Реброва ТПЭ. Программа для чтения pdfфайлов Adobe Acrobat Reader Редактор Н. И. Косенкова Техническая подготовка Т. И. Кукина Издание первое. Дата подписания к использованию 18. 03. 2016
 Скачать 1.31 Mb.
|
|
Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)» Кафедра «Автоматизация производственных процессов и электротехника» И.А. Реброва ТЕОРИЯ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА Учебное пособие Омск 2016 Си бА ДИ УДК 681.5 ББК 32.965.5 Р31 Рецензенты: д-р техн. наук, проф. Н.С. Галдин (СибАДИ); канд. техн. наук, доц. Е.Ю. Андиева (ОмГТУ) Работа утверждена редакционно-издательским советом СибАДИ в качестве учебного пособия. Реброва, Ирина Анатолиевна. Р31 Теория планирования эксперимента [Электронный ресурс] :учебное пособие / И.А. Реброва. – Электрон. дан. − Омск : СибАДИ, 2016. – Режим доступа: http://bek.sibadi.org/fulltext/esd104.pdf , свободный после авторизации. – Загл. с экрана. ISBN 978-5-93204-895-5. Рассмотрены основные понятия теории эксперимента, задачи дисперсионного, корреляционного, регрессионного анализа и ме- тоды их решения, планирование и обработка результатов многофакторного эксперимента, планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. Имеет интерактивное оглавление в виде закладок. Предназначено для изучения дисциплин «Планирование эксперимента» и «Теория планирования эксперимента» магистрами и аспирантами всех направлений подготовки всех форм обучения. Текстовое (символьное) издание ( 1,5 МБ) Системные требования : Intel, 3,4 GHz ; 150 МБ ; Windows XP/Vista/7 ; DVD-ROM ; 1 ГБ свободного места на жестком диске ; программа для чтения pdf-файлов Adobe Acrobat Reader Редактор Н.И. Косенкова Техническая подготовка Т.И. Кукина Издание первое. Дата подписания к использованию 18.03.2016 Издательско-полиграфический центр СибАДИ. 644080, г. Омск, пр. Мира, 5 РИО ИПЦ СибАДИ. 644080, г. Омск, ул. 2-я Поселковая, 1 © ФГБОУ ВПО «СибАДИ», 2016 Согласно 436-ФЗ от 29.12.2010 «О защите детей от информации, причиняющей вред их здоровью и развитию» данная продукция маркировке не подлежит. СибАДИ 3 ВВЕДЕНИЕ Теория планирования эксперимента формулирует приемы и спо- собы оптимальной организации исследовательской работы. Изучение основ теории эксперимента и овладение практическими приемами ее использования повышают эффективность работы исследователя, по- зволяют с наименьшими затратами решать многие практически важ- ные исследовательские задачи: построение по опытным данным ма- тематической модели объектов, оптимизацию процессов, проверку различных предположений. В настоящее время обработка результатов инженерных экспе- риментов проводится с использованием специализированных пакетов компьютерных прикладных программ. Исследователю важно пра- вильно понимать область применения статистических методов реше- ния того или иного класса задач. Однако никакие возможности со- временного пользовательского интерфейса не освобождают исследо- вателя от необходимости изучения и понимания сути статистических методов, реализованных в таких системах. В учебном пособии изложены элементы теории планирования эксперимента, рассмотрены примеры решения типовых задач иссле- дования. Си бА ДИ 4 1. ЭКСПЕРИМЕНТ КАК ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ 1.1. Понятие эксперимента Экспериментом называют целенаправленное воздействие на объ- ект исследования с целью получения о нем достоверной информации. В науке эксперимент играет важную роль, являясь источником познания и критерием истинности теорий и гипотез. Объекты иссле- дования разнообразны, но методы экспериментальных исследований имеют много общего. Организация и проведение исследований обыч- но содержат следующие этапы: выбор плана проведения эксперимента; сокращение числа рассматриваемых переменных с целью уменьшения объема проводимых экспериментов; контроль хода эксперимента; исключение влияния случайных внешних воздействий; оценка точности средств измерений и точности результатов эксперимента; анализ и интерпретация полученных результатов. Работа экспериментатора зачастую бывает настолько непроду- манной и неорганизованной, что полученные результаты не оправды- вают затраченных на неё средств, поэтому вопросы организации экс- перимента, снижения затрат на его проведение и обработку результа- тов являются весьма актуальными. План эксперимента – совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов. Планированием эксперимента называется выбор плана экспе- римента, удовлетворяющего поставленным требованиям. Современные методы планирования эксперимента и обработки его результатов, разработанные на основе математической статистики и теории вероятностей, позволяют существенно сократить число не- обходимых для проведения опытов. Знание и использование этих ме- тодов делает работу экспериментатора целенаправленной и повышает надёжность получаемых им результатов. 