительный результат, 1 – удовлетворительный результат, то таким образом можно стандартизовать шкалу частных откликов. Обобщенный отклик в этом случае также должен принимать одно из этих двух воз- можных значений, причем так, чтобы значение 1 имело место, если все частные отклики в этом опыте приняли значение 1 и 0, если хотя бы один из откликов обратился в 0. Тогда для построения обобщенного отклика удобно воспользоваться формулой n n u ui i y Y 1 , (1.4) где i Y – обобщенный отклик в i-мопыте; П – произведение частных от- кликов ni i i y y y , , , 2 1 Если для каждого из частных откликов известен «идеал» 0 u y – наилучшее значение u-гоотклика, тогда модуль разности 0 u ui y y мож- Си бА ДИ 13 но рассматривать как некоторую меру близости к идеалу. Чтобы перей- ти к безразмерным значениям, достаточно модуль разности разделить на желаемое значение 0 0 / u u ui y y y . При совпадении с идеалом всех част- ных откликов в некотором опыте i Y равно нулю. Это и есть то значе- ние, к которому необходимо стремиться. Недостатком такой оценки является то, что все частные отклики входят в обобщенный отклик на равных правах. На практике же раз- личные показатели бывают далеко не равноправны. Устранить этот недостаток можно введением некоторого веса u a n u u u ui u i y y y a Y 1 2 0 0 , (1.5) причем 0 и 1 1 u n u u a a . Чтобы проранжировать отклики по степени важности и найти соответствующие веса, можно воспользоваться экс- пертными оценками. Вместо шкалы с двумя классами 0 и 1 можно, используя отно- шения предпочтения, получить более содержательную шкалу жела- тельности. Шкала желательности относится к психофизическим шка- лам. Ее назначение – установление соответствия между физическими и психологическими параметрами. Под физическими параметрами понимаются всевозможные отклики, характеризующие функциониро- вание исследуемого объекта, а под психологическими параметрами понимаются субъективные оценки экспериментатора желательности того или иного значения отклика. Чтобы получить шкалу желательно- сти, можно воспользоваться готовыми таблицами соответствия между отношениями предпочтения в эмпирической и числовой системах (табл. 1.1). В таблице представлены числа, соответствующие некото- рым точкам кривой (рис. 1.3), которая задается уравнением y d exp exp , где exp–принятое обозначение экспоненты. На оси ординат нанесены значения желательности, изменяющиеся от 0 до 1. По оси абсцисс указаны значения отклика, записанные в условном масштабе. Кривую желательности обычно используют как номограм- му. Границы допустимых значений для частных откликов могут быть односторонними в виде min y y ui и двусторонними в виде max min y y y ui , причем min y соответствует отметке на шкале жела- тельности 37 , 0 u d , значение max y устанавливается на основании сложившейся ситуации и опыта исследователя. Си бА ДИ 14 Таблица 1.1 Стандартные отметки на шкале желательности Желательность Отметки на шкале желательности Очень хорошо 1,00-0,80 Хорошо 0,80-0,63 Удовлетворительно 0,63-0,37 Плохо 0,37-0,20 Очень плохо 0,20-0,00 Преобразовав частные отклики в частные функции желательности, при- ступают к построению обобщенной функции желательности. Обобщают по формуле n n u ui i d D 1 , (1.6) где D i – обобщенная желательность; ui d –частные желательности. Способ задания обобщенной функ- ции желательности таков, что если хотя бы одна желательность 0 ui d , то обобщенная функция будет равна нулю. С другой стороны, D i = 1 только тогда, когда все 1 ui d Например,при установлении пригодности материала с данным набором свойств и в заданных условиях использования, если хотя бы один частный отклик не удовлетворяет требованиям, то материал считается непригодным. Если при определенных температурах мате- риал становится хрупким и разрушается, то, как бы ни были хороши другие свойства, этот материал не может быть применим по назначе- нию. Обобщенная функция желательности является количественным, однозначным, единым и универсальным показателем качества иссле- дуемого объекта и обладает такими свойствами, как адекватность, эффективность, статистическая чувствительность, и поэтому может использоваться в качестве критерия оптимизации. 0 0,5 1 d y Рис.1.3. Кривая желательности Си бА ДИ 15 Вопросы и задания для самоподготовки 1. Дайте определение эксперимента. 2. Какие вопросы решает планирование эксперимента? 3. Перечислите виды экспериментов по способу и условиям про- ведения, форме представления полученных результатов. 4. Дайте определение математической модели объекта исследо- вания. 5. Что называют факторами, областью определения факторов? 6. Что называют функцией отклика и поверхностью отклика? 7. Какие виды математических моделей используются при про- ведении экспериментальных исследований? 8. Перечислите этапы проведения экспериментальных исследо- ваний. 9. Перечислите основные задачи эксперимента. 10. Дайте определение параметра оптимизации. 11. Перечислите требования, предъявляемые к параметру опти- мизации. 12. Что называют обобщенным параметром оптимизации? 13. В каких случаях применяют шкалу желательности? 14. Изобразите кривую желательности. Возможно ли примене- ние кривой для определения обобщенного параметра оптимизации? 15. Требования, предъявляемые к факторам. 16. Что называют уровнями факторов и интервалом варьирова- ния факторов? 17. Какие ограничения необходимо учитывать при выборе ин- тервала варьирования? 18. Как зависит количество опытов в эксперименте от числа уровней факторов? 