Реброва ТПЭ. Программа для чтения pdfфайлов Adobe Acrobat Reader Редактор Н. И. Косенкова Техническая подготовка Т. И. Кукина Издание первое. Дата подписания к использованию 18. 03. 2016
 Скачать 1.31 Mb.
|
1. Как зависит число опытов от вида принимаемой математиче- ской модели? 2. Чем можно объяснить широкое распространение полиноми- альных моделей? 3. Дайте определение полного факторного эксперимента. 4. Что характеризуют -коэффициенты? 5. Перечислите этапы планирования и реализации полного фак- торного эксперимента. 6. Что называют кодированием факторов? Зачем его проводят? 7. Геометрическое представление планов типа k 2 . Постройте область варьирования факторов для плана 2 2 . 8. Как происходит формирования матрицы планирования экс- периментов? Постройте матрицу планирования для планов 4 3 2 2 ; 2 ; 2 . 9. Перечислите свойства матрицы планирования полного фак- торного эксперимента. 10. Что называют рандомизацией опытов? Зачем ее проводят? 11. Какие опыты называют параллельными? 12. Как и для чего проводится проверка однородности дисперсии параллельных опытов? 13. Что означает понятие воспроизводимости эксперимента? 14. Как оценить ошибку эксперимента? 15. Какой метод применяется при расчете коэффициентов урав- нения регрессии? Запишите формулу расчета b-коэффициентов. Си бА ДИ 92 16. Что называют взаимодействием факторов и как оно учитыва- ется при планировании полного факторного эксперимента? 17. Что называют взаимодействием первого, второго, третьего и т.д. порядка? Как определяется число возможных взаимодействий факторов? 18. Какие существуют способы проверки значимости b-коэффициентов? 19. Чем может быть обусловлена незначимость коэффициентов уравнения регрессии? 20. Как и для чего проводится проверка адекватности уравнения регрессии? 21. Что называют дробным факторным экспериментом? 22. Дайте определение дробной реплики полного факторного эксперимента. 23. Порядок планирования дробного факторного эксперимента. 24. Какие планы называют насыщенными? 25. Явление смешивания оценок -коэффициентов в дробном факторном эксперименте. 26. Что называют генерирующим соотношением и определяю- щим контрастом? 27. Ортогональные и ротатабельные планы второго порядка. 28. Определение звёздных плеч и количества опытов в центре планов второго порядка. 29. Определение коэффициентов уравнения регрессии и провер- ка их значимости в ортогональных и ротатабельных планах. 30. Оценка адекватности модели, построенной с помощью пла- нов второго порядка. 5. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ПРИ ПОИСКЕ ОПТИМАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ Во многих случаях инженерной практики перед исследователем возникает задача не только выявления характера связи между двумя или несколькими рядами наблюдений, но и нахождения таких чис- ленных значений факторов, при которых отклик достигает своего экс- тремального значения (максимума или минимума). Эксперимент, ре- шающий эту задачу, называется экстремальным. В этом случае задача сводится к оптимизационной и формулируется следующим образом: требуется определить такие координаты экстремальной точки Си бА ДИ 93 (х 1 * ,х 2 * ,…,х к * ) поверхности отклика k x x x f y ,..., , 2 1 , в которой она максимальна (минимальна). Графическая интерпретация задачи оптимизации объекта 2 1 , x x f y представлена на рис. 5.1. Здесь точка А соответствует оптимальным значениям факторов х 1 * и х 2 * , обеспечивающих макси- мум функции отклика y max . Замкнутые линии на рис. 5.1 характеризу- ют линии постоянного уровня и описываются уравнением const , 2 1 B x x f y Поисковые методы