Квазилинеаризация. Р. М. Жаббаров 1 метод квазилинеаризации для решения задачи о всестороннем растяжении пластины с центральным круговым отверстием в условиях ползучести в работе получено приближенное решение
 Скачать 0.9 Mb.
|
|
44 Вестник Самарского үниверситета. Естественнонаучная серия. 2017. № 2 МЕХАНИКА УДК 539.4 Л.В. Степанова, Р.М. Жаббаров 1 МЕТОД КВАЗИЛИНЕАРИЗАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ВСЕСТОРОННЕМ РАСТЯЖЕНИИ ПЛАСТИНЫ С ЦЕНТРАЛЬНЫМ КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ В УСЛОВИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ В работе получено приближенное решение задачи о всестороннем растяжении пластины с цен- тральным круговым отверстием в условиях ползучести методом квазилинеаризации. С помощью ме- тода квазилинеаризации найдены четыре приближения решения задачи. Показано, что построенные приближения сходятся к предельному численному решению задачи. Интересной особенностью данной задачи является тот факт, что максимальное значение тангенциального напряжения достигается не на круговом контуре, а во внутренней точке пластины. Показано, что метод квазилинеаризации является эффективным методом решения нелинейных задач механики деформируемого твердого тела. Ключевые слова: метод квазилинеаризации, всестороннее растяжение пластины, поле напряжений в окрестности вершины трещины, нелинейные задачи, степенной закон Бейли-Нортона, аналитическое решение. Введение Современные компьютерные технологии обеспечивают быстрое и точное численное решение сложных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Тем не менее, задача построения аналитических при- ближенных решений нелинейных задач становится еще более актуальной в настоящее время [1–10]. По всей видимости, разумное сочетание компьютерных технологий и приближенных решений или редукций нелинейных систем дифференциальных уравнений дает перспективный путь исследования физических, экономических, биологических проблем и других задач естествознания. В этом отношении перспективным представляется метод квазилинеаризации, в рамках которого решение строится посредством искусных ком- бинаций методов линейного приближения и использования возможностей современных вычислительных систем. Последовательные приближения строятся таким образом, чтобы добиться быстрой сходимости, а по возможности и монотонности процесса [3; 5]. Более того, зачастую интерес для приложений представ- ляют именно приближенные аналитические решения, а не численные решения [3–5]. Например, в работах [7–10] разработан эффективный метод идентификации параметров сферической полости или сферического включения, основанный на применении инвариантных интегралов. Авторы вводят в рассмотрение инвари- антные интегралы взаимодействия, которые можно аналитически вычислить, ибо имеется решение задачи об одноосном растяжении изотропного линейно упругого пространства со сферической полостью. Инва- риантные интегралы сохраняют свое свойство независимости от пути интегрирования и для нелинейных сред, например, для сред со степенными определяющими уравнениями, и, следовательно развитый в [7; 8] метод может быть обобщен и на нелинейные среды при наличии приближенного, но аналитического реше- ния задачи о растяжении пространства со сферической полостью или сферическим включением. Поэтому особенно важными являются методы построения аналитических решений нелинейных задач [6]. В блестящей книге [2] отмечается, что вопросы, связанные с существованием и единственностью ре- шений нелинейных дифференциальных уравнений, весьма сложны и тонки, и в этой области есть много белых пятен. Для того чтобы иметь аналитический фундамент для построения решения нелинейного диф- ференциального уравнения (например, двухточечной краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения) и разработать алгоритмы численного решения, необходимо прибегнуть к методике аппрокси- маций. В этом отношении метод квазилинеаризации позволяет получить решение нелинейного дифферен- 1 c ⃝ Степанова Л.