|
|
Рабочая программа дисциплины математический анализ направление подготовки 010100 Математика
Б) Семинары, коллоквиумы и контрольные работы
На практических занятиях используется учебно-методическая литература, специально разработанная для этого курса.
Для оценки успеваемости в течение семестра проводятся устные коллоквиумы по теоретическому материалу и контрольные работы по практическому материалу, без использования вспомогательных материалов.
5. Образовательные технологии
В курсе применяется традиционная лекционно-семинарская система обучения
При разработке образовательной технологии основной упор сделан на соединение активной и интерактивной форм обучения, с переносом «центра тяжести» в интерактивную форму обучения. Технологическая цепочка изучения курса построена по следующей схеме.
Лекционный материал включает в себя все темы, перечисленные в структуре курса. Курс в существенной степени основан на оригинальных методиках и учебно-методических разработках кафедры математического анализа НГУ. Изложение лекций предполагает диалог со слушателями. В начале каждой лекции выделяется 10 минут для напоминания содержания предыдущей лекции, в конце каждой из двух частей лекции по 5 минут для ответов на вопросы студентов. Дополнительно студент может получить разъяснения преподавателя по электронной почте или лично, в специально отведенное время для консультаций. Консультации проводятся лектором раз в неделю в фиксированное время.
Лекционное изложения материала сочетается с выполнением семинарских заданий.
Самостоятельная работа состоит в выполнении домашних заданий и подготовки к коллоквиумам.
В целом, объем занятий, проводимых в интерактивной форме, составляет порядка 70 процентов от объема всех занятий.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
Для оценки успеваемости в течение семестра проводятся коллоквиумы по теоретическому материалу и контрольные работы по практическому материалу, без использования вспомогательных материалов. Студентам предлагаются задачи повышенной сложности, решение которых в течении семестра влияет на итоговую аттестацию.
Аттестация студентов по дисциплине «Математический анализ» проводится по классической схеме: недифференцированный зачет в каждом семестре и экзамен.
Разработана система оценки знаний студентов на основе письменных потоковых контрольных и устного экзамена. Для допуска к устной части экзамена студент должен продемонстрировать свои знания основных понятий и практические навыки на письменных контрольных работах в середине и в конце семестра. Каждый билет состоит из трёх частей: в первой части студент должен доказать простые утверждения, во второй – решить задачу на понимание теоретического материала и в третьей части студент должен доказать одну из основных теорем курса. На оценку «отлично» студент должен правильно выполнить все задания, на оценку «хорошо» справиться с первыми двумя частями билета и знать основные определения и формулировки касающиеся третьей части, на оценку «удовлетворительно» студент должен хотя бы и с помощью преподавателя справиться с 1-й частью билета и знать основные понятия и теоремы курса.
Примерный перечень экзаменационных вопросов.
1-й семестр.
Определение точной верхней sup A и точной нижней inf A границ множества A. Теорема об аксиоме непрерывности и существовании супремума.
Целая часть вещественного числа. Теорема о плотности рациональных чисел.
Предел последовательности. Лемма о предельном переходе в неравенствах. Теорема о зажатой последовательности.
Верхний и нижний пределы последовательности. Теорема о наибольшем и наименьшем частичных пределах.
Критерий Коши сходимости последовательности.
Необходимый признак сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда.
Признак Даламбера сходимости ряда.
Признак Коши сходимости ряда
Критерий Коши сходимости ряда. Признак сравнения.
Определение экспоненты как предела последовательности.
Доказательство основных свойств функции exp(x).
Арифметические свойства предела функции. Доказать свойства для суммы и модуля.
Теорема о зажатой функции.
Критерий Гейне существования предела функции.
Критерий Коши существования предела функции.
Теорема о множестве точек разрыва монотонной функции.
Теорема о пределе монотонной функции.
Понятие и свойства о-малого.
Предел функции. Лемма о предельном переходе в неравенствах.
Теорема Вейрштрасса об экстремумах непрерывной функции.
Теорема Больцано --- Коши о промежуточных значениях.
Следствия из теоремы Больцано --- Коши о промежуточных значениях. Признак строгой монотонности. Теорема об обратной функции.
Определение предельной точки. Теорема о замкнутости множества предельных точек.
Определение открытого и замкнутого множеств. Теорема о замкнутости или открытости дополнения.
