Перевод статей(Сницерук Павел). Расчет дифракции шести пучков в слоистых средах с использованием полиномов основных миноров
 Скачать 353.73 Kb.
|
|
Заключение. Передаточная матрица T зависит от произведения частоты на толщину слоистой структуры: параметр распространения κ = νd. Поэтому каждый из графиков, представленных в этой работе, соответствует ряду значений толщинаd (связанных с частотой ν = κ / d). Зависимости Cij = Cij (θ0) могут иметь резко выраженные крайности для некоторых значений α и νd. Аналитическое определение положения и значения этих экстремумов спектрума на шестиволновой дифракции, по-видимому, невозможно. Численное моделирование спектров позволяет решать такие задачи. Это моделирование должно основываться на точном расчете матрицы переноса. Метод полиномов главных несовершеннолетних (MPPM) дает решение последней задачи. Этот метод позволяет рассчитать матрицу переноса с любой заданной точностью. Аналогичный подход может быть использован при расчете матрицы переноса порядка n> 6 (например, термоупругие, 23 электромагнитные, упругие, 24 волны в анизотропных слоистых средах). Легко доказать, что если тогда волновое поле финализа толщины определяется дифференциальным уравнением вида (8) с заданной матрицей n-го порядка W, то матрица переноса T может быть найдена по формуле T = [exp (Wdm)] m = [n − 1∑h = 0 (Wdm) ^h(1/h! + N + N1∑j = n1j! H∑g = 0pn − h + gBj − 1 − g (n) )]^m, (54) где m≥1 - минимальное целое число что обеспечивает неравенство η2 = 3n − 12ωminvjdm <1. pm (m = 1, ..., n) - коэффициенты характеристического уравнения матрицы Wd / m, а полиномы Bg (n) определяются рекуррентными соотношениями B0 (n) = ··· = Bn-2 (п) = 0; B n-1 (п) = 1; Bg (п) = nΣh = 1phBg-ч (п), g≥n. Относительная ошибка усечения при расчете элементов матрицы переноса по формуле (54) не превышает εm = mηN1 + 12 (N1 + n) N1∏l = 1 (n + l) и может быть сделана сколь угодно малой путем увеличения числа N1. Чтобы уменьшить ошибки округления, нужно взять m = 2j и рассчитать их степень матрицы exp (Wd / m) путем j-кратного возведения в квадрат. Этот подход к вычислению exp (Wd) по крайней мере для матрицы общего вида W порядка n≤10 равен более точный и надежный, чем другие известные алгоритмы, включая аппроксимацию Pad ée, которая работает с нормальными относительными погрешностями. Для n> 10 реализация MPPM при расчете exp (Wd / m) требует большего умножения матриц, что увеличивает ошибки округления по сравнению с алгоритмом 2.3. Список литературы 1. М. М. Юинг, В. С. Джардецки и Ф. Пресс. Эластичные волны в слоистых средах (McGraw-HillBook Company, Нью-Йорк, 1957) . 2. F. Abel ées, Recherches sur la распространение электромагнитных сигналов sinusoidals dans lesmilieux stratifi ées. Применение Aux Conches фарш, Ann. Phys.5 (1950) 596–640 706–782, 3. С. В. Елисеева, Д. И. Семенцов, М. М. Степанов, Фотонно-кристаллические свойства одномерной продольно-намагниченной периодической структуры, Tech. Phys.55 (2) (2010) 251–257. 