Реброва ТПЭ. Программа для чтения pdfфайлов Adobe Acrobat Reader Редактор Н. И. Косенкова Техническая подготовка Т. И. Кукина Издание первое. Дата подписания к использованию 18. 03. 2016

• Название: Программа для чтения pdfфайлов Adobe Acrobat Reader Редактор Н. И. Косенкова Техническая подготовка Т. И. Кукина Издание первое. Дата подписания к использованию 18. 03. 2016
• Дата: 06.10.2021
• Размер: 1.31 Mb.
• Имя файла: Реброва ТПЭ.pdf
• Тип: Программа; #242678
• страница: 8 из 13

62
оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра плана и не зависит от направления.
4.2.3. Рандомизация опытов
Чтобы исключить влияние систематических погрешностей, вы- званных внешними условиями, применяется метод рандомизации
(random – случайный), который основан на принципе перевода систе- матических погрешностей в случайные. Уменьшение систематиче- ской погрешности достигается при изменении случайным образом методики и условий проведения опытов.
Например, если в плане эксперимента
3 2
предполагается каждое значение параметра оптимизации y определить по двум параллельным опытам, то всего необходимо 16 опытов. Для определения порядка проведения опытов можно воспользоваться таблицей случайных чи- сел (прил. 7). Выбранную случайным образом последовательность опытов не рекомендуется нарушать.
4.2.4. Проведение эксперимента
При проведении эксперимента для каждого принятого сочетания факторов измеряют значения параметра оптимизации. Следует учи- тывать, что результаты каждого опыта являются случайными величи- нами из-за погрешности измерений значений факторов, самого пара- метра оптимизации, влияния неучтенных факторов. Поэтому если воспроизвести несколько раз опыт при одних и тех же значениях фак- торов, то каждый раз значение параметра оптимизации будет разным.
Обычно стараются при каждом сочетании значений факторов (в каж- дой точке) провести несколько повторных опытов, которые называ- ются параллельными (дублированными). Дублирование позволяет проверить воспроизводимость эксперимента.
4.2.5. Проверка однородности дисперсии
параллельных опытов, воспроизводимости эксперимента
Проверка однородности дисперсии параллельных опытов про- водится с целью подтверждения нормального закона распределения ошибок отдельных опытов. В противном случае нельзя приступить к регрессионному анализу – расчету коэффициентов регрессии, провер-
Си бА
ДИ

63
ке их значимости и проверке адекватности математической модели экспериментальных данных.
Проверку однородности при одинаковом числе параллельных опытов проводят с помощью критерия Кохрена (G-критерий). Про- верка состоит в следующем:
 определяют дисперсию параллельных опытов







r
l
i
il
i
y
y
r
S
1 2
2 1
1
,
(4.8) где
N
i
,
,
2
,
1 

; r – число параллельных опытов, при однократных из- мерениях принимают
2

r
;
 вычисляют отношение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий (критерий Кохрена):



N
i
i
S
S
G
1 2
2
max
;
(4.9)
 определяют числа степеней свободы
1 1

 r
f
d
и
N
f
d

2
;
 выбирают уровень значимости;
 находят по таблицам критическое отклонение
T
G
(прил. 6);
 сравнивают величины G и
T
G . Если
Т
G
G 
, то дисперсия однородна.
Если эта проверка дала отрицательный результат, то получен- ный эмпирический материал использовать для аппроксимации функ- ции не рекомендуется. Следует повторить эксперимент, увеличив при этом число повторений для каждого опыта. В случае однородности дисперсий параллельных опытов рассчитывают дисперсию воспроиз- водимости и ошибку всего эксперимента.
Дисперсию всего эксперимента [дисперсию параметра оптими- зации
 
y
S
2
] получают в результате усреднения дисперсий всех опы- тов. Эта же дисперсия характеризует и воспроизводимость экспери- мента,
 
2 2
воспр
S
y
S

 






r
l
N
i
S
N
r
N
y
y
y
S
N
i
i
N
i
r
l
i
il
,
,
2
,
1
;
,
,
2
,
1 1
1 1
2 1 1 2
2







 



 
(4.10)
Формулой (4.10) можно пользоваться в случаях, когда число па- раллельных опытов одинаково во всей матрице. На практике часто приходится сталкиваться со случаями, когда число повторных опытов различно. Это происходит вследствие отброса грубых наблюдений,
Си бА
ДИ

64
неуверенности экспериментатора в правильности некоторых резуль- татов. Тогда пользуются средневзвешенным значением дисперсии, взятым с учетом числа степеней свободы:
 