Теорема Коши --- Кантора о вложенных отрезках.
Определение компактного множества. Принцип Бореля --- Лебега о компактности.
Определение счётного множества. Теорема о счётности декартова произведения и объединения счётных множеств.
Равномощность множеств. Свойства. Теорема Кантора о несчётности отрезка.
Определение производной и её свойства.
Производная композиции функции.
Производная обратной функции.
Определение локального экстремума. Теорема Ферма.
Теорема Ролля.
Теорема Лагранжа и теорема о приращении функции.
Критерии строгой и нестрогой монотонности функции.
Многократное дифференцирование композиции функций.
Многократное дифференцирование произведения. Формула Лейбница.
Выпуклость функции. Неравенство Йенсена.
Дифференциальный критерий выпуклости и следствие о касательных.
Неравенства Йенсена и Юнга.
Неравенства Гёльдера и Минковского.
Равномерная непрерывность. Модуль непрерывности. Условие Липшица.
Теорема Кантора о равномерной непрерывности.
Правило Лопиталя.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Преобразование Абеля и признак Дирихле сходимости ряда.
Понятие суммируемого семейства. Связь с абсолютной сходимостью ряда.
Теорема Римана о перестановках ряда.
Теорема об умножении рядов.
Экзаменационные темы (2-й семестр).
Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица основных интегралов.
Замена переменных и интегрирование по частям.
Лемма о разложении на простейшие дроби.
Первообразные тригонометрических функций и некоторых алгебраических функций.
Свойства интеграла Римана: монотонность, линейность, аддитивность.
Критерий интегрируемости в терминах колебаний.
Интегрируемость непрерывной и монотонной функций.
Дифференцирование функции верхнего предела.
Формула Ньютона –Лейбница.
Теорема о сходимости интегральных сумм к интегралу Римана.
Первая и вторая теоремы о среднем. Неравенство Чебышёва.
Формула Тейлора с остатком в интегральной форме.
Аддитивная функция ориентируемого промежутка и интеграл. Длина пути.
Площади геометрических фигур. Объем тела вращения.
Определения, примеры и основные свойства несобственных интегралов.
Критерий сходимости несобственных интегралов.
Признаки сходимости Абеля и Дирихле.
Интегральный признак сходимости ряда.
Определение и признаки сходимости бесконечного произведения.
Формула Валлиса.
Формула Стирлинга.
Поточечная и равномерная сходимости. Критерий Коши равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости.
Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости.
Теорема о перестановке пределов.
Равномерная сходимость и непрерывность.
Теорема Дини о равномерной сходимости монотонной последовательности непрерывных функций.
Теорема об интегрировании ряда.
Теорема о дифференцировании суммы ряда.
Радиус сходимости степенного ряда.
Формула Коши - Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.
Операции над степенными рядами.
Теорема Абеля о непрерывности степенного ряда на границе круга сходимости.
Ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой функции.
Равномерное приближение непрерывных функций многочленами. Теорема Вейерштрасса.
Неполнота пространства интегрируемых по Риману функций с интегральной нормой. Конструкция канторовских множеств. Их свойства.
Топологические свойства метрического пространства.
Понятие предела функции. Эквивалентные определения. Критерий Гейне.
Теорема о суперпозиции.
Элементарные теоремы о продолжении в равенствах и неравенствах.
Эквивалентные определения компактных множеств в метрических пространствах. Компактные множества в конечномерных евклидовых пространствах.
Теорема о непрерывном образе компактного множества.
Теорема Вейерштрасса об экстремальных значениях.
Теорема Кантора. Теорема о продолжении равномерно непрерывных отображений, определенных на плотном множестве.
Пополнение метрического пространства.
Нормы линейных отображений.
Теорема об эквивалентности норм в конечномерном нормированном пространстве.
Экзаменационные темы (3-й семестр).
Дифференциал и частные производные. Координатное представление дифференциала. Отображения.
Непрерывность частных производных и дифференцируемость функции в точке.
Дифференцирование суперпозиции дифференцируемых отображений.
Теорема о конечных приращениях.
Теорема Эйлера об однородных функциях.
Симметричность производных высших порядков.
Высшие дифференциалы; их координатное представление.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Порядок касания функций в точке. Полиномиальные разложения суммы, произведения и композиции.
Теорема об обратной функции.
Теорема о неявной функции.
Теорема о ранге отображения.