оп- тимальных значений относят- ся к классу итерационных процедур, при этом весь про- цесс разбивается на шаги, на каждом шаге проводится ряд опытов и определяется, каким образом нужно изменить факторы, влияющие на про- цесс, чтобы получить улуч- шение результата. При этом на каждом очередном шаге получаемая информация ис- пользуется для выбора после- дующего шага. Разработано множество методов пошаговой оптими- зации, которые подробно рас- сматриваются в разделе вы- числительной математики – «Численные методы оптими- зации». Рассмотрим некото- рые из них, эффективность использования которых в эксперименте подтверждена практикой. 5.1. Метод покоординатной оптимизации Иллюстрация метода покоординатной оптимизации приведена на рис. 5.2. Выбирается произвольная точка М 0 и определяются её ко- ординаты. Поиск оптимума осуществляется поочерёдным варьирова- нием каждого из факторов. При этом сначала изменяют один фактор f(x 1 х 2 ) f(x 1 х 2 )=B 1 A y max у х 2 х 1 х 1 * х 2 * B 2 B 3 B 1 х 1 х 2 A Рис. 5.1. Графическая интерпретация задачи оптимизации Си бА ДИ 94 х 1 при фиксированных остальных (х 2 =const) до тех пор, пока не пре- кращается прирост функции отклика (точка М 1 ). В дальнейшем изме- няется другой фактор х 2 при фиксированных остальных (х 1 =const), и далее процедура повторяется. Данный метод весьма прост, однако при большом числе факторов требуется значительное число опытов, чтобы достичь координат оптимума. Более того, при некоторых зависимостях k x x x f y ,..., , 2 1 этот ме- тод может привести к лож- ному результату. На рис. 5.2 показан один из таких част- ных случаев, когда пооче- рёдное изменение каждого из факторов в любую сторо- ну вдоль координатных осей х 1 и х 2 вызывает появление ложного экс- тремума в точке А / , в то время как действительное значение экстре- мума находится в точке А. 5.2. Метод крутого восхождения Кратчайший путь – это движение по градиенту, т.е. перпендику- лярно линиям равного уровня. В связи с этим при оптимизации про- цесса рабочее движение целесообразно совершать в направлении наиболее быстрого возрастания функции отклика, т.е. в направлении градиента функции у. Существуют различные модификации градиентного метода, од- ним из них является метод крутого восхождения. Сущность этого ме- тода рассмотрим на примере двухфакторной задачи. В этом случае шаговое движение осуществляется в направлении наискорейшего возрастания функции отклика, т.е. 2 1 , x x y grad . Од- нако направление корректируют не после каждого следующего шага, а при достижении в некоторой точке на данном направлении частного экстремума функции отклика. Пусть в окрестности точки М 0 как центра плана поставлен ПФЭ 2 2 . Координаты отдельных опытов соответствуют точкам 1-4. x 1 1 x 2 x x 2 * B 2 B 1 B 3 B 4 B 6 M 0 M 1 M 2 A / A x 2 x 1 * B 5 B 6 >B 5 >B 4 Рис. 5.2. Метод покоординатной оптимизации Си бА ДИ 95 По результатам ПФЭ можно рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии 2 2 1 1 0 x b x b b y Градиент функции отклика в этой точке определяется как j x y i x y y grad 2 1 (5.1) Следовательно, для движения по градиенту необходимо изме- нять факторы пропорционально их коэффициентам регрессии и в сто- рону, соответствующую знаку коэффициента. В процессе поиска движутся в этом направлении до тех пор, пока не будет обнаружен локальный максимум М 1 . В точке последнего находят новое направ- ление градиента М 1 N, осуществляя опять ПФЭ, и далее процедура по- вторяется. Стрелками на рис. 5.3 показана траектория движения к оп- тимуму. Практически алгоритм сводится к следующей последовательно- сти операций. 