Диссертация. Расчет тоннелей на сейсмические воздействия
 Скачать 4.33 Mb.
|
|
ГЛАВА 4 АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ОБДЕЛОК ТОННЕЛЕЙ ПРИ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ НАПРАВЛЕННЫХ ВДОЛЬ ОСИ ТОННЕЛЕЙ 4.1 Введение Equation Chapter 4 Section 4 Подобно методам, используемым для оценки поперечных реакций, для оценки реакции тоннелей в продольном направлении так же используются упрощѐнные аналитические модели и более сложные численные модели, зависящие от степени сложности системы грунт-сооружение, уровня сейсмического воздействия и ответственности сооружения. В следующих разделах рассматриваемся упрощѐнный метод, котором предполагается, что деформации тоннеля соответствуют деформациям свободного поля, и что тоннель не оказывает влияние на деформации грунта. Более уточнѐнный метод учитывает взаимодействие сооружения с грунтом, для чего используется модель балки на упругом основании. 4.2 Метод, основанный на совпадении деформаций тоннеля с деформациями «свободного поля» При решении предполагается, продольные и изгибные деформации тоннельной обделки следуют деформациям свободного поля грунта (т.е. без учѐта наличия тоннеля). Эта консервативная предпосылка даѐт достаточно хорошую оценку, потому что в большинстве случаев жесткость тоннельных обделок меньше жѐсткости окружающего массива грунта. Эта методика требует минимум исходных данных. Аналитические оценки деформаций и напряжений, в конструкциях, которые соответствуют движения грунта при сейсмических воздействиях, основано на теории распространения волн в однородных, изотропных упругих средах [ 57 ]. Исходя из уравнения, описывающего движение грунта в результате распространения плоской волны в х-направлении, можно показать, что продольная деформация ( u x ) и кривизна ( 2 2 u x ) в направлении распространения волны являются соответственно: 61 2 2 2 2 2 1 1 ; u u u u x C t x C t , (4.1) где u t и 2 2 u t - величина скорости и ускорение движения грунта; t - время; C - скорость распространения волны. Деформации и кривизны свободной среды в в зависимости от различных типов волн можно оценить, используя уравнение (4.1) . Например, в случае Р-волн, для которых движение частиц в направлении распространения волны, осевое или продольной деформации ( l ) и его пиковое значение ( lm ) задаются следующим образом: ; p l l lm p V u l C , (4.2) где P C - скорость распространения P-волны; P V - пиковая скорость движения грунта из-за P-волны. Соответственные поперечные деформации и деформации сдвига равны нулю. Так же, максимальная деформация сдвига ( m ) и кривизна (1 m ) в связи с S- волной задаются: 2 1 ; S S m S m S V a C C , (4.3) где S C - скорость распространения S-волны; S V - пиковая скорость движения грунта из-за S-волны; S a - пиковое ускорение движения грунта из-за S-волны. Уравнения (4.2) и (4.3) описывают деформации и кривизны в направлении распространения P- или S-волны. В более общем случае, P- или S-волна распространяется под углом по отношению к оси тоннеля. Соответственные деформации и кривизны, выраженная как функция угла падения, представлены в таблице 4.1. Так как угол падения сейсмических волн, как правило, не известен, в выражениях для деформаций входит угол падения волны, который необходимо 62 выбирать таким, чтобы получить максимальное значение деформации и кривизны Рэлея. Таблица 4.1 – Осевые деформации и изгибные деформации при воздействии разных типов [67] Т ипы во лн Осевые деформации Поперечные деформации Деформация сдвига Кривизны P -волн ы 2 cos 0 P l P P lm P V c V для c 2 sin 90 P n P P nm P V c V для c