Достаточное условие функциональной независимости системы гладких функций.
Гессиан вещественной функции; его координатное представление. Достаточное условие локального экстремума.
Многообразия в Rn; Определение и примеры.
Строение множества регулярных решений гладкой системы уравнений.
Строение множества регулярных решений гладкой системы, состоящей из уравнений и одного неравенства.
Касательные векторы (кинематическое определение). Касательное пространство и контингенция; их свойства.
Действие гладкого отображения на касательные векторы (дифференциал); корректность определения; основные свойства.
Строение касательного пространства гладкого многообразия.
Составление уравнений касательной и контингенции.
Векторы, ортогональные к подмножеству; Ортогональ (нормаль). Теорема о градиентах.
Геометрический вариант леммы Ферма об экстремумах. Метод множителей Лагранжа поиска условного экстремума.
Сегменты (прямоугольники) пространства Rn; мера сегмента; лемма о дроблении.
Ступенчатые функции. Лемма об операциях над ступенчатыми функциями; примеры.
Ступенчатые функции. Примитивный интеграл; корректность определения; примитивная теорема Фубини.
Свойства примитивного интеграла (линейность, ограниченность, принцип исчерпывания).
Интегральная норма произвольной функции; ее свойства.
Интегрируемые функции. Интеграл; Корректность определения. Интегрирование по подмножеству. Простейшие свойства интеграла.
Пренебрежимые функции и множеств. Критерий пренебрежимости функции. Лемма о пренебрежимых изменениях.
Интегрируемые функции. Интеграл; корректность определения. Лемма о сходимости по норме.
Теорема о нормальных рядах.
Теорема Беппо Леви; "контрпримеры".
Лемма о верхней огибающей; "контрпример".
Теорема Лебега о мажорируемой сходимости ; "контрпримеры".
Необходимое условие интегрируемости; измеримые функции. Операции над измеримыми функциями.
Теорема о срезке. Признак интегрируемости Лебега.
Теорема об измеримости предела.
Связь интегралов Римана и Лебега.
Лемма о повторной норме.
Теорема Фубини. Теорема Тонелли. Пример несовпадения повторных интегралов.
Теорема о замене переменных.
.
Экзаменационные темы (4-й семестр).
Счётная аддитивность интеграла и меры.
Геометрическая интерпретация меры (внешняя мера).
"Пример" неизмеримого множества
Теорема об измеримости лебеговских множеств. Измеримость открытых и замкнутых подмножеств пространства Rn.
Интеграл как мера подграфика; формула Кавальери -- Лебега.
Обобщённая теорема Лебега. Основной признак непрерывности интеграла как функции параметра.
Основное правило дифференцирования интеграла как функции параметра.
Гамма-функция Эйлера; область определения; производные; выпуклость.
Признак непрерывности несобственного интеграла.
Правило дифференцирования несобственного интеграла.
Правило интегрирования несобственного интеграла. Вычисление интеграла Дирихле. Правило дифференцирования свёртки.
дельта-образные последовательности. Теорема о сходимости усреднений.
Лемма о сглаживании индикатора. Теорема об аппроксимации бесконечно гладкими функциями.
Наблюдения, приводящие к определению площади поверхности; лемма об израсходованной краске.
k-мерный объём k-измеримого лоскута в Rn; корректность определения.
Параметрическая формула интегрирования (формулировка. Интеграл в полярных координатах.
Интегральные представления бета-функции Эйлера. Объёмы сфер и шаров.
Дифференциальные формы степени k; операции сложения, умножения на функцию, внешнее умножение 1-форм; закон коммутативности.
Признак совпадения k-форм; теорема о координатном представлении диф.формы. Внешнее умножение диф.форм.
Внешнее дифференцирование диф.форм; его свойства.
Действие гладкого отображения на диф.формы; его свойства;запись в координатах.
Интеграл 1-формы по ориентированной дуге; корректность определения; основные свойства. Интеграл по цепи ориентированных дуг.
Формула Грина. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов. Векторные поля и диф.формы. Градиент,дивергенция, ротор. Основные формулы векторного анализа.
Интеграл диф.формы по левой переменной; формула гомотопии.
Замкнутые и точные формы; лемма Пуанкаре.
Ориентация гладкого многообразия. Способы задания ориентации. Индуцированная ориентация края. Отображения, сохраняющие ориентацию.
