Реброва ТПЭ. Программа для чтения pdfфайлов Adobe Acrobat Reader Редактор Н. И. Косенкова Техническая подготовка Т. И. Кукина Издание первое. Дата подписания к использованию 18. 03. 2016

• Название: Программа для чтения pdfфайлов Adobe Acrobat Reader Редактор Н. И. Косенкова Техническая подготовка Т. И. Кукина Издание первое. Дата подписания к использованию 18. 03. 2016
• Дата: 06.10.2021
• Размер: 1.31 Mb.
• Имя файла: Реброва ТПЭ.pdf
• Тип: Программа; #242678
• страница: 10 из 13

обобщаю-
щий определяющий контраст (ООК).
2 1
2 1
1 1
1 1
1



;
4 3
1 2
4 1
1
X
X
X
X



;
5 3
2 1
2 5
2 1
X
X
X
X
X 

Обобщающий ОК в данном случае имеет вид
5 4
2 5
3 2
1 4
3 1
1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X





(4.35)
Далее анализ смешивания оценок ведется на основе ООК (4.35).
Рассмотрим, например, какие эффекты смешиваются в коэффициенте
1
b
. Для этого все части (4.35) умножим на
1
X
, получим
5 4
2 1
5 3
2 4
3 1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X





Следовательно, коэффициент
1
b
является оценкой суммы
1245 235 34 1
1








b
Рассмотренный анализ проводится для того, чтобы не допустить нежелательных смешиваний. В частности, к большим искажениям может привести смешивание линейных эффектов и парных взаимо- действий, так как эти коэффициенты во многих случаях имеют один и тот же порядок. Желательно выбирать такие генераторы, в которых линейные эффекты смешиваются со взаимодействиями высоких по- рядков. Задача выбора подходящих генераторов не формализована и обычно решается перебором различных вариантов.
Обработка результатов ДФЭ аналогична обработке результатов
ПФЭ.
Си бА
ДИ

77
4.4. Применение плана первого порядка
дробного факторного эксперимента
для исследования технических устройств
Исследование технических объектов обычно связано с их мате- матическим описанием, которое позволяет выбрать структуру и пара- метры устройства на стадии разработки, а также организовать наибо- лее эффективные режимы функционирования в процессе эксплуата- ции.
Для ряда устройств построению эмпирической модели предше- ствует получение теоретической модели. Сравнение результатов экс- перимента с теоретической зависимостью позволяет объяснить смысл изучаемого явления и показать преимущества эксперимента.
В качестве примера рассмотрим усилитель с положительной и отрицательной обратными связями. Схема усилителя собрана на ин- тегральной микросхеме серии К140УД6 (рис. 4.3). Входной сигнал
ВХ
U
подается на инвертирующий вход. Отрицательная обратная связь создается с помощью сопротивлений
1
R
и
2
R
. Сопротивления
3
R
,
4
R
образуют положительную обратную связь, которая при определенных соотношениях между сопротивлениями повышает коэффициент уси- ления по напряжению схемы
ВХ
ВЫХ
U
U
U
K 
(4.36)
Задача исследования состоит в получении и анализе коэффициента усиления
U
K
как функции сопро- тивлений отрицательной и положи- тельной обратных связей. Необхо- димо также сравнить теоретическую и эмпирическую зависимости
U
K
от сопротивлений
1
R
,
2
R
,
3
R
,
4
R
При исследовании подобного устройства следует учитывать, что в зависимости от параметров отри- цательной и положительной обратных связей коэффициент усиления
U
K
изменяется в широких пределах, а при некоторых значениях со- противлений схема может оказаться неработоспособной.
Для решения поставленной задачи исследования получим теоре- тическую и эмпирическую модели усилителя, а затем сравним их.
I
3
I
1
U
ВЫХ
U
ВХ
3 2
1
R
4
R
3
R
2
R
1
Рис. 4.3. Усилитель с отрицательной и положительной обратными связями
Си бА
ДИ

78
4.4.1. Теоретическая модель усилителя
Для схемы, собранной на операционном усилителе, при выводе зависимости