sin cos 45 2 P P P m P V c V для c 2 2 2 1 sin cos 1 0, 385 35 16 ' P P P m P a c a c для S -в ол ны sin cos 45 2 S l S S lm S V c V для c sin cos 45 2 S n S S nm S V c V для c 2 cos 0 S S S m S V c V для c 3 2 2 cos 0 S S S m S a K c a K для c Во лн ы Рэл ея Деф ор мац ии сжати я 2 cos 0 RP l R RP lm R V c V для c 2 sin 90 RP n R RP nm R V c V для c sin cos 45 2 RP R RP m R V c V для c 2 2 2 sin cos 0, 385 35 16 ' RP R RP m R a K c a K c для Де ф ор мац ии сд виг а sin 90 RS n R RS nm R V c V для c cos 0 RS R RS m R V c V для c 2 2 2 cos 0 RS R RS m R a K c a K для c В тоннельной обделке развиваются осевые и изгибные напряжения создаваемые деформациями окружающего массива грунта. Деформации обделки тоннеля можно рассчитать, если протяжѐнная тоннельная конструкция рассматривается как балка в грунтовой среде. Деформации , являющиеся комбинаций осевых и поперечных деформаций, могут быть получены с использованием продольных и изгибных напряжений [ 39 , 73 ]: - для Р – волн: 63 2 2 2 cos sin cos p p p p V A Y C C , (4.4) - для S – волн: 3 2 sin cos cos s s s s V A Y C C , (4.5) - для R – волн: 2 2 2 cos sin cos R R R R V A Y C C , (4.6) где R V - пиковое значение скорости колебания частиц при распространении R-волн вблизи тоннеля; R A - пиковое значение ускорения колебания частиц при распространении R- волн вблизи тоннеля; R C - скорость распространения R-волн вблизи тоннеля; Y- расстояние от нейтральной оси поперечного сечения тоннеля до удаленной фибры; - угол между направлением распространения волны в горизонтальной плоскости и осью тоннеля (угол падения). Следует отметить, что S-волны обычно создают наибольшее напряжение, поэтому являются регламентирующими и угол распространения волн должен выбираться таким образом, чтобы максимизировать суммарные напряжения. Рассматриваем тоннельную конструкцию, подвергающуюся движением синусоидальной поперечной волны с длиной волной L и амплитудой D, как показано на рисунке 4.1 , будет бывать поперечные y u и продольные x u перемещения: 2 cos sin / cos y x u D L , (4.7) 2 sin sin / cos x x u D L , (4.8) 64 Рисунок 4.1 Перемещения грунта при распространении поперечной волны [39, 67] Предполагая, что конструкция ведет себя как балку, кривизна которой из-за поперечных перемещений задается в виде: 2 2 3 2 1 2 2 cos sin / cos y u x D x L L , (4.9) где - радиус изгиба конструкции. Получим внутренние усилия в тоннельной конструкции: 2 3 2 2 cos sin / cos EI x M D EI L L , (4.10) 3 4 2 2 cos cos / cos M x V D EI x L L , (4.11) 2 2 sin cos cos / cos x Q D EA L L , (4.12) где M - изгибающий момент, Нм ; V - поперечная сила, Н ; Q - продольная сила, Н ; I - осевой момент инерции тоннельной обделки, 4 м ; 65 E - модуль упругости тоннельной обделки, 2 / Н м ; D - амплитуда синусоидальной волны, м ; L - длина поперечной волны, м ; A - площадь поперечного сечения обделки, 2 м ; Для синусоидальной волны с амплитудой перемещения D и длина волны L , D может быть вычислены от следующих уравнений [43, 70] : - при продольной деформации свободной среды: 2 sin cos S S D V L C , (4.13) - при деформации изгиба свободной среды: 2 3 2 2 4 cos S S D a L C , (4.14) Длина волны может быть определена по формуле [ 41 ]: S L TC , (4.15) Где T является доминирующим периодом колебаний поперечной волны в сжимаемых слоях грунта, которые имеют общую мощность h. 4 S h T C , (4.16) Скорость распространения поперечных волн, C S , в большей мере характеризует распространение волн в глубоких скальных пародах, чем в верхних слоях, где расположены тоннели. Обычно величина скорости варьируется от 2 до 4 (км/сек). Продольные