Интеграл Диф.формы по распрямляемому ориентированному многообразию; корректность определения;пять основных свойств операции интегрирования диф.форм.
Интеграл диф.формы по ориентированному многообразию;корректность определения.
Лемма о разложении единицы.
Формула Стокса (доказательство для простейших многообразий).
Теорема о плёнке. Теорема Брауэра о неподвижной точке.
Формула Гаусса - Остроградского.
Классическая формула Стокса.
Определение ортогональных систем. Коэффициенты Фурье относительно ортогональной системы в гильбертовом пространстве.
Тождество и неравенство Бесселя.
Полнота тригонометрической системы в L2[-π, π].
Теорема о полноте пространства L2.
Равенство Парсеваля.
Лемма Римана - Лебега. Ядро Дирихле, его свойства. Принцип локализации.
Условие Дини. Достаточное условие сходимости ряда в точке. Изопериметрическое свойство круга.
Определение преобразования Фурье и интеграла Фурье. Свойства преобразования Фурье. Достаточные условия представимости функции ее интегралом Фурье.
Гладкость функции и скорость убывания ее преобразования Фурье.
Пространство быстроубывающих функций (свойства).
Формула обращения. Равенство Парсеваля.
Программа практических занятий
1-й семестр
1. Математическая индукция п. 2.1, 2.2.
2. Теория множеств п. 1.
3. Понятия супремума и инфимума п. 3.
4. Определение и арифметические свойства предела последовательности п. 5.1.
5. Монотонные и рекуррентно заданные последовательности п. 5.2.
6. Контрольная работа.
7. Критерий Коши п. 5.4.
8. Ряды из положительных слагаемых п. 6.1.
9. Число e и функция exp(x). п. 5.5.
10. Частичные пределы. п. 5.3.
11. Определение и свойства предела функции. Классические пределы. п. 7.2.
12. Асимптотические выражения и вычисление пределов п. 7.3.
13. Контрольная работа.
14. Непрерывные функции. Определение, арифметические свойства.
Разрывы 1-го и 2-го рода п. 7.4.
15. Свойства непрерывных функций. Теоремы Вейерштрасса и Больцано --
Коши п. 7.4.
16. Топология вещественной прямой п. 7.1. (не обязательный)
17. Понятие мощности множества п. 4. (не обязательный)
18. Определения и арифметические свойства производной. Производные
элементарных функций. п. 9.1.
19. Исследование дифференцируемости функций "по определению".
Дифференциал п. 9.1.
20. Свойства дифференцируемых функций. Теорема Лагранжа п. 9.2.
21. Неравенства и локальные экстремумы п. 9.3.
22. Равномерная непрерывность п. 10. (не обязательный)
23. Контрольная работа.
24. Производные обратной и неявно заданных функций. Производные
высших порядков п. 9.4.
25. Выпуклость функций. Неравенство Йенсена п. 11.
26. Построение кривых и графиков функций п. 12.
27. Формула Тейлора п. 13.
28. Абсолютная и условная сходимость рядов. Признаки Абеля и Дирихле п. 6.2.
29. Перестановки рядов. Теорема Римана п. 6.3. (не обязательный)
30. Степенные ряды. Радиус сходимости. п. 15
31. Контрольная работа.
2-й семестр
1.-6. Первообразные. Интегрирование по частям и замены переменных. п. 18.
7. Контрольная работа
8. Интеграл Римана. Свойства. п. 20.2.
9. Вычисление определенных интегралов. п.20.3
10-11. Теоремы о среднем. Оценки интегралов. Оценки конечных сумм. п. 20.4.
12. Вычисление длин кривых, площадей и объёмов. п. 20.5., п. 20.6
13. Несобственный интеграл. Признак сравнения. п. 21.
14. Признаки Абеля и Дирихле. п. 21.
15. Контрольная работа.
16. Бесконечные произведения. Сходимость. Формула Валлиса. п. 17.
17. Признаки сходимости бесконечных произведений. п. 17.
18. Равномерная сходимость последовательностей. п. 14.
19. Признаки равномерной сходимости рядов. п. 14.
20-21. Дифференцируемость и интегрируемость рядов. п. 14.
22. Степенные ряды. Радиус сходимости. п. 15.
23. Ряд Тейлора и аналитические функции п. 15.
24. Контрольная работа.