,
1 1
2 2





N
i
i
N
i
i
i
f
S
f
y
S
(4.11) где
i
f – число степеней свободы в i-м опыте,
1


i
i
r
f
Ошибка всего эксперимента
 
 
y
S
y
S
2

(4.12)
4.2.6. Расчет коэффициентов регрессии, проверка их значимости
Значения коэффициентов регрессии
u
b
и
uj
b
позволяют оценить степень влияния факторов и их взаимодействий на параметр оптими- зации. Чем больше числовое значение коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор. Если коэффициент имеет знак «+», то с увеличением значения фактора параметр оптимизации увеличивается, а если «–» – уменьшается. Величина коэффициента соответствует вкладу данного фактора в величину параметра оптимизации при пе- реходе значения фактора с нулевого уровня на верхний или нижний.
Иногда оценивают линейный (главный) эффект фактора при переходе его значения с нижнего на верхний уровень. Численно он равен удво- енному коэффициенту полиномиальной модели
u
b
2


k
u
N
y
X
b
N
i
i
ui
u
,...,
2
,
1
,
0 1




(4.13)
Если уравнение регрессии имеет вид
2 2
1 1
0

X
b
X
b
b
y



,
(4.14) для подсчета коэффициента
1
b
используют столбец
1
X
, а для
2
b
–
2
X
табл. 4.5.
Если уравнение (4.14) справедливо, то оно верно и для средних арифметических значений переменных
2 2
1 1
0
X
b
X
b
b
y



. В силу свойства симметрии
0 2
1 0
b
y
X
X




,
0
b
– среднее арифметиче- ское значение параметра оптимизации. Чтобы привести процедуру расчета коэффициентов в соответствие с формулой (4.13), в матрицу
Си бА
ДИ

65
планирования (табл. 4.7) вводят столбец фиктивной переменной
0
X
, которая принимает во всех опытах значение +1.
Таблица 4.7
Матрица планирования ПФЭ
2
2
Номер опыта
X
0
X
1
X
2
y
1
+
–
–
y
1 2
+
+
–
y
2 3
+
–
+
y
3 4
+
+
+
y
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4
/
]
1 1
1 1
[
;
4
/
]
1 1
1 1
[
;
4
/
]
1 1
1 1
[
4 3
2 1
0 4
3 2
1 2
4 3
2 1
1
y
y
y
y
b
y
y
y
y
b
y
y
y
y
b
























(4.15)
Если есть основания считать, что модель нелинейна, то ее сле- дует усложнить. Один из часто встречающихся видов нелинейности связан с тем, что эффект одного фактора зависит от уровня, на кото- ром находится другой фактор. В этом случае говорят, что существует эффект взаимодействия двух факторов. ПФЭ позволяет количествен- но оценить эффект взаимодействия. Для этого необходимо, пользуясь правилом перемножения столбцов, получить столбец произведения двух факторов (табл. 4.8).
Модель для такого плана имеет вид
 
 
 
 
4
/
]
1 1
1 1
[
;

4 3
2 1
12 2
1 12 2
2 1
1 0
0
y
y
y
y
b
X
X
b
X
b
X
b
X
b
y












(4.16)
Таблица 4.8
Матрица планирования ПФЭ
2
2 с учетом взаимодействия факторов
Номер опыта
X
0
X
1
X
2
X
1
X
2
y
1
+
–
–
+
y
1 2
+
+
–
–
y
2 3
+
–
+
–
y
3 4
+
+
+
+
y
4
В ПФЭ встречаются различные уровни взаимодействия факто- ров. В табл. 4.9 представлены такие взаимодействия. Произведения
2 1
X
X
,
3 1
X
X
,
3 2
X
X
представляют эффект взаимодействия первого порядка,
3 2
1
X
X
X
– второго.
Си бА
ДИ

66
Таблица 4.9
Матрица планирования ПФЭ
3
2 с учетом взаимодействия факторов
Номер опыта
X
0
X
1
X
2
X
3
X
1
X
2
X
1
X
3
X
2
X
3
X
1
X
2
X
3
y
1
+
–
–
–
+
+
+
–
y
1 2
+
+
–
–
–
–
+
+
y
2 3
+
–
+
–
–
+
–
+
y
3 4
+
+
+
–
+
–
–
–
y
4 5
+
–
–
+
+
–
–
+
y
5 6
+
+
–
+
–
+
–
–
y
6 7
+
–
+
+
–
–
+
–
y
7 8
+
+
+
+
+
+
+
+
y
8
Чтобы найти число возможных взаимодействий некоторого по- рядка, можно воспользоваться обычной формулой числа сочетаний


,
!
!
!
m
k
m
k
C
m
k


(4.17) где k – число факторов; m – число элементов во взаимодействии. Так, для плана
4 2
число взаимодействий первого порядка равно 6:
6
!
2
!
2
!
4 2
4


C
Проверка значимости коэффициентов регрессии проводится с целью упрощения уравнения регрессии путем исключения статисти- чески незначимых коэффициентов. Проверку можно осуществлять двумя способами: по t-критерию Стьюдента или путем построения доверительного интервала. Для ПФЭ ошибки всех коэффициентов уравнения регрессии одинаковы
uj
u
b
b
b
S
S
S


0
, доверительные ин- тервалы для всех коэффициентов равны.
Расчет ошибок коэффициентов производится по формуле
 
Nr
y
S
S
b

(4.18)
Коэффициент регрессий считается значимым, если он по абсо- лютной величине больше величины доверительного интервала
b
b
u

 2
Величина доверительного интервала рассчитывается, как прави- ло, при помощи критерия Стьюдента
b
Т
S
t
b