В, Жаббаров Р.М., 2017 Степанова Лариса Валентиновна (stepanovalv@samsu.ru), Жаббаров Рамиль Муритович (were-wolff@yandex.ru), кафед- ра математического моделирования в механике, Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34. Метод квазилинеаризации для решения задачи о всестороннем растяжении пластины... 45 циального уравнения как предел последовательности решений линейных дифференциальных уравнений. Каждое из этих уравнений нетрудно решить численно. Поэтому целью настоящей работы является приближенное решение задачи о всестороннем растяжении пластины с центральным круговым отверстием в условиях ползучести с помощью метода квазилинеари- зации. Физическая постановка задачи и метрод квазилинеаризации Рассмтривается пластина с круговым отверстием (рис. 1), поведение материала которой характеризу- ется степенным законом Бейли-Нортона ˙ ε ij = 3 2 σ n −1 e S ij , где σ 2 e = σ 2 r − σ r σ θ + σ 2 θ – интенсивность касательных напряжений, S ij = σ ij − σ kk δ ij /3 – компоненты де- виатора тензора напряжений, δ ij – символ Кронекера. Целью задачи является определение напряженно- деформированного состояния в пластине с центральным круговым отверстием в условиях ползучести. 1 x 2 x r θ ∞ σ ∞ σ Рис. 1. Пластина с центральным круговым отверстием Систему уравнение данной задачи формирует уравнение равновесия, условие совместности деформаций и определяющие уравнения степенного закона ползучести. Уравнение равновесия имеет вид: dσ r dr = 1 r (σ θ − σ r ) (1.1) Условие совместности деформаций принимает форму: ˙ dε θ dr = 1 r ( ˙ ε r − ˙ε θ ) (1.2) Определяющие уравнения задачи для рассматриваемого нагружения принимает вид: ˙ ε r = f (σ e ) σ e ( σ r − 1 2 σ θ ) = F r (σ r , σ θ ), (1.3) ˙ ε θ = f (σ e ) σ e ( σ θ − 1 2 σ r ) = F θ (σ r , σ θ ). (1.4) Граничные условия для данной задачи выглядят следующим образом: σ r (r = a) = 0, σ r (r = ∞) = σ ∞ , где σ ∞ — приложенные напряжения. Система из уравнений (1.1)–(1.4) представляет собой систему нелинейных обыкновенных дифференци- альных уравнений относительно четырех неизвестных ˙ ε r , ˙ ε θ , σ r , σ θ . Найти аналитическое решение сформу- лированной системы не удается. Однако можно построить приближенное аналитическое решение задачи 46 Л.В. Степанова, Р.М. Жаббаров с помощью метода квазилинеаризации. Данный метод является итерационным и на каждой итерации вычисляется приближенное решение (σ (k) r , σ (k) θ ), где k = 0, 1, 2... - номер итерации. В соответствии с ме- тодом, требуется провести линеаризацию определяющих соотношений (1.3), (1.4) путем их разложения в ряд Тейлора в окрестности (k − 1)-ого приближения и определяющие уравнения заменяются на: ˙ ε r = a r + b rr σ r + b rθ σ θ , (1.5) ˙ ε θ = a θ + b θr σ r + b θθ σ θ , (1.6) где b ij (i, j = r, θ) — коэффициенты разложения, a i (i = r, θ) — cвободные члены. При этом значения коэффициентов вычисляются по формулам, где компоненты тензора напряжений берутся из (k − 1)-го прибижения. Коэффициенты a i , b ij вычисляются по текущему приближению: a r = F r − σ r ∂F r ∂σ r − σ θ ∂F r ∂σ θ , a θ = F θ − σ r ∂F θ ∂σ r − σ θ ∂F θ ∂σ θ , b rr = ∂F r ∂σ r , b rθ = ∂F r ∂σ θ , b θr = ∂F θ ∂σ r , b θθ = ∂F θ ∂σ θ . Уравнения (1.5)–(1.6) могут быть представлены в форме (1.7) – (1.8): σ φ = 1 b φφ ( ˙ ε φ − b φr σ r − a φ ), (1.7) ˙ ε r = a r − b rφ b φφ a φ + b rφ b φφ ˙ ε φ + ( b rr − b rφ b φr b φφ ) σ r . (1.8) В качестве примера было приведено было построено решение для степенного закона f (σ e ) = Bσ n . Пред- варительно был осуществлен переход к