1.2. Виды экспериментальных исследований Любой эксперимент предполагает проведение тех или иных опытов. Опыт – воспроизведение исследуемого явления в определённых условиях проведения эксперимента при возможности регистрации его результатов. Си бА ДИ 5 По цели проведения и форме представления полученных ре- зультатов различают качественные и количественные эксперименты. Качественный эксперимент устанавливает только сам факт су- ществования какого-либо явления, но при этом не даёт никаких коли- чественных характеристик объекта исследования. Результатом такого эксперимента является словесное описание объекта. Это не самый эффективный и информативный способ представления результатов эксперимента, поскольку не позволяет дать количественных рекомен- даций, проанализировать свойства объекта в различных условиях. Количественный эксперимент не только фиксирует факт суще- ствования того или иного явления, но и позволяет установить соот- ношения между количественными характеристиками явления и коли- чественными характеристиками способов внешнего воздействия на объект исследования. По способу проведения различают пассивные и активные экспери- менты. Пассивный эксперимент основан на регистрации входных и вы- ходных параметров, характеризующих объект исследования, без вмеша- тельства в эксперимент в процессе его проведения. Обработка экспери- ментальных данных осуществляется только после окончания экспери- мента. При использовании методов активного эксперимента математиче- ское описание строится в виде совокупности статических и динамиче- ских выходных характеристик объекта, которые регистрируются при подаче на его входы специальных возмущающих воздействий по заранее спланированной программе. К требованиям, предъявляемым при планировании активного эксперимента, относят степень точности и надёжности результатов, полученных после проведения эксперимента, сроки и средства, имеющиеся в распоряжении исследователя и др. По условиям проведения эксперименты делят на лабораторные и промышленные. В лабораторном эксперименте меньше влияние случайных по- грешностей, проще обеспечить запланированные условия проведения опытов, большая возможность варьировать входные переменные. В промышленных условиях усложняются измерения и сбор ин- формации, значительно большее влияние на объект исследования и средства измерений оказывают различного рода помехи, поэтому в промышленном эксперименте необходимо использовать специальные Си бА ДИ 6 статистические методы обработки результатов. Кроме того, на произ- водстве всегда желательно по возможно меньшему числу измерений получить наиболее достоверные результаты. 1.3. Математическая модель объекта исследования В общем виде объект исследования можно представить структур- ной схемой, приведенной на рис. 1.1. Состояние объекта исследования можно представить зависимостью Z U X f Y ; ; , (1.1) где k x x x X , , , 2 1 – независи- мые управляющие (входные) пере- менные, которые в процессе экспе- римента можно целенаправленно изменять (питающее напряжение, технологические режимы и т. п.); m u u u U , , , 2 1 – контролируе- мые возмущающие воздействия, которые не допускают целена- правленного изменения в ходе ис- следования (температура окру- жающей среды, освещение и т.п.); h z z z Z , , , 2 1 – неконтролируемые и неуправляемые возмущения, неизвестные исследователю, медленно изменяющиеся во времени случайным образом; n y y y Y , , , 2 1 – кон- тролируемые или вычисляемые параметры, характеризующие состояние объекта. Такое представление объекта (см. рис. 1.1) основано на широко ис- пользуемом в технике принципе «черного ящика», т.е. системы, структу- ра которой скрыта от наблюдателя, а суждение об ее функционировании создается только на основании внешних воздействий и ответствующих им реакциях системы. Следовательно, одной из основных задач экспери- мента является выявление взаимосвязей между входными и выходными параметрами объекта и представление их в количественной форме в виде математической модели. Такая модель является математическим ото- бражением наиболее существенных взаимосвязей между параметрами объекта. Она представляет собой совокупность уравнений, условий и ал- горитмических правил и позволяет получить информацию о процессах, протекающих в объекте, которая может быть использована для управле- u m u 2 u 1 y n y 2 y 1 x k x 2 x 1 Объект z 1 z 2 z h Рис.1.1. Структурная схема объекта исследования Си бА ДИ 7 ния моделируемым объектом с целью поиска оптимальных условий, а также анализировать и проектировать системы. В зависимости от источника информации, используемого при по- строении математической модели, различают физические(аналитиче- ские) и статистические(эмпирические) модели. Физические модели представляют в виде сложных систем уравне- ний (алгебраических, дифференциальных, интегральных или диффе- ренциально-интегральных), позволяющих очень точно описать процес- сы, протекающие в объекте, и допускающих экстраполяцию в точки факторного пространства, в которых невозможно непосредственное на- блюдение этих процессов. Статистические модели получают в результате статистической обработки экспериментальной информации, собранной об исследуемом объекте. Эти модели имеют относительно простую структуру и часто представляются в виде полиномов. Область их применения ограничива- ется ближайшей окрестностью рабочих точек, в которых проводятся эксперименты. Во многих случаях построение таких моделей можно выполнить при сравнительно небольших затратах времени и средств. Принято также различать стационарныеидинамическиемодели. Первые из них представляют не изменяющиеся во времени соотношения, вторые описывают переходные процессы, т.е. нестационарные состоя- ния. 1.4. Факторы Входные параметры, которые оказывают влияние на объект и мо- гут быть измерены, называют факторами. Так, например, при исследо- вании измерительного преобразователя с целью получения его матема- тической модели в качестве факторов могут выступать измеряемая ве- личина, температура окружающей среды, напряжение питания и т.