1. Планирование и постановка ПФЭ (или ДФЭ) в окрестности точки начального состояния. Расчёт коэффициентов b j линейной ма- тематической модели с целью определения направления градиента. 2. Расчёт произведений j j x b , где j x – интервалы варьирова- ния факторов при ПФЭ (ДФЭ). 3. Выбор базового фактора 0 j j x x , у которого max a x b j j 4. Выбор шага крутого восхождения для базового фактора h a Этот выбор производится на основании имеющейся априорной ин- х 2 х 1 Рис. 5.3. Метод крутого восхождения Си бА ДИ 96 формации или с учётом опыта исследователя, технологических сооб- ражений или других критериев. Относительно выбора шага заметим, что слишком малый шаг потребует значительного числа опытов при движении к оптимуму, а большой шаг создаёт опасность проскочить область оптимума. 5. Расчёт шагов изменения других факторов по формуле a h x b h a j j j / (5.2) Это соотношение между величинами шагов изменения отдель- ных факторов обеспечивает движение по градиенту в факторном про- странстве. 6. Составление плана движения по градиенту. Для этого в соот- ветствии с определёнными значениями шагов изменения факторов и их последовательным алгебраическим суммированием с основным уровнем в точке , 2 , 1 , 0 k kh x x j j jk находят координаты опытов 5-10. Часть этих опытов полагают «мыс- ленными». «Мысленный» опыт заключается в получении предсказан- ных (расчётных) значений функции отклика по линейному уравнению регрессии, что позволяет сократить объём реальных опытов, т.е. уве- личить скорость продвижения к экстремуму. При «мысленном» экс- перименте перевод координат в кодированную форму и подстановка их в уравнение модели объекта должны подтвердить действительное возрастание у. Обычно реальные опыты в начале движения из базовой точки вдоль направления градиента ставятся через 2-4 мысленных опыта. Другие опыты реализуют на практике, определяя последова- тельность значений у в направлении градиента. Из опытных данных находят положение локального экстремума М 1 7. В окрестности локального экстремума ставят нулевую серию опытов (ПФЭ или ДФЭ) для определения новых значений коэффици- ентов уравнения регрессии и нового направления градиента М 1 N. В дальнейшем процедура повторяется до достижения следующего ло- кального экстремума и так далее вплоть до определения окрестности координат максимума функции отклика, которая называется почти стационарной областью. Признаком достижения этой области является статистическая незначимость коэффициентов b j . В почти стационарной области ста- новятся значимы эффекты взаимодействия и квадратичные эффекты. Здесь требуется переходить от ДФЭ (если он проводился ранее) к Си бА ДИ 97 ПФЭ, а если этого окажется недостаточно, перейти от планов экспе- римента первого порядка к планам второго порядка. В задачах, где требуется определить координаты не максимума, а минимума функции отклика, знаки коэффициентов b j следует поме- нять на обратные. В этом случае движение в факторном пространстве осуществляется по направлению, противоположному вектору градиента. 5.3. Симплексный метод планирования Метод симплексного планирования позволяет без предвари- тельного изучения влияния факторов найти область оптимума. В дан- ном методе не требуется вычисления градиента функции отклика, по- этому он относится к безградиентным методам поиска оптимума. Для этого используется специальный план эксперимента в виде симплекса. Симплекс – простейший выпуклый многогранник, образован- ный k+1 вершинами в k-мерном пространстве, которые соединены между собой прямыми линиями. При этом координаты вершин сим- плекса являются