Реброва ТПЭ. Программа для чтения pdfфайлов Adobe Acrobat Reader Редактор Н. И. Косенкова Техническая подготовка Т. И. Кукина Издание первое. Дата подписания к использованию 18. 03. 2016

• Название: Программа для чтения pdfфайлов Adobe Acrobat Reader Редактор Н. И. Косенкова Техническая подготовка Т. И. Кукина Издание первое. Дата подписания к использованию 18. 03. 2016
• Дата: 06.10.2021
• Размер: 1.31 Mb.
• Имя файла: Реброва ТПЭ.pdf
• Тип: Программа; #242678
• страница: 9 из 13

Порядок проведения опытов
Номер опыта по матрице планирования
1 2
3 4
5 6
7 8
Случайный порядок реализации опытов
24 19 4
9 5
21 7
8 10 15 2
23 12 14 13 16 22 20 1
3 17 6
11 18
Результаты испытаний, проведенных в соответствии с матрицей планирования и данными табл. 4.10, представлены в табл. 4.12.
Дисперсию параллельных опытов определяем по формуле (4.8).
Однородность дисперсии проверяем с помощью критерия Кохрена
(4.9)
Си бА
ДИ

70
38
,
0 3
,
7535 0
,
2863 1
2 2
max





n
i
i
S
S
G
При уровне значимости
05
,
0


и числах степеней свободы
2 1

f
d
;
8 2

f
d
табличное значение критерия
5157
,
0

T
G
(см. прил. 6).
Расчетное значение критерия меньше табличного, следователь- но, дисперсии параллельных опытов однородны, что является под- тверждением нормального закона распределения ошибок отдельных опытов.
Таблица 4.12
Результаты испытаний
Номер опыта
Температура, °С
2
i
S


2

i
i
y
y 
1
i
y
2
i
y
3
i
y
i
y
i
y

1 332 327 366 341,7 357,6 450,3 253,3 2
665 674 693 677,3 661,4 204,3 253,3 3
825 886 895 868,7 872,3 1450,3 13,4 4
777 725 832 778,0 774,3 2863,0 13,4 5
1076 1088 1029 1064,3 1068,0 972,3 13,4 6
1190 1183 1136 1169,7 1166,0 862,3 13,4 7
1289 1236 1271 1265,3 1281,3 726,3 253,3 8
993 991 996 993,3 977,4 6,3 253,3
Дисперсия всего эксперимента (4.10)
 
9
,
941 1
1 2
2




N
i
i
S
N
y
S
Вычисляем коэффициенты уравнения (4.13)
895 0
0




N
y
y
b
i
;
10 8
3
,
993 3
,
1265 7
,
1169 3
,
1064 0
,
778 7
,
868 3
,
677 7
,
341 1
1 1














N
y
X
b
N
i
i
i
и т.д.
После расчета всех коэффициентов уравнение (4.24) принимает вид
6 75 51 100 228 82 10 895

3 2
1 3
2 3
1 2
1 3
2 1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
y









Си бА
ДИ

71
Ошибка определения коэффициентов
 
3
,
6 3
8 7
,
30




Nr
y
S
S
b
Для выявления значимости коэффициентов уравнения регрессии строим доверительный интервал шириной
11 3
,
6 746
,
1




b
T
S
t
b

;
22 2

b

Табличное значение t-критерия Стьюдента определяем для уровня значимости
05
,
0


и числа степеней свободы


16 2
8 1





r
N
f
d
Коэффициенты
1
b
и
123
b
оказались статистически незначимыми, поэтому уравнение регрессии имеет вид
3 2
3 1
2 1
3 2
75 51 100 228 82 895

X
X
X
X
X
X
X
X
y






(4.25)
Расчетные значения y
приведены в табл. 4.10. Адекватность полученной модели определяем с помощью критерия Фишера (4.23).
Дисперсия адекватности (4.22)


7
,
1600

6 8
3 1
2 2






N
i
i
i
ад
y
y
S
;
 
70
,
1 9
,
941 7
,
1600 2
2



y
S
S
F
ад
Для
2 6
8 1



f
d
;


16 1
3 8
2



f
d
и
05
,
0


критическое значение
64
,
3

T
F
. Так как
T
F
F 
, то уравнение (4.25) адекватно описывает функцию отклика.
На основании полученных результатов и анализа уравнения
(4.25) можно сделать следующие выводы:
 расход шликера в указанных пределах сам по себе не влияет на температуру отходящих при сушке газов, следовательно, и на влажность шликера;
 с увеличением расхода газа и давления в сушилке темпера- тура отходящих газов повышается, влажность – уменьшается (т.к.
0 2

b
и
0 3

b
), причем наибольшее влияние оказывает величина дав- ления в сушилке;
 наряду с линейными эффектами значимыми оказались также эффекты взаимодействия
2 1
X
X
,
3 1
X
X
,
3 2
X
X
, которые приводят к уменьшению температуры отходящих газов.
Си бА
ДИ

72
4.3. Дробный факторный эксперимент
В случае двухуровневого k-факторного эксперимента на основе опытов в N точках факторного пространства можно найти
k
N
2