4. К. Аки и П. Г. Ричардс, Количественная сейсмология (University Science Books, Sausalito, CA, 2002) . 5. Т. В. Лаптева, О. С. Тарасенко, С. В. Тарасенко. Магнитоупругое взаимодействие в распространяющемся волновом шераре в одномерном акустически гиротропном магнитном фононном кристалле, Phys. SolidState49 (7) (2007) 1268–1274. 6. Р. Цу и Л. Есаки, Туннелирование в конечной сверхрешетке, Appl. Phys. Lett.22 (1973) 562–564, 7. W. Trzeciakowski, Граничные условия и интерфейсные состояния в гетероструктурах, Phys. Rev. B38 (6) (1988) 4322–4325. 8. В. Т. Томсон, Передача упругой волны через слоистый твердый материал, J. Appl. Phys.21 (1950) 89–93. 9. И. Абдулхалим, Метод аналитического распространения матрицы для анизотропных магнитооптических слоистых сред, J. Оптик Чистое приложение Опт.2 (2000) 557–564. 10. С. Крампин, Обзор волнового движения в анизотропных и растрескавшихся упругих средах, Wave Motion3 (1981) 343–391. 11. Л. М. Бреховских, О. А. Годин, Акустика слоистых сред (Springer-Verlag, Berlin, 1990) . 12. C. Potel и J.-F. де Бельлеваль, Акустическое распространение в периодически анизотропных многослойных средах: метод решения численных неустойчивостей, J. Appl. Phys.74 (1993) 2208-2215. 13. C. Moler и C. Van Loan, 19 сомнительных способов вычисления экспоненты матрицы, двадцать пять лет спустя, SIAM Rev.45 (1) (2003) 3–49. 14. Ю.. Н. Беляев, О вычислении функций матриц, Матем. Примечания 94 (2) (2013) 177–184. 15. Ю.. И. Сиротин, М. П. Шаскольская. Основы кристаллофизики (Наука, М., 1979). 16.Ю. Н. Беляев, Передаточная матрица шестого порядка, в учеб. Int. Conf. Дни дифракции (IEEE, Санкт-Петербург, 2014), с. 37–42. 17. G. Sansone, Equazioni Differenziali nel Campo Reale, Parte1 (Bologna, 1948) . 18. A. Angot, Comple éements de mama éematiques: Использование технических средств связи и электротехники (Masson, Paris, 1982) . 19. Н. Дж. Хайам, метод масштабирования и возведения в квадрат для матричной экспоненты, SIAMRev.51 (2009) 747–764. 20. Ф. Р. Гантмахер. Теория матриц. 1 (Chelsea, New York, 1959) . 21. Ю.. Н. Беляев, Коэффициенты преобразования упругой волны анизотропным слоем, Appl. Математика Sci.9 (2015) 5541–5549. 22. E. Dieulesaint и D. Royer, Ondes ́elastiques dans les solides. Приложение au traitment dusignal (Masson, Paris, 1974) . 23. М. Д. Шарма, Существование продольных и поперечных волн в анизотропных термоупругих средах, Acta Mech.209 (2010) 275–283. 