значениями факторов в отдельных опытах, в двух- факторном пространстве – это любой треугольник, в трёхфакторном – тетраэдр. Симплекс называется правильным или регулярным, если все расстояния между образующими его вершинами равны. После построения исходного симплекса и проведения опытов при значениях факторов, соответствующих координатам его вершин, анализируют результаты и выбирают вершину симплек- са, в которой получено наи- меньшее (наихудшее) значе- ние функции отклика. Для движения к оптимуму необ- ходимо поставить опыт в но- вой точке, являющейся зер- кальным отражением точки с наихудшим результатом от- носительно противоположной грани симплекса. На рис. 5.4 представлено геометрическое изображение симплекса для двумерного случая. Рис. 5.4. Движение к оптимальной области симплексным методом x 1 x 2 Си бА ДИ 98 Например, по итогам опытов 1,2,3 худшим оказался опыт 3. Следующий опыт ставится в точке 4, которая образует с точками 1 и 2 новый правильный симплекс. Далее сравниваются результаты опытов 1,2,4. Наихудший результат получен в точке 1, поэтому она в новом симплексе заменяется зеркальным отражением (точка 5) и т.д., пока не будет достигнута почти стационарная область. Получается зигза- гообразный путь, общее число опытов, необходимых для достижения области оптимума, может быть небольшим за счёт того, что прово- дить k+1 опыт приходится лишь в начале, а в дальнейшем каждый шаг сопровождается проведением только одного дополнительного опыта, условия которого выбираются на основе предшествующих ре- зультатов. Выбор размеров симплекса и его начального положения в из- вестной степени произволен. Для построения начального симплекса значения в каждом опыте определяются по формуле j ji j ji x C x x 0 , (5.3) где 0 j x – координаты начального симплекса; j x – интервал варьиро- вания j-го фактора; ji C – кодированное значение j-го фактора в i-м опыте. Для определения условий проведения опыта в отражённой точке (координат новой вершины симплекса) используется формула jз j x x k x jз k i ji jн , 2 1 1 , (5.4) где jн x – координата новой вершины симплекса для j-й переменной; jз x – координата заменяемой точки; 1 1 1 k i ji x k – среднее значение из ко- ординат всех вершин симплекса, кроме заменяемой. Критерии окончания процесса последовательного отражения наихудших вершин и постановки очередных опытов в новых верши- нах: 1. Разность значений функции отклика в вершинах симплекса меньше ранее заданной величины. Это означает либо выход в почти стационарную область вблизи оптимума, либо достижение поверхно- сти const ,..., , 2 1 k x x x f y в виде «плато». В этом случае дополни- тельными опытами в стороне от симплекса следует удостовериться в отсутствии других участков с более существенной кривизной поверх- Си бА ДИ 99 ности k x x x f y ,..., , 2 1 и принять величину с экстремальным значе- нием функции отклика за точку оптимума. 2. Отражение любой из вершин симплекса после однократного качания приводит к его возврату в прежнее положение. При этом есть основания утверждать «накрытие симплексом точки оптимума. 3. Циклическое движение симплекса вокруг одной из его вер- шин на протяжении более чем нескольких шагов. Подобная ситуация имеет место, когда искомый оптимум располагается внутри области, охватываемой циркулирующим симплексом. В случаях 2 и 3 рекомендуется уменьшить размеры симплекса, т.е. расстояния между вершинами, и продолжить поиск до желаемого уточнения координат искомого оптимума. Вопросы и задания для самоподготовки 1. Какие задачи решает экстремальный эксперимент? 2. Какая задача называется оптимизационной? 