ко- эффициентов уравнения регрессии. Если число факторов
4

k
, эф- фекты взаимодействия высокого порядка становятся статистически незначимыми, т.е. влияние сомножителей
k
X
X
X

2 1
на отклик y вза- имно компенсируется. Практика эксперимента позволяет априорно считать, что в уравнении регрессии с большим числом факторов ко- эффициенты высоких порядков взаимодействия равны нулю. Следо- вательно, при большом числе факторов можно строить такие планы эксперимента, которые позволяют определять линейные эффекты факторов, эффекты их парных и иногда тройных взаимодействий.
Уменьшение количества определяемых коэффициентов регрессии по- зволяет сократить затраты времени и средств на проведение экспери- мента и обработку его данных. Количество опытных точек в таких экспериментах должно быть чуть больше или равно количеству под- лежащих определению коэффициентов регрессии b. Этому положе- нию удовлетворяют части (реплики) ПФЭ
k
2
, кратные
p
2
, где p – це- лое положительное число.
Такие эксперименты называются дробными факторными экс-
периментами (ДФЭ)
p
k 
2
. Количество опытных точек в ДФЭ
p
k 
2
в
p
2
раз меньше, чем в ПФЭ
k
2
. Так как ДФЭ
p
k 
2
– часть ПФЭ
k
2
, то
ДФЭ называют также дробными репликами полного факторного эксперимента. Например, ДФЭ, образующий половину ПФЭ
k
2
, обо- значается
1 2

k
и называется полурепликой ПФЭ
k
2
; ДФЭ
2 2

k
содер- жит
4 2
2 2
2
k
k

опытных точек и называется 4 1
репликой ПФЭ
k
2
Рассмотрим построение плана ДФЭ
1 3
2

. В ДФЭ
1 3
2

план со- стоит из четырех опытных точек
4 2
2 2
1 3




N
. Ядром плана явля- ется ПФЭ
2 2
, на основе которого можно построить уравнение регрес- сии
2 1
12 2
2 1
1 0
0

X
X
b
X
b
X
b
X
b
y




Если взаимодействие факторов
2 1
X
X
статистически незначимо, то нет необходимости определять коэффициент
12
b
и в матрице ПФЭ
2 2
столбец произведения
2 1
X
X
окажется лишним. Этот столбец ис- пользуют для построения плана ДФЭ
1 3
2

, заменяя
2 1
3
X
X
X 
, т.е. в процессе эксперимента варьируют
3
X
по закону изменения произве- дения
2 1
X
X
(табл. 4.13).
Си бА
ДИ

73
Таблица 4.13
Матрица планирования ДФЭ
1
3
2

Номер опыта
X
0
X
1
X
2
X
3
=X
1
X
2
y
1
+
–
–
+
y
1 2
+
+
–
–
y
2 3
+
–
+
–
y
3 4
+
+
+
+
y
4
Другой план ДФЭ
1 3
2

можно получить, если фактор
3
X
ввести с помощью того же произведения, взятого с обратным знаком
(табл. 4.14).
Таблица 4.14
Матрица планирования ДФЭ
1
3
2

Номер опыта
X
0
X
1
X
2
X
3
=–X
1
X
2
y
1
+
–
–
–
y
1 2
+
+
–
+
y
2 3
+
–
+
+
y
3 4
+
+
+
–
y
4
Планы, представленные табл. 4.13 и 4.14, обладают свойствами симметрии, нормировки и ортогональности. В зависимости от усло- вий испытаний выбирают один из этих планов, так как каждый из них соответствует различным точкам факторного пространства, в которых должны проводиться независимые опыты. Оба плана позволяют по- строить линейное уравнение регрессии
3 3
2 2
1 1
0 0
X
b
X
b
X
b
X
b
y




,
(4.26) которое содержит четыре неизвестных b-коэффициента. Рассмотрен- ные планы характерны тем, что в них содержится наибольшее воз- можное количество факторов. На основе плана, содержащего четыре строки, нельзя определить больше четырех коэффициентов – свобод- ный член
0
b
и три линейных коэффициента регрессии
3 2
1
,
,
b
b
b
План, в котором количество переменных на единицу меньше количества строк или опытных точек, называется насыщенным.
Рассмотрим построение дробных реплик на основе ПФЭ
3 2
Планы, ядром которых является ПФЭ
3 2
, содержат восемь строк или восемь наборов переменных, при которых определяются значения от- клика. На основе ПФЭ
3 2
могут быть построены следующие дробные реплики: ДФЭ
1 4
2

– полуреплика ПФЭ
4 2
; ДФЭ
2 5
2

– 4 1
реплика
Си бА
ДИ

74
ПФЭ
5 2
; ДФЭ
3 6
2

– 8 1
реплика ПФЭ
6 2
; ДФЭ
4 7
2

– 16 1
реплика
ПФЭ
7 2
. План ДФЭ
4 7
2

является насыщенным, так как число факто- ров на единицу меньше числа строк.
На основе плана ПФЭ
3 2
можно построить уравнение регрессии