24. С. Х. Го, Термо-электромагнитные волны в пьезоэлектрических телах, Acta Mech.219 (2011) 231–240 Ссылка на статью: https://vk.com/doc49873750_494841583?hash=9601c18da570167073&dl=4bed212354fd8cb213 Прикладные математические науки, вып. 9, 2015, № 111, 5541 - 5549 ООО ХИКАРИ, www.m-hikari.com http://dx.doi.org/10.12988/ams.2015.57465 Коэффициенты преобразования упругой волны по анизотропному слою Юрий Николаевич Беляев Сыктывкарский университет, Сыктывкар-167001, Россия Copyright cс 2015 Юрий Николаевич Беляев. Эта статья распространяется под Creative Лицензия Commons Attribution, которая разрешает неограниченное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе, при условии правильного цитирования оригинальной работы. Аннотация Когда продольная или сдвиговая упругая волна падает до анизотропной слой, некоторая часть энергии отражается и передается слоем в форме волн того же типа, что и падающий. Кроме того эти волны анизотропного слоя могут генерировать волны других поляризаций. Метод расчета амплитуд рассеянных волн с анизотропным слоем. Коэффициенты упругих волн преобразование из одного типа (горизонтально-поляризованная поперечная волна, вертикально поляризованная поперечная волна и продольная волна) к другой определяются . Классификация предметов по математике: 15A16, 35Q86, 65F60, 74J20 Ключевые слова: матричная экспонента, полиномы, упругие волны. Введение Расчет акустического волнового рассеяния в слоистых средах является важным компонентом в решении многих задач сейсмологии [1,2] и физики кристаллов [3,4]. Теоретические исследования упругих волн в твердых средах основаны на уравнениях движения и закона Гука, которые в декартовой системе координат могут быть представлены соответственно как @ 2ug @ t2 = 3Xj = 1 @ pgj @ xj; 12 @ ug @ xh + @ uh @ xg = 3Xl = 13Xm = 1sghlmplm; g; h = 1; 2; 3; (1) где ρ - плотность; это время; x 1 , x 2 , x 3 обозначают декартовы координаты и u g , p gj , s ghlm соответственно представляют компоненты вектора смещения, напряжения тензор и тензор соответствия. Стандартный подход к изучению упругости волны в однородных изотропных средах начинается с трансформации системы (1) в уравнении относительно вектора смещения (уравнение Ламе) [4] или волновые уравнения относительно скалярных и векторных потенциалов [1] и Изучается раздельным рассмотрением распространения волн SH и P-SV. Методы решения таких уравнений хорошо известны и позволяют найти геометрические характеристики и амплитуды волн, отраженных и передающих Тед через изотропный слой. Проблема становится намного сложнее для анизотропная среда. Падающая плоская волна в общем случае порождает в анизотропном слое шесть волн, которые взаимодействуют друг с другом. Проблема лем определения коэффициентов преобразования одной волны в другую (для Пример SH-волны в SV-волну) имеет большое практическое значение. Как правило [3, 4] исследование волн в анизотропной среде основано на решении проблема собственных значений (расчет кинематических характеристик, таких как скорости волн), связанные с волновыми уравнениями. Матричный метод [5] из Решение волновых уравнений обеспечивает более эффективный расчет амплитуд рассеянных волн. Разработка и применение этого метода для вычисление