19. Дайте определение факторного пространства. Си бА ДИ 16 2. ПРОСТЫЕ СРАВНИВАЮЩИЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ 2.1. Предварительная обработка экспериментальных данных Предварительная обработка результатов измерений необходима для того, чтобы при построении эмпирических зависимостей с наи- большей эффективностью использовать статистические методы и корректно анализировать полученные результаты. Предварительная обработка результатов измерений включает: отсеивание грубых погрешностей (промахов); оценку достоверности результатов измерений; проверку соответствия результатов измерения нормальному закону и определение параметров этого распределения. Полный набор всех возможных значений, которые может при- нимать случайная величина в ходе эксперимента, называется гене- ральной совокупностью. Она может быть конечной и реально суще- ствующей или бесконечной, гипотетической. Генеральная совокуп- ность обладает некоторыми неслучайными свойствами, которые мо- гут быть выявлены в результате эксперимента. Поведение генеральной совокупности описывают функции рас- пределения плотности вероятности x p случайной величины (резуль- татов измерений). Однако реальное число n наблюдений физической величины всегда ограничено, поэтому результаты наблюдений допус- тимо считать величинами дискретными. Некоторый набор значений случайной величины n x x x x , , , , 3 2 1 называют выборкой. Число по- лученных экспериментальных результатов n называется объемом выборки. Основная задача математической статистики заключается в том, чтобы по результатам эксперимента (по данным выборки) выска- зать обоснованное суждение о свойствах генеральной совокупности. Выборка должна достаточно полно характеризовать генераль- ную совокупность, т.е. она должна быть представительной. Чтобы обеспечить представительность выборки, необходимо выполнить два важных условия: во-первых, все элементы генеральной совокупности должны появляться в выборке с одинаковой вероятностью; во- вторых, наблюдения должны быть независимыми, т.е. появление ка- ждого из элементов выборки не должно влиять на вероятность появ- ления других элементов. Так как элементы выборки случайные, все Си бА ДИ 17 заключения и результаты, полученные на основе выборочных данных, носят вероятностный характер. Выборка содержит лишь часть генеральной совокупности, по которой можно попытаться оценить числовые характеристики всей генеральной совокупности. Существует два типа оценок – точечные и интервальные. Под точечной оценкой понимается отдельное число, которое используется в качестве оценки параметра генеральной совокупности. Например, выборочное среднее n i i x n x 1 1 (2.1) есть точечная оценка математического ожидания 1 m , точечная оценка дисперсии 2 при известном математическом ожидании: n m x S n i i 1 2 1 2 ; (2.2) при неизвестном математическом ожидании: n i i x x n S 1 2 2 1 1 (2.3) Возможны различные оценки одной и той же числовой характе- ристики, например, для математического ожидания оценками могут служить выборочное среднее, выборочная медиана и т.п. Чтобы оце- нить качество оценки в статистическом анализе, рассматриваются че- тыре критерия: несмещенность. Оценка называется несмещенной, если все выборочные значения располагаются симметрично относительно ис- тинного значения оцениваемого параметра. Согласно центральной предельной теореме распределение выборочных средних является нормальным, а значит, симметричным; эффективность. Эффективная оценка обладает наименьшей дисперсией по сравнению с другими оценками данной числовой ха- рактеристики. Относительно выборочного среднего дисперсия обла- дает свойством минимальности; состоятельность. Говорят, что оценка истинного значения параметра является состоятельной, если по мере увеличения объема выборки ее значение приближается к истинному значению параметра; достаточность. Оценка является достаточной, если при ее вычислении используется вся содержащаяся в выборке информация. Си бА ДИ 18 Таким образом, выборочное среднее является наилучшей оцен- кой математического ожидания, так как она удовлетворяет всем че- тырем критериям. В качестве интервальной оценки используют доверительный интервал. Доверительный интервал – это отрезок, центром которого является точечная оценка числовой характеристики, включающий ис- тинное значение данной числовой характеристики с заданной вероят- ностью. Эта вероятность называется доверительной вероятностью. Таким образом, интервал является мерой точности оценки, а довери- тельная вероятность характеризует достоверность оценки. Размер до- верительного интервала зависит от того, каким значением довери- тельной вероятности задался экспериментатор. Чем выше довери- тельная вероятность, тем шире должен быть интервал, чтобы с задан- ной вероятностью включать в себя истинное значение числовой ха- рактеристики. Часто выбирают значение доверительной вероятности P=0,95, только иногда, в случае ответственных и очень ответственных исследований, полагают P=0,99 и 0,999 соответственно. Процедура построения доверительного интервала включает два этапа: записывается вероятностное утверждение относительно не- которой случайной функции, включающей в себя разность или отно- шение оценки числовой характеристики и ее истинного значения. Та- кая функция несет информацию о степени близости этих величин. Необходимо, чтобы закон распределения этой функции был известен; вероятностное утверждение преобразуется к виду, при кото- ром границы доверительного интервала числовой характеристики представлены в явном виде. Построим доверительный интервал для математического ожи- дания при известной дисперсии. Вероятностная функция в этом слу- чае имеет вид n m x t / 1 (2.4) и распределена нормально. При построении доверительного интерва- ла можно использовать соответствующую таблицу нормального рас- пределения либо таблицу распределения Стьюдента для определения значения t , такого, что за пределами – t и + t остается часть пло- щади, равная , тогда как в пределах [– t ,+ t ] заключена часть пло- щади, равная 1– (рис. 2.1). Си бА ДИ |