Реброва ТПЭ. Программа для чтения pdfфайлов Adobe Acrobat Reader Редактор Н. И. Косенкова Техническая подготовка Т. И. Кукина Издание первое. Дата подписания к использованию 18. 03. 2016

• Название: Программа для чтения pdfфайлов Adobe Acrobat Reader Редактор Н. И. Косенкова Техническая подготовка Т. И. Кукина Издание первое. Дата подписания к использованию 18. 03. 2016
• Дата: 06.10.2021
• Размер: 1.31 Mb.
• Имя файла: Реброва ТПЭ.pdf
• Тип: Программа; #242678
• страница: 11 из 13

84
4 0
4 4
3 0
3 3
2 0
2 2
1 0
1 1
7 6
,
8 1
,
10 2
,
8 94

R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
y













,
(4.55) где
0
u
R
– основные уровни (номиналы) сопротивлений;
u
R

– их ин- тервалы варьирования.
Подставляя числовые значения
0
u
R
и
u
R

в уравнение (4.55), по- лучим
4 5
3 5
2 5
1 5
10 7
10 860 10 7
,
33 10 1640 7
,
80

R
R
R
R
y













, (4.56)
или в общем виде
4 4
3 3
2 2
1 1
0

R
a
R
a
R
a
R
a
a
y





(4.57)
В последнем уравнении a-коэффициенты в отличие от
b-коэффициентов уравнения (4.54) являются размерными величинами
(Ом
-1
).
Из уравнения (4.57) видно, что наибольшее влияние на коэффи- циент усиления оказывают сопротивления
1
R
,
3
R
. Практический ин- терес представляют относительные коэффициенты влияния или чув- ствительности коэффициента усиления к изменению сопротивлений
1
R
,
2
R
,
3
R
,
4
R
, которые вычисляются по формуле


4
,
3
,
2
,
1


0 0
0 0





















u
R
y
a
R
R
y
y
B
u
u
u
u
u
(4.58)
Для рассматриваемого примера
2 2
1

 B
B
;
1 4
3

 B
B
. По уравнению модели можно исследовать параметрическую надежность и строить допуск на выходной параметр – коэффициент усиления по напряжению. Эмпирическая модель больше соответствует реальной действительности, но выводы на основе такой модели справедливы только в области эксперимента, задаваемой интервалами варьирова- ния факторов.
4.5. Планы второго порядка
В этом случае требуется, чтобы каждый фактор варьировался не менее чем на трёх уровнях. В этом случае полный факторный экспе- римент содержит слишком большое количество опытов, равное 3
к
. В связи с этим осуществление ПФЭ для планов второго порядка не только сложно, но и нецелесообразно.
Сократить число опытов можно, воспользовавшись так назы- ваемым композиционным или последовательным планом, разрабо- танным Боксом и Уилсоном. Так, при двух факторах модель функции
Си бА
ДИ

85
отклика второго порядка представляет собой поверхность в виде ци- линдра, конуса, эллипса и т.д., описываемую в общем виде уравнени- ем
2 1
12 2
2 22 2
1 11 2
2 1
1 0

X
X
b
X
b
X
b
X
b
X
b
b
y






(4.59)
Для определения такой поверхности необходимо располагать координатами не менее трёх её точек, т.е. факторы Х
1
и Х
2
должны варьироваться не менее чем на трёх уровнях. Поэтому план экспери- мента не может состоять из 4 опытов ПФЭ 2 2
, располагающихся в вершинах квадрата, как для модели первого порядка. К ним должны быть добавлены опыты 5-8, расположенные на осях х
1
и х
2
с коорди- натами
;α ±
(
0
(
,
)
0
)
α±
; и обязательно опыт 9 в центре квадрата, чтобы по любому направлению располагал ись три точки, определяющие кривизну поверхности в этом направлении (рис. 4.5).
Таким образом, в общем случае ядро композиционного плана составляет при k<5 ПФЭ 2
к
, а при
5

k
- дробную реплику от него.
Если линейное уравнение регрессии оказалось неадекватным, необ- ходимо:
1) добавить 2k звёздных точек, расположенных на координат- ных осях факторного пространства;
2) провести n
0
опытов при значениях факторов в центре плана.
-1
-1
+1
+1
х
1
х
1
х
2
х
2
α
α
α
9 - 13 9
8 8
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
а
б
Рис. 4.5. Планы второго порядка при k=2:
а – ортогональный; б – ротатабельный
Си бА
ДИ

86
При k факторах общее число опытов в матрице композиционно- го плана составит
0 2
2
n
k
n
k