безразмерным величинам. Скомбинировав уравнения (1.1), (1.2), с (1.7) и (1.8), получаем систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений для получения k-го приближения: d dr ( σ r ˙ ε θ ) = − 1 r − b θr b θθ 1 r 1 r 1 b θθ 1 r ( b rr − b rθ b θr b θθ ) − 1 r + b rθ b θθ 1 r σ r ˙ ε θ + + − a θ b θθ 1 r 1 r ( a r − b rθ a θ b θθ ) . Результаты решения С помощью метода квазилинеаризации получено решение задачи о всестороннем растяжении неупругой пластины с центральным круговым отверстием. Целью решения являлось получение распределений ком- понент тензора напряжений и компонент тензора скоростей деформаций ползучести. Результаты решения для n = 5 представлены на графиках (рис. 2–5). На рис. 2 и 3 проиллюстрированы графики компонент тензора напряжений σ r и σ θ , полученных с помощью метода квазилинеаризации для k = 1..4, где k – номер итерации, а также нулевые приближения. На рис. 4 и 5 изображены сравнения 4-го приближения компонент тензора напряжений с решениемиями, полоченными с помощью метода Рунге-Кутта-Фельбер- га и пакета Simulia ABAQUS. Можно отметить интересную особенность распределения компоненты σ θ . Максимальное значение компоненты достигается не на контуре кругового отверстия, а на некотором рас- стоянии от него. Результаты решения в пакете Simulia ABAQUS Student Edition В многоцелевом программном комплексе Simulia ABAQUS с целью проверки достоверности получен- ного приближенного решения было получено численное решение задачи методом конечного элемента. На рис. 6–9 показаны результаты конечно-элементного решения. Метод квазилинеаризации для решения задачи о всестороннем растяжении пластины... 47 r σ r Рис. 2. Распределение компоненты тензора напряжений σ r θ σ r Рис. 3. Распределение компоненты тензора напряжений σ θ r r σ Рис. 4. Численное решение. Распределение компоненты тензора напряжений σ r 48 Л.В. Степанова, Р.М. Жаббаров r θ σ Рис. 5. Численное решение. Распределение компоненты тензора напряжений σ θ Рис. 6. Распределение интенсивности напряжений Рис. 7. Распределение компоненты тензора напряжений σ 11 Выводы •На примере задачи о всестороннем растяжении пластины с центральным круговым отверстием рас- смотрена процедура метода квазилинеаризации. Данная задача является удобным примером, ибо для нее можно построить численное решение методом Рунге-Кутта-Фельберга. •Показано, что четыре итерации сходятся к предельному решению задачи о всестороннем растяжении пластины с центральным круговым отверстием в условиях ползучести. •Показано, что метод квазилинеаризации является эффективным методом решения нелинейных задач механики деформируемого твердого тела. Метод квазилинеаризации для решения задачи о всестороннем растяжении пластины... 49 Рис. 8. Распределение компоненты тензора напряжений σ 22 Рис. 9. Распределение компоненты тензора напряжений σ 12 Литература [1] Кудряшов Н.А. Методы нелинейной математической физики. Долгопрудный: Издательский дом ”Интеллект”, 2010. 368 с. [2] Андрианов И., Аврейцевич Я. Методы асимптотического анализа и синтеза в нелинейной динамике и меха- нике деформируемого твердого тела. 2013. 276 с. [3] Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968. 184 с. [4] Степанова Л.В. Математические методы механики разрушения. Самара: Самарский универcитет, 2006. 242 с. [5] Бойл Дж., Спенс Дж. Анализ напряжений в конструкциях при ползучести. М.: Мир, 1986. 360 с. [6] Stepanova L.V. Eigenspectra and orders of stress singularity at a mode I crack tip for a power – low medium // Comptes Rendus – Mechanique. 2008. № 1–2. P. 232–237. [7] Shifrin E.I. Symmetry properties of the recipricity gap functional in the linear elasticity // International Journal of Fracture. 