3 1
13 2
1 12 3
3 2
2 1
1 0

X
X
b
X
X
b
X
b
X
b
X
b
b
y
3 2
1 123 3
2 23
X
X
X
b
X
X
b


,
(4.27)
которое содержит три парных (первого порядка) и одно тройное (вто- рого порядка) взаимодействий. Если какое-либо взаимодействие яв- ляется статистически незначимым, можно построить полуреплику
ДФЭ
1 4
2

. Если незначимы два взаимодействия, можно построить
4 1
реплику ПФЭ
5 2
или ДФЭ
2 5
2

и т.д.
Построим, например, 4 1
реплику для случая, когда незначимы- ми являются коэффициенты
13
b
и
123
b
. Два дополнительных фактора
4
X
,
5
X
можно ввести с помощью соотношений
3 2
1 5
3 1
4
,
X
X
X
X
X
X
X


,
(4.28) или
3 2
1 5
3 1
4
,
X
X
X
X
X
X
X



,
(4.29) или
3 2
1 5
3 1
4
,
X
X
X
X
X
X
X



,
(4.30) или
3 2
1 5
3 1
4
,
X
X
X
X
X
X
X




,
(4.31) которые называются генерирующими соотношениями или генера-
торами. Составим план ДФЭ
2 5
2

, когда генераторами являются
3 2
1 5
3 1
4
,
X
X
X
X
X
X
X



(табл. 4.15). Такой план в пятифакторном пространстве выделяет восемь точек, в которых должен измеряться отклик.
Дробные факторные эксперименты позволяют экономить время, но при таком планировании имеет место нежелательный эффект сме- шивания оценок  -коэффициентов.
При вычислении b-коэффициентов по данным многофакторного эксперимента иногда получают не оценки отдельных коэффициентов, а оценки различных их комбинаций. Например, величина
0
b
является оценкой не только
0

модели (4.1), но и коэффициентов при квадра- тах факторов
kk



,
,
,
22 11

, которые в уравнение (4.1) не входят, но в действительности могут иметь место. Если все коэффициенты
Си бА
ДИ

75


k
u
uu
,
,
2
,
1



равны нулю, то
0
b
является оценкой
0

. Это поло- жение записывается символом
0 0


b
Таблица 4.15
Матрица планирования ДФЭ
2
5
2

Номер опыта
X
0
X
1
X
2
X
3
X
4
=
= –X
1
X
3
X
5
=
=X
1
X
2
X
3
y
1
+
–
–
–
–
–
y
1 2
+
+
–
–
+
+
y
2 3
+
–
+
–
–
+
y
3 4
+
+
+
–
+
–
y
4 5
+
–
–
+
+
+
y
5 6
+
+
–
+
–
–
y
6 7
+
–
+
+
+
–
y
7 8
+
+
+
+
–
+
y
8
Если некоторые значения
uu

отличны от нуля, то
0
b
оценивает
0

и все отличные от нуля
uu

:
 




k
u
uu
b
1 0
0
(4.32)
Рассмотрим явление смешивания оценок в ДФЭ
1 3
2

. Для анали- за явления смешивания оценок составим структурную матрицу, в ко- торой учитываются все взаимодействия (табл. 4.16).
Из табл. 4.16 видно, что
3 2
1 0
X
X
X
X


;
3 2
1
X
X
X


;
3 1
2
X
X
X


;
2 1
3
X
X
X


. Следовательно, b-коэффициенты уравне- ния (4.26) представляют оценки разности коэффициентов регрессии:
12 3
3 13 2
2 23 1
1 123 0
0
;
;
;
















b
b
b
b
. (4.33)
Таблица 4.16
Структурная матрица для плана ДФЭ
1
3
2

Номер опыта
X
0
X
1
X
2
X
3
X
1
X
2
X
1
X
3
X
2
X
3
X
1
X
2
X
3 1
+
–
–
–
+
+
+
–
2
+
+
–
+
–
+
–
–
3
+
–
+
+
–
–
+
–
4
+
+
+
–
+
–
–
–
Рассмотренная процедура анализа смешивания оценок при большом числе факторов (
3

k
) оказывается слишком громоздкой.
Си бА
ДИ

76
Анализ смешивания значительно облегчается, если использовать ге- нерирующее соотношение и ввести понятие определяющего контра-
ста.
Для плана ДФЭ
1 3
2

генератор
2 1
3
X
X
X


дает определяющий контраст (ОК)
3 2
1 2
3 1
X
X
X
X



(4.34)
Умножая последовательно обе части ОК
3 2
1 1
X
X
X


на
0
X
,
1
X
,
2
X
,
3
X
, находим эквивалентности
3 2
1 0
X
X
X
X


;
3 2
1
X
X
X


;
3 1
2
X
X
X


;
2 1
3
X
X
X


, из которых следуют символические выра- жения (4.32). Аналогично проводится анализ смешивания оценок и в общих случаях. Рассмотрим смешивание оценок в ДФЭ
2 5
2

, где ис- пользуются генераторы
3 2
1 5
3 1
4
;
X
X
X
X
X
X
X



При наличии двух и более генераторов определяют