4 3
2 1
,
,
,
R
R
R
R
f
K
U

принимаются следующие допуще- ния: коэффициент усиления в разомкнутом состоянии и его входное сопротивление бесконечно велики. Следовательно, потенциалы в точ- ках 1, 3 (см. рис. 4.3) одинаковы:
3 1



,
(4.37) а входной ток усилителя равен нулю.
На основании закона Ома можем записать уравнения
1 1
1
R
I
U
ВХ



;
(4.38)
3 3
3
R
I


(4.39)
Токи
1
I
,
3
I
также определяются на основе закона Ома:

 

2 1
1
R
R
U
U
I
ВЫХ
ВХ



;
(4.40)


4 3
3
R
R
U
I
ВЫХ


(4.41)
Подставляя в уравнения (4.38), (4.39) выражения для токов
(4.40), (4.41) с учетом соотношения (4.37), получаем уравнение, свя- зывающее выходное и входное напряжения:


ВЫХ
ВЫХ
ВХ
ВЫХ
U
R
R
R
U
U
R
R
R
U
4 3
3 2
1 1





(4.42)
После преобразования соотношения (4.42) получим формулу для коэффициента усиления

 

2 1
4 3
4 3
1
R
R
R
R
R
R
U
U
K
ВХ
ВЫХ
U




(4.43)
Выражение (4.43) является общим, так как из него могут быть получены известные соотношения коэффициентов усиления по на- пряжению для инвертирующего и неинвертирующего усилителей.
При


4
R
(разомкнута положительная обратная связь) находим ко- эффициент усиления для инвертирующего усилителя:
1 2
R
R
K
U



;
(4.44) при


2
R
(разомкнута отрицательная обратная связь) получаем ко- эффициент усиления для неинвертирующего усилителя:
3 4
1
R
R
K
U



(4.45)
Усилитель устойчиво работает при отрицательных значениях
U
K
, т.е. условие устойчивой работы определяется неравенством
4 3
2 1
R
R
R
R

(4.46)
Си бА
ДИ

79
Для повышения коэф- фициента усиления
U
K
жела- тельны малые значения зна- менателя формулы (4.43), но при этом необходимо учиты- вать, что под действием дес- табилизирующих факторов или стандартных отклонений параметров сопротивлений может нарушиться неравенст- во (4.46). На рис. 4.4 показана зависимость
U
K
от отноше- ний
4 3
R
R
при const
2 1

R
R
Коэффициент усиления при
4 3
2 1
R
R
R
R

(4.47) принимает неопределенное значение




, т.е. имеет место разрыв функции. В области, где
0

U
K
, с уменьшением отношения
4 3
R
R
абсолютная величина
U
K
уменьшается и при
0 4
3

R
R
модуль дос- тигает наименьшего значения, определяемого выражением (4.44). При
2 1
4 3
R
R
R
R

усилитель неработоспособен. Поэтому область иссле- дования задается неравенством (4.46).
4.4.2. Эмпирическая модель усилителя
В качестве выходной величины (отклика) примем коэффициент усиления по напряжению, в качестве факторов – сопротивления отри- цательной и положительной обратных связей
1
R
,
2
R
,
3
R
,
4
R
. Из дру- гих возможных факторов на коэффициент усиления
U
K
может оказы- вать влияние напряжение питания
15


E
В. Предварительный од- нофакторный эксперимент показал, что при отклонениях напряжения питания на
%
10

от номинального значения коэффициент усиления практически не изменяется.
Целью эксперимента является построение экспериментальной зависимости


4 3
2 1
,
,
,
R
R
R
R
f
K
U

. Получение такой зависимости дик- туется тем, что при построении теоретической зависимости (4.43)
R
3
/R
4
>R
1
/R
2
R
3
/R
4

1
/R
2
R
3
/R
4
=R
1
/R
2
R
3
/R
4
-R
2
/R
1 0
1
K
U
Рис.4.4. Зависимость коэффициента усиления по напряжению от параметров схемы
Си бА
ДИ

80
принималось допущение об идеальности операционного усилителя
К140УД6, на котором собран усилитель напряжения.
По результатам экспериментального исследования можно оце- нить, насколько реальный коэффициент усиления
U
K
отличается от теоретического и в каких пределах он будет изменяться при отклоне- нии факторов
1
R
,
2
R
,
3
R
,
4
R
от их номинальных значений.
В процессе эксперимента коэффициент усиления определяется как отношение выходного и входного напряжений по формуле (4.37).
Оба напряжения измеряются комбинированным цифровым прибором
Щ4310. Согласно паспортным данным основная относительная по- грешность
0