2009. T. 159. № 2. C. 209–218. [8] Shifrin E.I., Shushpannikov P.S. Identification of a spheroidal defect in an elastic solid using a reciprocity gap functional // Inverse problems. 2010. T. 26. № 5. C. 055001. [9] Shifrin E.I., Shushpannikov P.S. Identification of small well-separated defects in an isotropic elastic body using boundary measurements // International Journal of Solids and Structures. 2013. T. 50. № 22–23. C. 3707–3716. [10] Shifrin E.I., Shushpannikov P.S. Reconstruction of an ellipsoidal defect an anisotropic elastic solid, using results of one static test // Inverse Problems in Science and Egineering. 2013. T. 21. № 5. C. 781–800. References [1] Kudryashov N.A. Metody nelineinoi matematicheskoi fiziki [Methods of nonlinear mathematical physics]. Dolgoprudny: Izdatel’skii dom ”Intellekt”, 2010, 368 p. [in Russian]. [2] Andrianov I., Avreytsevich Ya. Metody asimptoticheskogo analiza i sinteza v nelineinoi dinamike i mekhanike deformiruemogo tverdogo tela, 2013, 276 p. [in Russian]. [3] Bellman R.E., Kalaba R.E. Kvazilinearizatsiia i nelineinye kraevye zadachi [Quazilinearization and nonlinear boundary-value problems]. M.: Mir, 1968, 184 p. [in Russian]. 50 Л.В. Степанова, Р.М. Жаббаров [4] Stepanova L.V. Matematicheskie metody mekhaniki razrusheniia [Mathematical methods of fracture mechanics]. Samara: Samarskii universitet, 2006, 242 p. [in Russian]. [5] Boyle J.T., Spence J. Analiz napriazhenii v konstruktsiiakh pri polzuchesti [Stress analysis for creep]. M.: Mir, 1986, 360 p. [in Russian]. [6] Stepanova L.V. Eigenspectra and orders of stress singularity at a mode I crack tip for a power – low medium. Comptes Rendus – Mechanique, 2008, №1–2, pp. 232–237 [in English]. [7] Shifrin E.I. Symmetry properties of the recipricity gap functional in the linear elasticity //International Journal of Fracture, 2009, Vol. 159, no. 2, pp. 209–218 [in English]. [8] Shifrin E.I., Shushpannikov P.S. Identification of a spheroidal defect in an elastic solid using a reciprocity gap functional //Inverse problems, 2010, Vol. 26, no. 5, p. 055001 [in English]. [9] Shifrin E.I., Shushpannikov P.S. Identification of small well-separated defects in an isotropic elastic body using boundary measurements //International Journal of Solids and Structures, 2013, Vol. 50, no. 22-23, pp. 3707–3716 [in Russian]. [10] Shifrin E.I., Shushpannikov P.S. Reconstruction of an ellipsoidal defect an anisotropic elastic solid, using results of one static test //Inverse Problems in Science and Egineering, 2013, Vol. 21, no. 5, pp. 781–800 [in English]. L.V. Stepanova, R.M. Zhabbarov 2 QUAZILINEARIZATION METHOD FOR THE SOLUTION TO THE PROBLEM OF PLATE WITH THE CENTRAL CIRCULAR HOLE UNDER CREEP REGIME The approximation solution of the problem for an infinite plate with the circular hole under creep regime is obtained by the quazilinearization method. Four approximations of the solution of the nonlinear problems are found. It is shown that with increasing of the number of approximations the solution converges to the limit numerical solution. It is worth to note that the tangential stress reaches its maximum value not at the circular hole but at the internal point of the plate. It is also shown that quazilinearization method is an effective method for nonlinear problems. Key words: quazilinearization method, plate comprehensively stretching, stress field in the neighborhood of crack tips, nonlinear problems, Beyley-Norton’s power law, analytical solution. Статья поступила в редакцию 29/VI/2017. The article received 29/VI/2017. 2 Stepanova Larisa Valentinovna (stepanovalv@samsu.ru), Zhabbarov Ramil Muritovich (were-wolff@yandex.ru), Department of Mathematical Modelling in Mechanics, Samara National Research University, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation. |