волны распространяются со скоростью от 4 до 8 (км/сек). Если тоннель располагается в мощных слоях осадочных пород, основные напряжения создаются волнами Рэлея. В таких условиях обязательно необходимо выполнить исследования сейсмо-геологичкские изыскания, чтобы определить реальные скорости распространения волн Рэлея C R Комбинация напряжений, полученных с использованием уравнений (4.4) , (4.5) и (4.6) , представляет только сейсмические нагрузки. Для оценки поведения конструкций при сейсмическом воздействии динамические нагрузки должны быть сложены со статическими. Результирующие напряжения необходимо 66 сравнить с предельными, которые устанавливаются нормативными требованиями (например, эксплуатационными требованиями и допускаемым уровнем повреждений). 4.3 Метод расчѐта балок на упругом с использованием с использованием интегрального преобразования Фурье и обобщенных функций В следующих параграфах используется метод решения задач, основанный на свойствах изображений Фурье финитных функций [11]. Обозначим ( ) F преобразование Фурье функции ( ) f x . В свою очередь, функция ( ) f x является обратным преобразованием Фурье функции ( ) F Функция ( ) F определяется формулой: ( ) ( ) i t F f t e dt , (4.17) Выполняя обратное преобразование, получим: 1 ( ) ( ) 2 i x f x F e d , (4.18) Функция ( ) F называется изображением Фурье функции, ( ) f x , функция ( ) f x называется оригиналом и является обратным преобразованием Фурье функции ( ) F Так как, далее будут использованы модели балки на упругом основании, рассмотрим расчѐт такой модели подробно. Рассмотрим балку конечной длины, представляющий конечный элемент конструкции сооружения, с постоянной изгибной жесткостью EI , лежащего на упругом основании. Жѐсткость основания постоянная и определяется параметром k . x u u'(-l) u(-l) Q(-l) M(-l) EI -l O u'(l) u(l) Q(l) M(l) l k Рисунок 4.2 Схема балки на упругом основании 67 Дифференциальное уравнение изгиба балки на упругом основании имеет вид: 4 4 ( ) d u EI ku q x dx , (4.19) Представим уравнение в финитных обобщѐнных функциях: 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d U EI kU q x EIu l x l EIu l x l EIu l x l dx EIu l x l M l x l M l x l Q l x l Q l x l , (4.20) или 4 4 4 ( ) 4 d U Q x U dx EI , (4.21) где: ( ) ( ) ( ) ( ) U x u x x l x l ; ( ) x - функция Хэвисайда; 4 4 k EI ; ( ) Q x - обобщѐнная нагрузка, обозначающая правую часть уравнения (4.20). Применим преобразование Фурье к обеим частям уравнения, и, выполнив необходимые, получим: 4 4 ( ) ( ) ( 4 ) Q U EI , (4.22) где: ( ) U - изображение Фурье функции ( ) U x ; ( ) Q - изображение Фурье обобщѐнной нагрузки ( ) Q x ; - параметр преобразования Фурье. Изображение Фурье обобщѐнной нагрузки имеет вид: 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) i l i l i l i l i l i l i l i l Q q Q l e Q l e M l i e M l i e EIu l i e EIu l i e EIu l i e EIu l i e , (4.23) Для балки конечной длины не известны восемь значений функций на границах - по четыре на каждом конце балки. Поэтому: 68 2 2 3 3 4 4 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 4 i l i l i l i l i l i l i l i l q u l i e u l i e u l i e u l i e EI Q l e Q l e M l i e M l i e U ,(4.24) Функция ( ) U должна быть целой (теорема Винера-Пэли-Шварца), т.е., числитель должен содержать в себе нули знаменателя. Поэтому можно записать четыре условия: ( ) 0 , ( 1,2,3,4) j Q j , (4.25) где: j - корни выражения 4 4 4 0 3 4 4 1 2 5 7 4 4 3 4 2 (1 ), 2 ( 1 ), 2 ( 1 ), 2 (1 ) i i i i e i e i e i e i , (4.26) Остальные неизвестные определяются из условий равенства перемещений, углов поворота, моментов и поперечных сил в местах соединения элементов. После определения этих параметров и подстановки этих параметров в уравнение (4.24) необходимо выполнить обратное преобразование Фурье: 1 ( ) ( ) 2 i x U x U e d , (4.27) Выражение (4.23) и условия (4.25) можно использовать для построения балочного конечного элемента. 