ЭCбз-21-1 76 Матаевский С.К.. Работы Индивидуальное задание вариант 76. Номер варианта по дисциплине Прикладная физика в электроэнергетике Наименование учебной дисциплины
 Скачать 0.9 Mb.
|
3. Магнитное поле постоянного токаОсновные формулы Закон Био – Савара – Лапласа. Вектор магнитной индукции dB = 0dl r I/4π r, где dB – магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника с токомi; – магнитная проницаемость среды, в которой расположен проводник с током; 0 – магнитная постоянная (0 = 4 10-7 Гн/м); dl – вектор, равный по модулю длине dlпроводника и совпадающий по направлению с током (элемент проводника); I – сила тока; r – радиус-вектор, проведенный от середины элемента проводника к точке, магнитная индукция в которой определяется. Модуль вектора dB выражается формулой dB = 0dlIsinα/4π r2, где  – угол между векторами dl и r. Магнитная индукция В связана с напряжённостью Н магнитного поля (в случае однородной, изотропной среды) соотношением B = 0 Н или в вакууме B0 = 0 Н. Магнитная индукция в центре кругового проводника с током I B = 0 I/ (2R), где R — радиус кривизны проводника. Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током I,   Рис. 3.1 B = 0 I/ (2πr), где r – расстояние от оси проводника. Магнитная индукция поля, создаваемого на расстоянии r0 от отрезка проводника с током I B = 0 I (cosφ1 - cosφ2) / (4π r0), Обозначения ясны из рис. 3.1, а). Вектор индукции В перпендикулярен плоскости чертежа, направлен к нам и поэтому изображён точкой. При симметричном расположении концов проводника относительно точки, в которой определяется магнитная индукция (рис. 3.1, б), значения косинусов равны, а знак разный, то есть  и, следовательно, B = 0 Icosφ/ (2πr0) Магнитная индукция поля, создаваемого соленоидом в средней его части (или тороида на его оси),  где п — число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; I– сила тока в одном витке. Принцип суперпозиции магнитных полей: магнитная индукция В результирующего поля равна векторной сумме nмагнитных индукций В1, В2, ..., Вn складываемых полей, т. е. В = Σ Вi, где суммирование ведётся по всем nполям. В частном случае, при наложении двух полей с магнитной индукцией В1 +В2, результирующая индукция Вравна В = В1 +В2 а модуль магнитной индукции равен  где φ – угол между векторами В1 и В2. Примеры решения задач   Рис. 3.2Пример 3.1. Два параллельных бесконечно длинных провода (рис 3.2), по которым текут в одном направлении токи I = 60А, расположены в точках D и С. Расстояние между проводами d = 10см. Определить магнитную индукцию В в точке А, отстоящей от одного проводника на расстоянии г1 = 5 см и от другого – на расстоянии r2 = 12см. Решение. Для нахождения магнитной индукции в указанной точке А (рис. 3.2) определим направления векторов индукций В1 и В2 полей, создаваемых каждым проводником в отдельности, и сложим их геометрически, т. е. B = B1+B2, где B1 и B2 вектора. Модуль индукции найдём по теореме косинусов, согласно которой квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон плюс или минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Знак «+» надо брать, когда противолежащий угол, как в нашем случае, тупой, а знак «-», когда угол острый. Итак, имеем: B = (B1+B2+2B1B2cosα)0.5. (1) Значения индукций B1и В2 выражаются через силу тока I и расстояния r1 и r2 от провода до точки, индукцию в которой мы вычисляем, имеем: B1 = 0I / (2π r1), B2 = 0I / (2π r2), где 0 = 4 10 -7 Гн/м. Подставляя выражения B1и В2в формулу (1) и вынося 0I / (2π) за знак корня, получим  (2)Убедимся в том, что правая часть этого равенства даёт единицу магнитной индукции (Тл):  Откуда следует, что  Вычисляем cos. Заметим, что = ∠ADC. Поэтому по теореме косинусов запишем d2  , где d– расстояние между проводами. Отсюда .