(4.19)
Си бА
ДИ

67
Кроме того, проверять значимость коэффициентов можно по
t-критерию следующим образом:
 находят ошибки определения коэффициентов по формуле
(4.18);
 определяют отношения
 
b
S
b
t
u
u

;
(4.20)
 находят число степеней свободы


1


r
N
f
d
, выбирают уровень значимости

;
 по таблице находят критическое значение
T
t
;
 если рассчитанное значение отношения больше критического
Т
u
t
t 
, то коэффициент
u
b
признается статистически значимым, в противном случае – незначимым.
Незначимость коэффициентов может быть обусловлена рядом причин:
 фактор, соответствующий незначимому коэффициенту, не влияет на функцию отклика;
 имеет место большая ошибка;
 выбран малый шаг варьирования независимой переменной;
 экстремум функции по переменной находится вблизи центра планирования


u
u
dX
df
b
0
,
,
0
,
0
,
0


Если какой-либо коэффициент незначим, он отбрасывается без пересчета всех остальных коэффициентов. Прежде чем исключить ко- эффициент, необходимо проанализировать причины, вызвавшие не- значимость коэффициента.
4.2.7. Проверка адекватности модели
Данная проверка проводится с целью доказательства пригодно- сти полученного уравнения регрессии для описания эксперименталь- ных данных с заданной точностью. Для этого оценивают отклонения вычисленных по уравнениям регрессии значений функции оптимиза- ции y
от экспериментально установленных y . Для оценки отклоне- ний используют F-критерий Фишера.
Проверку адекватности математической модели выполняют в несколько этапов:
 находят дисперсию адекватности:
Си бА
ДИ

68







N
i
i
i
i
ад
y
y
r
g
N
S
1 2
2
,

1
(4.21) где
i
r
– число параллельных опытов в i-й строчке матрицы планиро- вания;
i
y
– среднее арифметическое функции отклика из
i
r
парал- лельных опытов;
i
y
– значение функции отклика, предсказанное по уравнению в i-м опыте; g – число значимых коэффициентов в уравне- нии регрессии; N – число независимых опытов. Если все опыты по- вторяются r раз, то формула (4.21) будет иметь вид







N
i
i
i
ад
y
y
g
N
r
S
1 2
2

;
(4.22)
 находят значения F-критерия Фишера (дисперсионное отно- шение):
 
y
S
S
S
S
F
ад
восп
ад
2 2
2 2


;
(4.23)
 определяют числа степеней свободы:
g
N
f
d


1
и


1 2


r
N
f
d
; выбирают уровень значимости  ;
 по значениям
1
. f
d
;
2
. f
d
;  находят критическое значе- ние
T
F
. Если
T
F
F 
, то математическое описание функции отклика уравнением регрессии считается адекватным.
Если математическая модель неадекватна данным эксперимента, то необходимо перейти к более сложной форме уравнения регрессии или уменьшить интервал варьирования факторов в эксперименте. На- пример, если неадекватна линейная модель, то следует ее дополнить, введя коэффициенты, соответствующие эффектам взаимодействия.
4.2.8. Пример применения планов первого порядка
полного факторного эксперимента
Пусть необходимо исследовать влияние параметров процесса сушки керамического порошка (шликера) на его влажность. Остаточ- ная влажность шликера после сушки должна находиться в определен- ных пределах, отклонение от которых приводит к ухудшению качест- ва керамических изделий. На основании результатов предыдущих ис- следований оказалось, что наиболее тесную связь с влажностью имеет температура отходящих при сушке газов, причем при увеличении влажности температура снижается, а при уменьшении влажности температура повышается. Поэтому в качестве результативного при-
Си бА
ДИ

69
знака выбрана температура отходящих при сушке газов. Варьируе- мыми факторами приняты: расход шликера m, расход газа v, давление в сушилке p (табл. 4.10).
Таблица 4.10
Выбор уровней факторов, кодирование факторов
Уровень варьируемых факторов
Кодовое обо- значение
m, т/ч
v,м
3
/ч
p, МПа
X
1
X
2
X
3
Нижний уровень
–1 1,25 0,76 0,13
Верхний уровень
+1 1,79 1,24 0,15
Основной уровень
0 1,52 1,00 0,14
Интервал варьирования
i
x

0,27 0,24 0,01
Для оценки влияния указанных факторов и математического описания процесса используем модель первого порядка







3 1
13 2
1 12 3
3 2
2 1
1 0

X
X
b
X
X
b
X
b
X
b
X
b
b
y
3 2
1 123 3
2 23
X
X
X
b
X
X
b


(4.24)
Матрица планирования ПФЭ
3 2
с учетом взаимодействия фак- торов представлена табл. 4.9. Для определения температуры отходя- щих при сушке газов планируется провести три параллельных опыта в каждой строке матрицы ПФЭ, всего 24. Рандомизацию опытов про- водим с помощью таблицы случайных чисел (см. прил. 7). Например, начиная со второго столбца таблицы, записываем числа с 1 до 24, от- брасывая больше 24 и повторяющиеся, тогда таблица проведения опытов имеет вид (табл. 4.11).
Таблица 4.11