при
5

k
,
0 1
2 2
n
k
n
k




при
5

k
При этом величина звёздного плеча  и число опытов в центре плана n
0
зависит от выбранного вида композиционного плана (табл.
4.19).
Таблица 4.19
Композиционный план для k=2 и n
0
=1
Номер опыта
X
0
X
1
X
2
X
1
X
2
X
1 2
X
2 2
y
i
Ядро плана
1
+1
-1
-1
+1
+1
+1
y
1 2
+1
+1
-1
-1
+1
+1
y
2 3
+1
-1
+1
-1
+1
+1
y
3 4
+1
+1
+1
+1
+1
+1
y
4
Звёздные точки
5
+1
+α
0 0
α
2 0
y
5 6
+1
-α
0 0
α
2 0
y
6 7
+1 0
+α
0 0
α
2
y
7 8
+1 0
-α
0 0
α
2
y
8
Центр плана
9
+1 0
0 0
0 0
y
9
4.5.1. Ортогональные планы
В общем виде план, представленный в таблице, неортогонален, т.к.
0 1
2 0



n
i
ji
i
X
X
,
0 2
1 2



ui
n
i
ji
X
X
,
u
j 
(4.60)
Привести этот план к ортогональному можно, вводя новые пе- ременные (преобразуя квадратичные эффекты)
2 2
1 2
2
/
j
ji
n
i
ji
ji
ji
X
X
n
X
X
X






,
(4.61) при этом


0 1
2 2
1
/
0







n
i
j
ji
n
i
ji
i
X
X
X
X
(4.62)
Тогда уравнение регрессии будет записано как










k
j
j
jj
k
u
j
u
j
ju
k
j
j
j
x
b
X
X
b
X
b
b
y
1
/
/
1
,
1
/
0

(4.63)
Значения звёздных плеч в ортогональных планах второго поряд- ка и число опытов в центре плана приведены в табл. 4.20.
Си бА
ДИ

87
Таблица 4.20
Значения звёздных плеч в ортогональных планах второго порядка
Число опытов в центре плана n
0
Звёздное плечо α при различном числе факторов k
k = 2
k = 3
k = 4 1
1,000 1,215 1,414 2
1,077 1,285 1,471 3
1,148 1,353 1,546 4
1,214 1,414 1,606 5
1,267 1,471 1,664 6
1,320 1,525 1,718 7
1,369 1,575 1,772 8
1,414 1,623 1,819 9
1,454 1,668 1,868 10 1,498 1,711 1,913
Матрица планирования для ортогонального плана второго по- рядка представлена табл. 4.21.
Таблица 4.21
Ортогональный план второго порядка
Номер опыта
Факторы
Результат
y
i
X
0
X
1
X
2
X
1
X
2
X
1
/
X
2
/
Ядро плана
1
+1
-1
-1
+1
+1/3
+1/3
y
1 2
+1
+1
-1
-1
+1/3
+1/3
y
2 3
+1
-1
+1
-1
+1/3
+1/3
y
3 4
+1
+1
+1
+1
+1/3
+1/3
y
4
Звёздные точки
5
+1
α =+1 0
0
+1/3
-2/3
y
5 6
+1
α =-1 0
0
+1/3
-2/3
y
6 7
+1 0
α =+1 0
-2/3
+1/3
y
7 8
+1 0
α =-1 0
-2/3
+1/3
y
8
Центр плана 9
+1 0
0 0
-2/3
-2/3
y
9
Коэффициенты уравнения (4.63) определяют по формулам





n
i
ji
k
j
i
ji
j
x
y
x
b
1 2
1
,





n
i
ji
k
j
i
ij
jj
x
y
x
b
1 2
/
1
/
/
,





n
i
ui
ji
k
j
i
ui
ji
ju
x
x
y
x
x
b
1 2
1
)
(
)
(
,




k
j
j
jj
x
b
b
b
1 2
/
/
0 0
,
(4.64)
Си бА
ДИ

88
где j – номер столбца в матрице планирования; i – номер строки.
Дисперсии коэффициентов уравнения регрессии следующие:



n
i
ji
восп
bj
x
S
S
1 2
2 2
,



n
i
ji
восп
bjj
x
S
S
1 2
/
2 2
/
,





n
i
ui
ji
восп
bju
x
x
S
S
1 2
2 2
,




k
j
jj
b
jj
b
b
S
x
S
S
1 2
2 2
0 2
0
/
/
(4.67)
Коэффициенты уравнения регрессии, получаемые с помощью ортогональных планов второго порядка, определяются с разной точ- ностью, ортогональные планы первого порядка обеспечивают одина- ковую точность коэффициентов. Проверяют значимость коэффициен- тов по t –критерию и адекватность уравнения по критерию Фишера.
4.5.2. Ротатабельные планы второго порядка
Ротатабельным называют планирование, для которого диспер- сия параметра оптимизации y
, предсказанного уравнением регрес- сии, постоянна для всех точек, находящихся на равном расстоянии от центра эксперимента. Экспериментатору заранее неизвестно, где на- ходится та часть поверхности отклика, которая представляет для него особый интерес, поэтому следует стремиться к тому, чтобы количест- во информации, содержащееся в уравнении регрессии, было одинако- во для всех равноотстоящих от центра эксперимента точек. Действи- тельно, удаление от центра точек 5-8 в 2 раз меньше, чем удаление точек 1-4 и, следовательно, коэффициенты уравнения регрессии оп- ределяются с различной дисперсией. Бокс и Хантер предложили рота- табельные планы 2-го порядка. Для того чтобы композиционный план был ротатабельным, величину звёздного плеча  выбирают из условия
4 2
k