4.4 Метод расчѐта, учитывающий разницу деформаций тоннельной обделки и массива грунта Если жѐсткий тоннель находится в мягком грунте, существует заметный эффект взаимодействия сооружения с грунтом, и поэтому методика, основанная на равенстве деформаций свободного поля и конструкции, приводит к консервативному результату. В этом случае для учѐта взаимодействия сооружения с грунтом может использоваться модель балки на упругом основании. Дифференциальное уравнение для конструкции тоннеля можно записать в виде: 69 4 4 t d u EI P dx , (4.28) где t u - поперечные перемещения тоннельной конструкции, м; P - давление между конструкцией и окружающим грунтом, Н/м. Предположим, что грунт работает в упругой стадии, тогда давление P можно записать в виде: h y t P K u u , (4.29) где h K - коэффициент основания по направлению перпендикулярному к оси тоннеля, Н/м 3 . y u - поперечные перемещения свободного грунта (см. Рисунок 4.1 ), м; Дифференциальное уравнение для конструкции: 4 4 t h t h y d u EI K u K u dx , (4.30) или 4 4 2 cos sin cos t h t h d u x EI K u K D dx L , (4.31) Применим преобразование Фурье к обеим частям уравнения, выполнив обратное алгебраические преобразования, получим: 4 2 2 cos cos ( ) 2 cos 2 t h h L L u K D i EI K , (4.32) Выполнив обратное преобразование Фурье: 1 ( ) ( ) 2 i x t t u x u e d , (4.33) получим: 4 4 cos 2 ( ) sin cos 2 1 cos t h D x u x L EI K L , (4.34) 70 Поэтому кривизна тоннельной конструкции, полученной в результате решения уравнения (4.30) , меньше, чем кривизна, полученная с использованием уравнения (4.9) с множителем: 1 4 4 1 2 1 cos h R EI K L , (4.35) Изгибающий момент и поперечная сила в тоннельной обделке определяются уравнениями: 2 3 4 4 2 cos 2 sin / cos 2 1 cos h D x L M EI L EI K L , (4.36) 3 4 4 4 2 cos 2 cos / cos 2 1 cos h D x L V EI L EI K L , (4.37) Тот же подход можно использовать для получения выражение для осевой силы. В этом случае, дифференциальное уравнение имеет вид: 2 2 a a a x d u EA K u u dx , (4.38) где a u - продольные перемещения тоннельной конструкции, м; x u - продольные перемещения грунта, соответствующие «свободному полю» (см. рисунок 4.1 ), м; a K - коэффициент упруго основания, направленный вдоль оси тоннеля, Н/м 3 . Решив уравнение (4.38), получим осевые перемещения, которые соответствуют уравнению (4.8) умноженному на коэффициент 2 R , который всегда меньше единицы: 2 2 2 1 2 1 cos a R EA K L , (4.39) Из уравнения (4.12) получим осевые усилия в тоннельной обделке: 71 2 2 2 sin cos 2 cos / cos 2 1 cos a D x L Q EA L EA K L , (4.40) Расчѐтными усилиями являются максимальным изгибающим моментом, поперечной и продольной силой, которые зависит от расположения вдоль тоннельной конструкции, от угла падения, , и от длины волны, L. Максимальные усилия можно получить, положив 2 sin / cos x L и 2 cos / cos x L равными единице. Для определения угла падения необходимо приравнять частные производные выражений (4.36) и (4.37) нулю. Отсюда следует, что максимальные значения возникнут при = 0. Для уравнения (4.40) , максимальная величина продольной силы зависит от свойств тоннельной конструкции и окружающего массива грунта среды. Обычно рекомендуются использовать угол падения волны, равным 45 . Эта величина угла падения будет максимизировать, значение