п. Очевидно, что при планировании активного эксперимента факторы должны быть управляемыми и независимыми. Каждый фактор имеет область определения, которая должна быть установлена до проведения эксперимента. Она может быть непрерывной или дискретной, причем при непрерывной области обычно производят ее искусственную дискретизацию. Cчитают, что каждый из параметров может изменяться в некоторых пределах: ; , , 2 , 1 k i x x x iB i iH ; , , 2 , 1 m j u u u jB j jH (1.2) Си бА ДИ 8 h g z z z gB g gH , , 2 , 1 Выход хотя бы одного параметра за эти пределы приводит к нару- шению нормальной работы устройства (или нормального протекания процесса). Задача исследователя заключается в том, чтобы при фиксиро- ванных параметрах const g z и const j u выбрать такие значения var i x (такую рабочую точку в области работоспособности), при кото- рых выходной (или оптимизируемый) параметр объекта y достигает оп- тимальной величины. Другими словами, необходимо оптимизировать функцию const const; var; g j i z u x f y в области определения i x Фактор считается заданным, если вместе с его названием указы- вается область его определения. Под областью определения понима- ется совокупность всех значений, которые может принимать данный фактор. Область определения может быть непрерывной и дискретной. При планировании эксперимента значения факторов принимаются дискретными. В практических задачах области определения факторов имеют ограничения, которые носят либо принципиальный, либо тех- нический характер. Различают качественные и количественные факторы. Качест- венныефакторы рекомендуется учитывать на первой стадии экспери- мента (марка материала, тип оборудования и т.д.). Кколичественным относятся те факторы, которые можно измерять. При выборе факторов необходимо учитывать следующие требо- вания: управляемость. Под управляемостью понимается возмож- ность придавать фактору любой уровень в области его определения и поддерживать этот уровень постоянным в течение всего опыта; однозначность. Фактор не должен быть функцией других факторов. При планировании эксперимента обычно одновременно изме- няются несколько факторов. Поэтому существуют требования, предъ- являемые к совокупности факторов: совместность. Каждый фактор может быть установлен на любом уровне вне зависимости от значений уровней других факто- ров; независимость. Отсутствие корреляции между факторами (т.е. связь между факторами не должна быть линейной); точность.Степень точности определяется диапазоном изме- нения факторов. Си бА ДИ 9 При выборе области определения необходимо учитывать сле- дующие ограничения: o принципиальные ограничения для значений факторов, кото- рые не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах (напри- мер, минимальное температурное значение – абсолютный ноль); o технико-экономические ограничения (например, стоимость сырья); o ограничения, определяемые конкретными условиями прове- дения процесса (например, возможности средств измерения). Процедура выбора области эксперимента включает два этапа: выбор основного (нулевого) уровня; выбор интервала варьирования. Выбранные для эксперимента количественные или качествен- ные состояния фактора называются уровнями фактора. В качестве нулевой точки выбирают такое состояние объекта исследований, которое принимается за исходное при поиске оптиму- ма. Оптимизация связана с улучшением состояния объекта по сравне- нию с его состоянием в нулевой точке. Если проведению эксперимен- та предшествовали другие исследования в этой же области, то за ну- левую принимается точка, в которой параметр оптимизации имеет наилучшее значение, установленное в результате формализации ап- риорной информации. В этом случае нулевыми уровнями факторов являются те значения, сочетания которых соответствуют координатам нулевой точки. Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание – нижний уровни факторов. Дру- гими словами, интервал варьирования – это расстояние на координат- ной оси между основным (нулевым) и верхним уровнями или между основным и нижним уровнями. На выбор интервала варьирования накладываются ограничения: снизу он не может быть меньше ошибки фиксирования уров- ня фактора; сверху верхний или нижний уровень не должен выходить за область определения. Кроме того, чрезмерное увеличение величины интервалов варь- ирования нежелательно, т.к. это может привести к снижению эффек- тивности поиска оптимума. Очень малый интервал варьирования уменьшает область эксперимента, что замедляет поиск оптимума. Си бА ДИ 10 При выборе интервала варьирования целесообразно учитывать, если это возможно, число уровней варьирования факторов в области эксперимента. От числа уровней зависят объем эксперимента и эф- фективность оптимизации. Зависимость числа опытов от числа уровней факторов имеет вид k p N , (1.3) где N – число опытов; p – число уровней факторов; k – число факто- ров. В каждом отдельном случае число уровней выбирают с учетом условий задачи и предполагаемых методов планирования экспери- мента. Геометрической интерпретацией области определения факто- ров является поверхность отклика. В случае двух факторов имеем двухмерное пространство (рис. 1.2). Если факторы совместны, то гра- ницы образуют на плоскости некоторый прямоугольник. Для числа факторов более двух пространство многомерное и геометрическая на- глядность теряется. Пространство, в котором строится поверхность отклика, называ- ется |