измерения постоянного напряжения определяется в процентах выражением

















1 5
,
0 5
,
0 0
X
N
U
U
,
(4.48) где
N
U
– предел измерения;
X
U
– измеренное значение.
Кроме основной, имеет место дополнительная погрешность, обусловленная отклонениями температуры и напряжения питания от номинальных значений. Дополнительная погрешность используемого прибора согласно паспортным данным может составлять
0 5
,
1 


Д
(4.49)
Таким образом, общая погрешность средства измерения
Д





0
(4.50)
Входное сопротивление
ВХ
R
прибора при измеряемых напряже- ниях 2мВ – 20В
100

ВХ
R
МОм. Входное напряжение постоянного тока
13

ВХ
U
мВ снимается с источника ВСП-50. Величины варьи- руемых сопротивлений устанавливаются с помощью измерительных магазинов сопротивления Р33 с погрешностью (%)



















1 10 6
2
,
0 6
X
N
R
R
R
,
(4.51) где
N
R
– наибольшее значение сопротивления магазина (100 кОм);
X
R
– номинальное значение включенного сопротивления.
Выбор интервалов варьирования и кодирование факторов. Ин- тервалы варьирования факторов определяются в предварительном эксперименте из условия существенного (на 30 – 40 %) изменения от- клика – коэффициента усиления. Заданное изменение отклика имеет
Си бА
ДИ

81
место при изменении сопротивлений примерно на 10 % от номиналь- ного значения. В качестве номиналов сопротивлений приняты их зна- чения, соответствующие
5
,
92


U
K
. Номинальные значения (основ- ные уровни) факторов и интервалы их варьирования представлены в табл. 4.17.
Таблица 4.17
Условия эксперимента
Уровень варьируемых факторов
Кодовое обозначение
R
1
, кОм
R
2
, кОм
R
3
, кОм R
4
, кОм
X
1
X
2
X
3
X
4
Нижний уровень
–1 9,5 470 9
1000
Верхний уровень
+1 10,5 530 11 1200
Основной уровень
0 10 500 10 1100
Интервал варьирова- ния
u
X

0,5 30 1
100
План и результаты эксперимента. В предварительном экспе- рименте выяснено, что взаимодействие факторов
4 3
1
X
X
X
, т.е. коэф- фициент
134
b
, является статистически незначимым. Поэтому в качест- ве плана эксперимента можно принять план ДФЭ
1 4
2

с генерирую- щим соотношением
4 3
1 2
X
X
X
X


. При этом определяющий кон- траст имеет вид
4 3
2 1
1
X
X
X
X


. Такой контраст обеспечивает сме- шивание линейных эффектов с эффектами тройных взаимодействий и парных взаимодействий между собой. Так как тройные взаимодейст- вия обычно статистически незначимы, то принимаемый ДФЭ
1 4
2

следует считать допустимым. План и результаты измерения отклика
ВХ
ВЫХ
u
U
U
y
K


представлены в табл. 4.18.
Обработка результатов ДФЭ
1 4
2

. Результаты эксперимента, т.е. значения коэффициента усиления, получены делением выходного напряжения (показания вольтметра) на входное напряжение
13

ВХ
U
мВ. Повторные измерения дают тот же результат, поэтому в каждой строке плана проводится одно измерение отклика. Дисперсию воспроизводимости в таком случае следует определять по метрологи- ческим характеристикам средства измерения. Основную и дополни- тельную погрешности измерения вольтметра Щ4310 определяем по формулам (4.48) – (4.50). В эксперименте выходное напряжение изме- рялось на пределе
2