продольной силы, когда взаимодействием между грунтом и тоннельной обделкой можно пренебречь. Максимальные усилия, таким образом, определяются выражениями: 2 4 2 2 1 m h D L M EI EI K L , (4.41) 3 4 2 2 1 m h D L V EI EI K L , (4.42) 2 2 2 2 m a D L Q EA EA K L , (4.43) 72 Как отмечалось выше, уравнения (4.41) , (4.42) , (4.43) должны иметь максимальные значения, которые в зависят от длины волны L. Отметим, что что предварительно необходимо определить коэффициенты упругого основания, h K и a K . Можно воспользоваться результатами исследований учѐных [St. John C.M. и Zahrah T.F.], которые предложили удобные и достаточно обоснованное выражение для определения коэффициентов упруго основания [ 67 ]: 16 (1 ) 3 4 h a G d K K L , (4.44) где: m G - модуль сдвига грунта, 2 / КН м ; - коэффициент Пуассона грунта; d - диаметр обделки тоннеля, м ; L - длина поперечной волны, м ; Следует отметить, что максимальная величина продольной силы, полученной с использованием представленной выше методики не должны превышать максимальные силы трения max Q между тоннельной обделкой и окружающим массивом грунта. Значение max Q можно определить, используя следующее выражение: max 4 fL Q , (4.45) где f - максимальная сила трения, приходящаяся на единицу длины тоннеля. 4.5 Метод расчѐта, учитывающий эффекты взаимодействия тоннеля с грунтом, характеризующимся двумя коэффициентами постели Рассмотрим тоннельную обделку в виде бесконечной балки с изгибной жесткостью EI, лежащей на основании, свойства которого описываются моделью с двумя упругими характеристиками 1 k и 2 k . Первый коэффициент постели 1 k коэффициент сжатия, который ничем не отличается от обычного коэффициента постели по теории Винклера. Второй коэффициент постели 2 k коэффициент сдвига, позволяющий выразить интенсивность вертикальной силы сдвига Q в 73 виде произведения коэффициента 2 k на производную функции осадки 2 du Q k dx Эти силы сдвига появляются и в сыпучих и малосвязных грунтах вследствие зацепления и внутреннего трения между частицами грунта. Используя выражение (4.31), запишем дифференциальное уравнение, описывающее изгиб балки, лежащей на основании, свойства которого описываются моделью с двумя упругими характеристиками [ 17, 23 ]: 4 2 2 1 1 4 2 2 cos sin cos t t t d u d u x EI k k u k D dx dx L , (4.46) Применив преобразование Фурье к обеим частям уравнения, и выполнив необходимые алгебраические преобразования, получим: 1 4 2 2 1 2 2 cos cos cos ( ) 2 2 t k D L L u EI k k i , (4.47) Выполнив обратное преобразование Фурье: 1 ( ) ( ) 2 i x t t u x u e d , (4.48) получим: 2 4 2 4 2 1 1 cos 2 ( ) sin cos 2 2 1 cos cos t D x u x L k EI k L k L , (4.49) Кривизна тоннельной обделки, полученной в результате решения уравнения (4.46) , меньше, кривизны, определяемой в соответствии с уравнением (4.9). Соотношение между кривизнами характеризуется множителем: 1 2 4 2 4 2 1 1 1 2 2 1 cos cos R k EI k L k L , (4.50) Изгибающий момент и поперечная сила в тоннельной конструкции определяются уравнениями: 74 2 3 2 4 2 4 2 1 1 2 cos 2 sin / cos 2 2 1 cos cos D x L M EI L k EI k L k L , (4.51) 3 4 2 4 2 4 2 1 1 2 cos 2 cos / cos 2 2 1 cos cos D x L V EI L k EI k L k L , (4.52) Сравнив полученные выражения, находим, что значения перемещения тоннельной обделки, кривизны тоннеля и внутренних усилий, полученные с двумя характеристиками основания грунта, меньше, чем значения, полученные при использовании упругого основания Винклера. 