коэффициентов преобразования является целью данной работы. Коэффициенты преобразования упругих волн Мы рассматриваем волны, генерируемые в изотропных твердых полупространствах z <0 и z> d, ограничивающий анизотропный слой, под действием плоского упругого волна. Вектор смещения u 0 в этой волне колеблется с амплитудой A 0 и круговая частота ω: u 0 = A 0 exp [i (k 0 · r - ωt)] = A 0 exp [i (k 01 x 1 + k 02 x 2 + k 03 x 3 - ωt)]. (2) Здесь и ниже i - мнимая единица. Направление распространения происшествия Волна задается волновым вектором k 0 и показана на рис. 1а. Предложение 1. Если плотность ρ и компоненты тензора соответствия s ghlm зависит только одна координата x 3 , тогда функции u j = u j (x 1 , x 2 , x 3 , t) и p lm = p lm (x 1 , x 2 , x 3 , t), j, l, m = 1, 2, 3, которые удовлетворяют соотношениям (1) и вызывают согласно (2), должны иметь одинаковые зависимости от координат x 1 , x 2 и времени t, точно как в падающей волне (2): ∥u2 p23. u1 u3 p31 33 p11 p22 p12 ∥∥=∥∥ψ 1ψ 2··· ψ 9 ∥∥exp [i (k 01 x 1 + k 02 x 2 - ωt)], где ψ j = ψ j (x 3 ), j = 1, ..., 9 выразить неизвестные x 3 -зависимости функций u 2 , p 23 , u 1 , u 3 , p 31 , p 33 , p 11 , р 22 , р 12 соответственно. Доказательство этого предложения следует из решения (1-2) метод разделения переменных. 2.1 Передача матрицы упругих волн Следствие 1.1. Матрица столбцов Ψ = ∥ψ 1 ψ 2 ψ 3 ψ 4 ψ 5 ψ 6 ∥T удовлетворяет уравнению dΨ дх 3= WΨ,(3) где ненулевые элементы w gh матрицы W имеют следующие значения [5]: w 11 = w 22 = i [k 01 (S 14 γ 3 - S 24 γ 5 + S 46 γ 6 ) + k 02 (S 24 γ 4 - S 14 γ 2 - S 46 γ 5 )], w 12 = 2 (S 14 S 24 γ 2 - S 14 S 46 γ 3 + S 24 S 46 γ 5 ) - S 2 14 γ 1 - S 2 24 γ 4 - S 2 46 γ 6 + S 44 , w 13 = w 52 = i [k 01 (S 14 γ 1 - S 24 γ 2 + S 46 γ 3 ) + k 02 (S 14 γ 3 - S 24 γ 5 + S 46 γ 6 )], w 14 = w 62 = -ik 02 , w 15 = w 32 = S 14 (S 25 γ 2 - S 15 γ 1 - S 56 γ 3 ) + S 24 (S 15 γ 2 - S 25 γ 4 + S 56 γ 5 ) + S 46 (S 25 γ 5 - S 15 γ 3 - S 56 γ 6 ) + S 45 , w 16 = w 42 = S 14 (S 23 γ 2 - S 13 γ 1 - S 36 γ 3 ) + S 24 (S 13 γ 2 - S 23 γ 4 + S 36 γ 5 ) + S 46 (S 23 γ 5 - S 13 γ 3 - S 36 γ 6 ) + S 34 , w 21 = −ρω 2 + k 2 01 γ 6 + k 2 02 γ 4 - 2k 01 k 02 γ 5 , w 23 = w 51 = k 2 01 γ 3 + k 01 k 02 (γ 6 - γ 1 ) - k 2 02 γ 5 , w 25 = w 31 = i [k 01 (S 15 γ 3 - S 25 γ 5 + S 56 γ 6 ) - k 02 (S 15 γ 2 - S 25 γ 4 + S 56 γ 5 )], w 26 = w 41 = i [k 01 (S 13 γ 3 - S 23 γ 5 + S 36 γ 6 ) - k 02 (S 13 γ 2 - S 23 γ 4 + S 36 γ 5 )], w 33 = w 55 = i [k 01 (S 15 γ 1 - S 25 γ 2 + S 56 γ 3 ) + k 02 (S 15 γ 3 - S 25 γ 5 + S 56 γ 6 )], w 34 = w 65 = -ik 01 , w 35 = S 15 (S 25 γ 2 - S 15 γ 1 - S 56 γ 3 ) + S 25 (S 15 γ 2 - S 25 γ 4 + S 56 γ 5 ) (4) + S 56 (S 25 γ 5 - S 15 γ 3 - S 56 γ 6 ) + S 55 , w 36 = w 45 = S 15 (S 23 γ 2 - S 13 γ 1 - S 36 γ 3 ) + S 25 (S 13 γ 2 - S 23 γ 4 + S 36 γ 5 ) + S 56 (S 23 γ 5 - S 13 γ 3 - S 36 γ 6 ) + S 35 , w 43 = w 56 = i [k 01 (S 13 γ 1 - S 23 γ 