N
U
В и составляло
5
,
1 1

ВЫХ
U
В. Следова-
Си бА
ДИ

82
тельно, основная относительная погрешность прибора
%
1 0



, до- полнительная
%
5
,
1 5
,
1 0





Д
, общая погрешность
%
5
,
2


Таблица 4.18
План и результаты ДФЭ
1
4
2

Номер опыта
X
0
X
1
X
2
X
3
X
4
X
1
X
3
X
2
X
3
X
3
X
4
y
y

y
y


1
+
–
+
–
–
+
–
+
110,0 110,7
-0,7 2
+
+
–
–
–
–
+
+
73,8 74,1
-0,3 3
+
–
–
+
–
–
–
–
107,6 107,7
-0,1 4
+
+
+
+
–
+
+
–
112,3 11,5 0,8 5
+
–
–
–
+
+
+
–
77,7 76,5 1,2 6
+
+
+
–
+
–
–
–
80,0 80,3
-0,3 7
+
–
+
+
+
–
+
+
113,8 113,9
-0,1 8
+
+
–
+
+
+
–
+
76,5 77,3
-0,8 9
–
0 0
0 0
0 0
0 91,5 94,0
-2,5
Абсолютная погрешность измерения
%
100
/
X
U
U



, где
X
U
– максимальное значение выходного напряжения. В нашем слу- чае
04
,
0


U
В. Для доверительной вероятности
95
,
0

Д
P
величина доверительного интервала
U
S
U
2


, где
U
S
– ошибка воспроизво- димости результата измерения выходного напряжения. Отсюда
02
,
0

U
S
В.
Коэффициент усиления определяется косвенным методом, по- этому среднее квадратическое отклонение результата измерения – ошибка эксперимента
 
y
S
– вычисляется по формуле
 
ВХ
U
ВЫХ
U
U
U
S
U
S
K
y
S


0 0
(4.52) и составляет
 
5
,
1

y
S
Значения коэффициентов уравнения регрессии






4 4
3 3
2 2
1 1
0

X
b
X
b
X
b
X
b
b
y
4 3
34 3
2 23 3
1 13
X
X
b
X
X
b
X
X
b




(4.53) вычисляются по формуле (4.13).
Расчеты дают следующие результаты:
44
,
0
;
44
,
0
;
15
,
0
;
0
,
7
;
6
,
8
;
1
,
10
;
2
,
8
;
94 34 23 13 4
3 2
1 0











b
b
b
b
b
b
b
b
Си бА
ДИ

83
Ошибка определения коэффициентов
u
b
вычисляется по форму- ле (4.18) и составляет
 
5
,
0 8
5
,
1



N
y
S
S
b
Для выявления значимости коэффициентов уравнения регрессии строим доверительный интервал шириной
86
,
1 5
,
0 86
,
1 2
2 2





b
T
S
t
b

Табличное значение t-критерия Стьюдента определяем для уровня значимости
05
,
0


и числа степеней свободы
8

 N
f
d
Коэффициенты, характеризующие взаимодействие факторов, оказались статистически незначимыми, поэтому уравнение регрессии имеет вид
4 3
2 1
7 6
,
8 1
,
10 2
,
8 94

X
X
X
X
y





(4.54)
Из уравнения (4.54) видно, что коэффициент усиления убывает с увеличением сопротивлений
1
R
,
4
R
и возрастает с увеличением
2
R
,
3
R
, что согласуется с теоретической формулой (4.43).
Проверим адекватность полученной математической модели
(4.54) экспериментальным данным. Расчетные значения y
и разности
y
y


приведены в табл. 4.16. Дисперсия адекватности (4.22)


85
,
0

4 8
1 2
2 1






N
i
i
i
ад
y
y
S
; дисперсия воспроизводимости
 
25
,
2 5
,
1 2
2


y
S
; т.к. числовое значение дисперсии воспроизводимости больше число- вого значения дисперсии адекватности, расчетное значение критерия
Фишера определяется по формуле
 
647
,
2 85
,
0 25
,
2 2
2



ад
S
y
S
F
Для
4 4
8 1



f
d
;
8 2

f
d
и
05
,
0


критическое значение
838
,
3

T
F
. Так как
T
F
F 
, то уравнение (4.54) адекватно описывает функцию отклика.
По полученной модели могут быть вычислены коэффициенты влияния (чувствительности) факторов на коэффициент усиления и определены числовые характеристики
U
K
как случайной величины в зависимости от разброса сопротивлений резисторов. Для этого в уравнении (4.54) необходимо перейти от кодированных факторов к физическим переменным. Тогда
Си бА
ДИ