4.6 Пример расчета тоннельных обделок на сейсмические воздействия, характерные для условий Ханоя Представим результаты расчѐта монолитного тоннеля на сейсмические воздействия, направленные вдоль оси тоннеля. Геологические и сейсмические данные, а так же конструктивные параметры соответствуют проекту, строящегося метро а Ханоя. В соответствии со Строительными нормами Вьетнама пиковое ускорение поверхности грунта в Ханое составляет 0,2g. Тоннель должен противостоять землетрясениям с магнитудой 8 M , эпицентрами на расстоянии 20-50км. Характеристики грунта представлены в таблице 4.2. Таблица 4.2 – Характеристики грунта Характеристика грунта Единица Значение Толщина грунта над коренной породой м 40 Плотность, кг/м 3 1783 Модуль упругости, Е г МПа 276,6 Коэффициент Пуассона, 0,44 75 Как указано выше, поперечные волны обычно создают наибольшее напряжение. Определим параметры этих волн. Значение скорости поперечной волны: 6 1 276,6 10 1 232.1 / 2(1 ) 1783 2(1 0.44) г S E C м с , (4.53) Используя таблицы 3.1 и 3.4 определим пиковую скорость грунта на глубине заложении тоннеля: (188 / / )(0,9 0,2 ) 188 0,18 34 / 0,34 / S V см с g g см с м с , (4.54) Из выражений (4.15) и (4.16) следует: 4 4 40 160 L h м , (4.55) Амплитуды перемещений грунта: - при продольной деформации свободной среды: 0,34 160 0,019 4 232,1 4 S а S V L D м C , (4.56) - при деформации изгиба свободной среды: 2 2 2 2 2 2 0, 2 9,81 160 0,024 4 232,1 4 S б S a L D м C , (4.57) При совпадении деформации тоннеля с деформациями свободного поля: 2 2 4 4 3 max 2 3,1 2,75 ) 2 32400 10 0,024 4 160 33114,89 б M EI D L КНм , (4.58) 3 3 4 4 3 max 2 3,1 2,75 ) 2 32400 10 0,024 4 160 1300, 42 б V EI D L КН , (4.59) 3 2 2 max 2 32400 10 (3,1 2,75 ) 2 0,024 2 2 160 98210,95 б EA Q D L КН , (4.60) При учѐте взаимодействие конструкции с грунтом с использованием упругого основания Винклера: 76 2 16 (1 72026,15 / (3 4 h a G d K K КН м L , (4.61) 2 4 2 32164,68 2 1 m h D L M EI КНм EI K L , (4.62) 3 4 2 1263,1 2 1 m h D L V EI КН EI K L , (4.63) 2 2 24063,14 2 2 m a D L Q EA КН EA K L , (4.64) При учѐте взаимодействие конструкции с грунтом с использованием упругого основания с двумя коэффициентами постели. Полагая 2 1 0,5 k k EI [ 17 ]), получим следующие внутренние усилия: 2 1 72026,15 / h a k K K КН м , (4.65) 2 2 4 2 1 1 2 29686,64 2 2 1 m D L M EI КНм k EI k L k L , (4.66) 3 2 4 2 1 2 1165,8 2 2 1 m h D L V EI КН k EI k L K L , (4.67) Максимальные значения внутренних усилий, полученных с учѐтом разного типа взаимодействия конструкции с грунтом, представлены на таблице 4.3. 77 Таблица 4.3 – Максимальные внутренние усилия, полученные с использованием разных моделей взаимодействиями конструкции с грунтом Метод решения Момент M max (КНм) Поперечная сила V max (КН) Продольная сила Q max (КН) Совпадение деформаций тоннеля с деформациями «свободного поля» 33114,89 1300,42 98210,95 Взаимодействия конструкции с упругим основанием грунта 32164,68 1263,1 24063,14 Взаимодействия конструкции с двумя упругими характеристиками основания грунта 29686,64 1165,8 Максимальное нормальное напряжение при изгибе определяется выражением: max max l M R I , (4.68) где: max M - максимальный изгибный момент, КНм ; l R - радиус обделки, м; I - момент инерции поперечного сечения тоннельной обделки, 4 м 2 max 33114,89 3,1 3332 / 3,332 [ ] 22 27,62 сжа КН м МПа МПа Максимальное нормальное напряжение при сжатии вдоль оси тоннеля: max max x Q A , (4.69) где: max Q - максимальная продольная сила, КН ; A - площадь поперечного сечения обделки, м; 2 max сжа 98210,95 15274 / 15, 274 < [ ] = 22 6, 43 x КН м МПа МПа Конструкция тоннельной обделки удовлетворяет условием прочности. 