3. Метод покоординатной оптимизации. Преимущества и не- достатки данного метода при решении оптимизационных задач. 4. Алгоритм решения оптимизационной задачи методом круто- го восхождения. 5. Особенности поиска минимального значения функции от- клика методом крутого восхождения. 6. Дайте определение симплекса. 7. Симплексный метод поиска оптимального значения функции отклика. Сущность метода. 8. Перечислите критерии окончания процесса оптимизации симплексным методом. Си бА ДИ 100 Приложение 1 Ординаты нормального распределения /2 exp 2 2 1 t π t p t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,3989 0,3989 0,3988 0,3987 0,3986 0,3984 0,3982 0,3979 0,3976 0,3973 0,1 0,3969 0,3965 0,3960 0,3955 0,3950 0,3944 0,3938 0,3932 0,3925 0,3918 0,2 0,3910 0,3902 0,3189 0,3885 0,3876 0,3866 0,3856 0,3846 0,3836 0,3825 0,3 0,3813 0,3802 0,3790 0,3778 0,3765 0,3752 0,3739 0,3725 0,3711 0,3697 0,4 0,3682 0,3667 0,3652 0,3637 0,3621 0,3605 0,3588 0,3572 0,3655 0,3538 0,5 0,3520 0,3502 0,3484 0,3466 0,3448 0,3429 0,3410 0,3391 0,3371 0,3352 0,6 0,3332 0,3312 0,3291 0,3271 0,3250 0,3229 0,3208 0,3187 0,3165 0,3144 0,7 0,3122 0,3100 0,3078 0,3056 0,3033 0,3011 0,2988 0,2965 0,2943 0,2920 0,8 0,2896 0,2873 0,2850 0,2826 0,2803 0,2779 0,2756 0,2732 0,2708 0,2684 0,9 0,2660 0,2636 0,2612 0,2588 0,2564 0,2540 0,2516 0,2492 0,2468 0,2443 1,0 0,2419 0,2395 0,2371 0,2347 0,2323 0,2299 0,2275 0,2251 0,2227 0,2203 1,1 0,2178 0,2154 0,2130 0,2106 0,2083 0,2059 0,2035 0,2012 0,1988 0,1965 1,2 0,1941 0,1918 0,1895 0,1874 0,1849 0,1826 0,1803 0,1781 0,1758 0,1736 1,3 0,1713 0,1691 0,1689 0,1647 0,1625 0,1603 0,1582 0,1560 0,1539 0,1518 1,4 0,1497 0,1476 0,1455 0,1435 0,1414 0,1394 0,1374 0,1354 0,1334 0,1314 1,5 0,1295 0,1275 0,1256 0,1237 0,1218 0,1200 0,1181 0,1163 0,1145 0,1127 1,6 0,1109 0,1091 0,1074 0,1056 0,1036 0,1022 0,1005 0,0989 0,0972 0,0956 1,7 0,0940 0,0924 0,0908 0,0893 0,0878 0,0862 0,0847 0,0832 0,0818 0,0804 1,8 0,0789 0,0775 0,0761 0,0747 0,0734 0,0721 0,0707 0,0694 0,0681 0,0669 1,9 0,0656 0,0644 0,0632 0,0615 0,0608 0,0596 0,0584 0,0573 0,0562 0,0551 2,0 0,0540 0,0529 0,0519 0,0508 0,0498 0,0488 0,0478 0,0468 0,0459 0,0450 2,1 0,0439 0,0430 0,0421 0,0413 0,0404 0,0396 0,0387 0,0379 0,0370 0,0363 2,2 0,0365 0,0347 0,0339 0,0332 0,0325 0,0317 0,0310 0,0303 0,0296 0,0290 2,3 0,0283 0,0277 0,0271 0,0264 0,0258 0,0252 0,0246 0,0240 0,0235 0,0229 2,4 0,0224 0,0219 0,0213 0,0208 0,0203 0,0198 0,0194 0,0188 0,0184 0,0180 2,5 0,0175 0,0171 0,0167 0,0163 0,0158 0,0154 0,0151 0,0147 0,0143 0,0139 2,6 0,0135 0,0132 0,0129 0,0126 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 0,0107 2,7 0,0104 0,0101 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0088 0,0086 0,0084 0,0081 2,8 0,0079 0,0077 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0067 0,0065 0,0063 0,0061 2,9 0,0059 0,0058 0,0056 0,0054 0,0053 0,0051 0,0050 0,0048 0,0047 0,0046 3,0 0,0044 0,0043 0,0042 0,0041 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 0,0035 0,0034 3,1 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 0,0025 0,0025 3,2 0,0024 0,0023 0,0022 0,0022 0,0021 0,0020 0,0020 0,0019 0,0018 0,0018 3,3 0,0017 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 0,0013 0,0013 3,4 0,0012 0,0012 0,0012 0,001 0,0011 0,0010 0,0010 0,0010 0,0009 0,0009 3,5 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0006 3,6 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 3,7 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 3,8 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 3,9 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 |