25.-27. Метрические пространства. Топологические понятия. п. 22.
28. Нормированные пространства. п. 25.
29. Пределы функций многих переменных. Отдел VI п.
30. Контрольная работа.
3-й семестр
1. Предел функции многих переменных.
2-4. Дифференциал и его свойства.
5-6.Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.
7. Контрольная работа
8-9.Дифференцирование неявной функции.
10-11.Замена переменных в дифф. выражениях.
11. Контрольная работа
12-13. Экстремум функции во внутренней точке
14.-15. Многобразие. Касательные и нормали.
16-18.Условный экстремум
18. Контрольная работа
19-20.Теорема Фубини. Двойной интеграл.
21-22.Тройной интеграл.
23-29.Замена переменых в интеграле.
30-31.Многократные интегралы. Принцип Кавальери.
32. Контрольная работа
4-й семестр
1-3.Интегралы зависящие от параметра.
4-5.Специальные функции.
6. Контрольная работа
7.Интерал по кривой.
8-9.Интеграл по поверхности.
10.Свёртка и аппроксимация.
11. Контрольная работа
12.Внешние формы. Свойства.
13. Дифференцирование внешних форм.
14.Элементы векторного анализа.
15-16.Интегрирование 1-форм.
17. Контрольная работа
18.Формула Грина.
19.Ориентация многообразия.
20-21.Интегрирование k-форм.
22-23.Формула Стокса.
24. Контрольная работа
25-26.Разложение в ряд Фурье.
27.Сходимость ряда Фурье.
28.Интеграл Фурье.
29-30.Преобразование Фурье.
31. Контрольная работа
Параграфы указаны в задачниках [6], [7-8].
Текущий контроль. В течение изучения дисциплины проводятся семинары, где студенты учатся применять полученные на лекциях теоретические знания при решении задач. Выполнение домашних заданий, решение контрольных работ и сдача коллоквиумов являются обязательными для всех студентов. Результаты текущего контроля служат основанием для выставления оценок в ведомость контрольной недели на факультете.
Промежуточный контроль. Для контроля усвоения дисциплины учебным планом предусмотрено 4 экзамена в конце каждого семестра. К экзамену допускаются студенты, получившие зачет на семинарских занятиях. Экзамен проводится в письменном (потоковые контрольные) и устном виде (см. выше).
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля) «Конспект лекций» url: http://math.nsc.ru/
matanalyse/
»
а) Основная литература:
В. А. Зорич. Математический анализ. Т. 1, 2. – М.: МЦНМО, 2007.
Ю. Г. Решетняк. Курс математического анализа. Т. 1, 2.– Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2001.
Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1—3. – М.: Лань, 2009.
Водопьянов С.К. Учебные пособия.
М. Спивак. Математический анализ на многообразиях. – М. 2005.
Б. П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: 2009.
Л. Д. Кудрявцев, А. Д. Кутасов, В. И. Чехлов, М. И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Т. 1—3. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2003.
А. В. Грешнов, С. А. Малюгин, В. Н. Потапов. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Семестр 1. Новосибирск: изд. НГУ, 2008.
А. В. Грешнов, С. А. Малюгин, В. Н. Потапов. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Семестр 2. Новосибирск: изд. НГУ, 2010.
И.А. Шведов. Компактный курс математического анализа. Ч.1. и Ч.2., 2-е изд. Новосибирск: Изд-во НГУ, 2003.
б) Дополнительная литература:
У. Рудин. Основы математического анализа. Изд.-во Лань, С.-Пб,2004.
М. И. Дьяченко, П. Л. Ульянов. Мера и интеграл. – М.: Факториал Пресс. 2002.
Ж. Дьедоне. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964.
В. И. Арнольд. Математические методы классической механики. – М.: Едиториал УРСС. 2003.
Б. Гелбаум, Дж. Олмстед
Дж. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967.
С.М. Львовский Лекции по математическому анализу, М.:Изд-во МЦНМО.
в) Программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
Программа курса, билеты – url: http://math.nsc.ru/matanalyse/
8.Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
Доска, мел, тряпка.
Автор:_________________________________ Потапов В.Н.
к.ф.-м.н. доцент ММФ НГУ
Рецензент (ы) _________________________
Программа одобрена на заседании Методической комиссии ФИТ
от ___________ года, протокол № ________. |
|
|
Скачать 75.9 Kb.