Подставив данные, вычислим значение косинуса: cos = 0,575. Подставив в формулу (2) значения 0, I, r1, r2и cos , найдём В = 308,54 мкТл.   Рис 3.3Пример 3.2. По двум длинным прямолинейным проводам, находящимся на расстоянии r = 5 см друг от друга в воздухе, текут токи I1 = 10А, I2 = 12А. Определить магнитную индукцию Вполя, создаваемого токами в точке а = 0,55rот левого провода для случаев: 1) провода параллельны, токи текут в одном направлении (рис. 3.3, а); 2) провода параллельны, токи текут в противоположных направлениях (рис. 3.3, б); 3) провода перпендикулярны, направление токов указано на рис. 3.3, в, в этом случае точка а лежит на диагонали квадрата со стороной r на расстоянии а = 0,55rот вертикального провода. Решение: Результирующаяиндукция магнитного поля равна векторной сумме: B = B1+B2, где B1 – индукция поля, создаваемого током I1;В2 – индукция поля создаваемого током I2. Если B1 и В2 направлены по одной прямой, то векторная сумма может быть заменена алгебраической суммой: В = В1+В2. (1) При этом слагаемые В1и В2должны быть взяты с соответствующими знаками. Вычислим эти индукции по формуле B1 = 0I1/(2a), B2 = 0I2/(2( r - a)), (2) где 0 = 4 10 -7 Гн/м. Подставив значения величин в формулs (2), найдём модули В1 и В2: В1 = 72,73 мкТл, В2 = 106,67 мкТл. 1-й случай. Векторы B1 и В2 направлены по одной прямой (рис. 3.3, а); следовательно, результирующая индукция В определяется по формуле (1). Приняв направление вверх положительным, вниз – отрицательным, запишем: В1 = -72,73 мкТл, В2 = 106,87 мкТл. Подставив в формулу (1) эти значения В1и B2, получим В = В1+В2 = 33,94. 2-й случай. Векторы В1 и В2 направлены по одной прямой в одну сторону (рис. 3.3, б) и их значения отрицательны.. Подставив в формулу (1) значения B1 и В2 получим В = В1+В2 = -179,4 мкТл. 3-й случай. Векторы индукций магнитных полей, создаваемых токами в точке а = 0,55rот вертикального провода взаимно перпендикулярны (рис. 3.3, в). Результирующая индукция по модулю и направлению является диагональю прямоугольника, построенного на векторах В1 и В2, создаваемые токами I1, I2, соответственно. Вектор В1 = 0I1/(2ar). Подставив значения, получим В1 = 72,73 мкТл. Если подумать, то для индукции В2 справедлива формула (2), то есть В2 = 106,67 мкТл.   Рис. 3.4 По теореме Пифагора найдём  (3)Подставив в формулу (3) значения В1и В2и вычислив, получим B = 129,11 мкТл. Пример 3.3. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного прямого провода, в точке, равноудалённой от концов отрезка и находящейся на расстоянии r0 = 20 см от середины его (рис. 3.4). Сила тока I, текущего по проводу, равна 30 А, длина l отрезка равна 60 см. Определить во сколько раз магнитная индукция В больше в точке r0/2, то есть на половине расстоянияr0. Решение. Для определения магнитной индукции поля, создаваемого отрезком провода, воспользуемся законом Био –Савара–Лапласа:  . (1)Прежде чем интегрировать выражение (1), преобразуем его так, чтобы можно было интегрировать по углу . Для этого выразим приращение длины проводника, то есть элемент dl,через приращение угла d. Согласно рис. 3.4, запишем  Подставим это выражение dl в формулу (1), имеем:  .Но r – величина переменная, зависящая от и равная  . Подставив значение rв предыдущую формулу, найдём . (2)Чтобы определить магнитную индукцию поля, создаваемого отрезком проводника, проинтегрируем выражение (2) в пределах от 1 до 2:  (3)Заметим, что при симметричном расположении точки A относительно отрезка провода cos 2 = – cos 1. С учётом этого формула (3) примет вид  (4)Из рис. 3.4 следует  .Подставив выражение cos 1 в формулу (4), получим  . (5)Подставим числовые значения в формулу (5) и произведём вычисления:   На половине расстояния r0/2 магнитная индукция В в 2,28 раза больше. Задача 3.1
|