при
5

k
и
4 1
2



k
при
5

k
(4.68)
Значения звёздных плеч и числа точек в центре ротатабельных планов приведены в табл. 4.22.
Матрица планирования для ротатабельного плана представлена табл. 4.23.
Си бА
ДИ

89
Таблица 4.22
Значения звёздных плеч в
ротатабельных планах второго порядка
Параметр плана
Значения параметров при числе независимых факторов
2 3
4 5
5 6
6 7
7
Ядро плана
2 2
2 3
2 4
2 5
2 5-1 2
6 2
6-1 2
7 2
7-1
Звёздное плечо
1,414 1,682 2,000 2,378 2,000 2,828 2,378 3,333 2,828
Число точек в центре плана n
0 5
6 7
10 6
15 9
21 14
Таблица 4.23
Ротатабельный план второго порядка
Номер опыта
Факторы
Результат
y
i
X
0
X
1
X
2
X
1
X
2
X
1 2
X
2 2
Ядро плана
1
+1
-1
-1
+1
+1
+1
y
1 2
+1
+1
-1
-1
+1
+1
y
2 3
+1
-1
+1
-1
+1
+1
y
3 4
+1
+1
+1
+1
+1
+1
y
4
Звёздные точки
5
+1
+1,414 0
0
+2 0
y
5 6
+1
-1,414 0
0
+2 0
y
6 7
+1 0
+1,414 0
0
+2
y
7 8
+1 0
-1,414 0
0
+2
y
8
Центр плана
9
+1 0
0 0
0 0
y
9 10
+1 0
0 0
0 0
y
10 11
+1 0
0 0
0 0
y
11 12
+1 0
0 0
0 0
y
12 13
+1 0
0 0
0 0
y
13
Учитывая специфический характер ротатабельного плана в об- щем виде, можно получить формулы для расчёта коэффициентов уравнения регрессии и их дисперсий:

 















k
j
jjy
c
y
k
n
A
b
1 2
0 2
0 2
2
;
(4.69)

 
jy
n
c
b
j
/

;
(4.70)







 

 

















k
j
jj
y
c
jjy
c
jjy
k
k
c
n
A
b
1 2
2 0
2 1
2
;
(4.71)


juy
n
c
b
ju


2
;
(4.72)
Си бА
ДИ

90


2 2
2 0
2 2
восп
b
S
n
k
A
S



;
(4.73)






2 2
2 1
1
восп
bjj
S
n
c
k
k
A
S





;
(4.74)
2 2
2
восп
bju
S
n
c
S


,
(4.75) где
 



n
i
i
i
y
X
y
1 0
0
;





n
i
i
ui
ji
y
X
X
juy
1
;
 



n
i
i
ji
y
X
jy
1
;





n
i
i
ji
y
X
jjy
1 2
;



n
i
ji
X
n
c
1 2
;




k
k
A





2 2
1
;


1 2 n
k
nk



;
0 1
n
n
n


Матрица ротатабельного планирования оказывается неортого- нальной, так как
0 1
2 0



n
i
ui
i
X
X
;
0 1
2 2



n
i
ui
ji
X
X
;
u
j 
(4.76)
Следовательно, если какой-либо из квадратичных эффектов ока- зался незначимым, то после его исключения коэффициенты уравне- ния регрессии необходимо пересчитать заново.
При использовании ротатабельных планов второго порядка дис- персию воспроизводимости можно определить по опытам в центре плана. В связи с этим при проверке адекватности уравнения регрес- сии, полученного по ротатабельному плану второго порядка, посту- пают следующим образом:
­
находят остаточную сумму квадратов






n
i
i
i
y
y
S
1 2
2 1

(4.77) с числом степеней свободы



2 1
2 1




k
k
n
f
d
;
­
по опытам в центре плана определяют дисперсию воспроиз- водимости






0 1
2 0
0 2
2

n
i
i
i
y
y
S
(4.78) с числом степеней свободы
1 0
2

 n
f
d
;
­
находят сумму квадратов, характеризующих неадекватность
Си бА
ДИ

91
2 2
2 1
2 3
S
S
S


(4.79) с числом степеней свободы
2 1
3
f
d
f
d
f
d


;
­
проверяют адекватность по F-критерию:
2 2
2 3
2 3
/
/
f
d
S
f
d
S
F 
,
(4.80) уравнение адекватно, если
Т
F
F 
Если модель неадекватна, следует повторить эксперименты на меньшем интервале варьирования факторов или перенести центр пла- на в другую точку факторного пространства. В тех случаях, когда адекватность модели по-прежнему не достигается, рекомендуется пе- рейти к планам третьего порядка.