2 + S 36 γ 3 ) + k 02 (S 13 γ 3 - S 23 γ 5 + S 36 γ 6 )], w 46 = 2 (S 13 S 23 γ 2 - S 13 S 36 γ 3 + S 23 S 36 γ 5 ) - S 2 13 γ 1 - S 2 23 γ 4 - S 2 36 γ 6 + S 33 , w 53 = к 2 01 γ 1 + k 01 k 02 (γ 1 + γ 3 ) + k 2 02 γ 6 - ρω 2 , w 64 = −ρω 2 ; S gh , g, h = 1, ..., 6 обозначают компоненты тензора соответствия в матрице sentation [3, §4.3] и γ J = Δ J / Δ, J = 1, ..., 6; Δ = S 11 Δ 1 - S 12 Δ 2 + S 16 Δ 3 , ∆ 1 = S 22 S 66 - S 226 , 2 = S 12 S 66 - S 16 S 26 , 3 = S 12 S 26 - S 16 S 22 , 4 =S 11 S 66 - S 216 , 5 = S 11 S 26 - S 16 S 12 , 6 = S 11 S 22 - S 212 . Фундаментальная матрица T ≡|| t gh || системы (3) выражает компоненты вектор-функции Ψ (d) через компоненты Ψ (0): Ψ (d) = TΨ (0). (5) В теории дифракции [2, 5] и ниже в этой работе T называется переносом матрица. Для однородного слоя (ρ = const, S gh = const) передаточная матрица зависит от матрицы W (см. формулы (4)) как экспоненциальная матрица: T = exp (Wd). (6) 2.2 Компоненты векторов Ψ (0) и Ψ (d) Компоненты вектор-функции Ψ на границах анизотропного слой (Ψ (0) и Ψ (d)) находим из решений уравнений (1) в областях z ≤ 0 и z ≥ d. В изотропной среде ненулевые компоненты соответствия тензор выражается через два параметра Ламе λ и µ: S 11 = S 22 = S 33 = (λ + µ) / [µ (3λ + 2µ)], S 12 = S 13 = S 23 = −λ / [2µ (3λ + 2μ)], S 44 = S 55 = S 66 = 1 / µ. Дифференциальное уравнение (3) в этом случае разделяется на две системы. Решения этих уравнений хорошо известны [1, 2] и соответствуют продольные (P-волна) и две сдвиговые (SH-типа и SV-типа) волны: u P 1,2 = A P 1,2 e i (k P1,2 · r − ωt) , u H 1,2 = A H 1,2 e i (k S1,2 · r − ωt) , u V 1,2 = A V 1,2 e i (k S1,2 · r − ωt) , где k S 1,2 = ω / v S 1,2 , k P 1,2 = ω / v P 1,2 - волновые числа; v S 1,2 = √µ 1,2 / ρ 1,2 , V P 1,2 = √ (2µ 1,2 + λ 1,2 ) / ρ 1,2 - скорости волн, а индексы 1 и 2 обозначают значения в областях z <0 и z> d соответственно. Следовательно, общее решение задачи (1-2) для компонент u j , j = 1, 2, 3 вектора смещения u в областях z ≤ 0 и z ≥ d имеет форму uj = {с 0jA 0 e i k 0 · r + c 1jA H 1 e i k S1 · r + c 2jA V 1 e i k S1 · r + c 3jA P 1 e i k P1 · r , z ≤ 0,с 4jA H 2 e i k S2 · r + c 5jA V 2 e i k S2 · r + c 6jA P 2 e i k P2 · r ,z ≥ д. (7) Здесь и далее зависимость от времени опущена. Коэффициенты c gh , g = 0, ..., 6, h = 1, 2, 3 определены в таблице. Значения коэффициентов c 0h приведены для три типа падающей волны: волна SH с амплитудой A 0 1 , волна SV с амплитуда A 0 2 , зубец P с амплитудой A 0 3 . Таблица. Направляющие косинусы амплитудных векторов Вектор Направление косинуса относительно оси х 1 х 2 х 3 A 0 = A 0 1 с 01 = sin α c 02 = - cos α с 03 = 0 A 0 = A 0 2 c 01 = cosθ 0 cosα c 02 = cos θ 0 sin α с 03 = - sin θ 0 A 0 = A 0 3 c 01 = sinθ 0 cos α c 02 = sinθ 0 sinα с 03 = cos θ 0 A H 1 с 11 = sin α c 12 = - cos α с 13 = 0 A V 1 c 21 = - cos θ S 1 cos α c 22 = - cos θ S 1 sinα c 23 = - sin θ S 1 A P 1 c 31 = sinθ P 1 cos α c 32 = sinθ P 1 sinα c 33 = - cos θ P 1 A H 2 с 41 = sin α c 42 = - cos α с 43 = 0 A V 2 c 51 = cos θ S 2 cos α c 52 = cos θ S 2 sin α c 53 = - sinθ S 2 A P 2 c 61 = sinθ P 2 cos α c 62 = sinθ P 2 sinα с 63 = cos θ P 2 Следствие1.2. Волновые векторы k 0 , k S 1 , k P 1 , k S 2 , k P 2 лежат в одном и тот же самолет, так что k 0 sinθ 0 = k S 1 sinθ S 1 = k P 1 sinθ P 1 = k S 2 sinθ S 2 = k P 2 sinθ P 2 и их проекции на оси x 1 и x 2 равны k 01 = k 0 sinθ 0 cos α и k 02 = k 0 sinθ 0 sinα соответственно  Рисунок 1: Геометрия рассеяния волн. а) Углы падения θ 0 и α. б) Направления распространения волн S и P. Представления компонентов тензора напряжений р 23 , р 31 и р 33 через ам- Plits A 0 и A 1 ≡ A H 1 , A 2 ≡ A V 1 , A 3 ≡ A P 1 , A 4 ≡ A H 2 , A 5 ≡ A V 2 , A 6 ≡ A P 2 (8) мы получим подстановкой u j из (7) в закон Гука, который в изотропном носитель имеет вид: p gh = µ (Gу гHx ч+Hу чGx g ) + λ 3ΣJ = 1Ju j Jx j δ gh , g, h = 1, 2, 3, δ gh = {0, если g = h, 1, если g = h. Компоненты вектор-функции Ψ (0) и Ψ (d) мы найдем непосредственно из сравнения определений функций ψ j (x 3 ) (см. стр. 5542) с равенства (7) и аналогичные формулы для компонент тензора напряжений. Как результат, если за единицу принять амплитуду падающей волны, то имеем: ψ j (0) = b j0 +3Σг = 1B JGA g , ψ j (d) =6Σч = 4B JHA h , j = 1, ..., 6, (9) где b 10 = c 02 , b 11 = c 12 , b 12 = c 22 , b 13 = c 32 , b 14 = c 42 , b 15 = c 52 , b 16 = c 62 , b 20 = i 1 (c 03 k 02 + c 02 k 0 cos θ 0 ), b 21 = i 1 (c 13 k 02 - c 12 k S 1 cos θ S 1 ), b 22 = iµ 1 (c 23 k 02 - c 22 k S 1 cos θ S 1 ), b 23 = iµ 1 (c 33 k 02 - c 32 k P 1 cos θ P 1 ), b 24 = i 2 (c 42 k S 2 cos S 2 + c 43 k 02 ), b 25 = i 2 (c 52 k S 2 cos S 2 + c 53 k 02 ), b 26 = i 2 (c 62 k P 2 cos θ P 2 + c 63 k 02 ), b 30 = c 01 , b 31 = c 11 , b 32 = c 21 , b 33 = c 31 , b 34 = c 41 , b 35 = c 51 , b 36 = c 61 , b 40 = c 03 , b 41 = c 13 , b 42 = c 23 , b 43 = c 33 , b 44 = c 43 , b 45 = c 53 , b 46 = c 63 , b 50 = iµ 1 (c 03 k 01 + c 01 k 0 cos θ 0 ), b 51 = iµ 1 (c 13 k 01 - c 11 k S 1 cos θ S 1 ), b 52 = iµ 1 (c 23 k 01 - c 21 k S 1 cos θ S 1 ), b 53 = iµ 1 (c 33 k 01 - c 31 k P 1 cos θ P 1 ), б 54 = iμ 2 с 41 к S 2 COS θ S 2 , б 55 = iμ 2 (с 51 к S 2 COS θ S 2 + с 53 к 01 ), b 56 = i 2 (c 61 k P 2 cos θ P 2 + c 63 k 01 ), b 60 = i (2µ 1 + λ 1 ) c 30 k 0 cos θ 0 + iλ 1 (c 01 k 01 + c 02 k 02 ), b 61 = −i (2µ 1 + λ 1 ) c 13 k S 1 cos θ S 1 + iλ 1 (c 11 k 01 + c 12 k 02 ), b 62 = −i (2µ 1 + λ 1 ) c 23 k S 1 cos θ S 1 + iλ 1 (c 21 k 01 + c 22 k 02 ), b 63 = −i (2µ 1 + λ 1 ) c 33 k P 1 cos θ P 1 + iλ 1 (c 31 k 01 + c 32 k 02 ), b 64 = i (2µ 2 + λ 2 ) c 43 k S 2 cos θ S 2 + iλ 2 (c 41 k 01 + c 42 k 02 ), b 65 = i (2µ 2 + λ 2 ) c 53 k S 2 cos θ S 2 + iλ 2 (c 51 k 01 + c 52 k 02 ), b 66 = i (2µ 2 + λ 2 ) c 63 k P 2 cos θ P 2 + iλ 2 (c 61 k 01 + c 62 k 02 ). |