78 4.7 Расчѐт сборных тоннельных обделок на сейсмических воздействиях Сборная обделка тоннеля представляет собой ряд последовательно установленных в подземной выработке колец, которые в свою очередь состоят из отдельных элементов. Сборные элементы (сегменты) кольца обделки называются тюбингами или блоками. Отдельные элементы сборных тоннельных обделок изготавливаются в основном из железобетона или чугуна, крайне редко сборные обделки выполняются из сварных стальных элементов. В некоторых случаях сборные обделки выполняют из композитных материалов. 4.7.1 Эквивалентная жесткость при сжатии и растяжении Для монтажа тюбингов в кольце или соединениях между кольцами обделки используются болтовые связи, обычно равномерно расположенные на кольце. Жесткость поперечного стыка при растяжении: j j j j nE A K l , (4.70) где n - число болтов в поперечном сечении стыка; j j E A - жесткость болта при растяжении; j l - длина болта. В состоянии сжатия, болты не работают, поэтому жѐсткость определяется только жѐсткостью обделки. А когда конструкция находится в состоянии растяжения, кольца обделки и связи поперечного стыка работают совместно, тогда эквивалентная жесткость обделки с учѐтом жѐсткости связей может быть представлена в следующем виде: 1 или T j S S s s s T eq j S S j S S s eq K E A l l l EA K E A K E A l EA , (4.71) 4.7.2 Эквивалентная жесткость при изгибе сборных обделок Запишем условие равновесия части конструкции, состоящей из двух половин кольца и поперечного стыка (рисунок 4.3 , а). Эта часть конструкции называется эквивалентным кольцом. 79 Рисунок 4.3 – Расстановка напряжений и поворотное перемещение поперечного сечения обделки тоннеля а – в кольце; б – в поперечном стыке. Предположим, что ширина кольца значительно меньше, чем длина сейсмической волны, поэтому изменением напряжений вдоль оси тоннеля при распространении волн пренебрегаем. Толщина обделки значительно меньше, чем радиус тоннеля. 4.7.2.1 Эквивалентная жесткость стыка при изгибе В поперечном сечении стыка (рисунок 4.3 , б), сума продольных усилий, Q , равно нулю, поэтому: 2 0 2 cos sin cos sin 0 2 2 1 sin 1 sin 2 2 = cos sin cos sin 1 sin 2 1 sin 2 j j j j f Q Rt d Rt d Rtf Rt , (4.72) 80 Получим: 1 sin cos sin 2 1 sin cos sin 2 j j f , (4.73) где и j j f - максимальные напряжения в поперечном стыке при изгибе, 2 / Н м ; - угол, определяющий положение нейтральной оси. Приравнивая значения угла поворота поперечного сечения стыка (рисунок 4.3 , б), выше и ниже нейтральной оси, получим уравнение: 1 2 sin sin 2 j S j S S j l f A R R R R K , (4.74) где R - радиус обделки тоннеля. или: 1 sin 1 sin j S S j j S E A f K l , (4.75) Используя выражения (4.73) и (4.75), получим уравнение: cos sin 2 cos sin 2 S S j S E A K l , (4.76) Решив уравнение относительно угла , получим: 1 1 cotg 2 1 S S j S E A K l , (4.77) Определим соотношение между изгибающим моментом и продольными напряжениями. Для этой цели найдѐм изгибающий момент в поперечном сечении стыка: 2 0 2 2 2 2 cos sin 2 cos sin cos cos 1 sin 1 sin = cos sin cos sin 1 sin 2 1 sin 2 j j Oz j j Rtf Rt M R d R d R tf R t , (4.78) 81 Подставив j f выражения (4.73) в уравнение (4.78), получим: 2 2 3 cos sin cos sin 2 2 cos sin 1 sin 2 cos sin 2 cos 1 sin cos sin 2 j Oz j R t M R t , (4.79) Далее определим зависимость между изгибающим моментом и углом поворота. Значение угла поворота поперечного сечения стыка можно представить в следующем виде: ( ) 2 2 2 1 sin j j j S Oz j S l l M EI E R , (4.80) или: 1 sin ( ) Oz S j j j S M E Rl EI l , (4.81) где: j EI - эквивалентная жесткость сечения поперечного стыка при изгибе. Используя выражения (4.79) и уравнения (4.80) , получим выражение, определяющее эквивалентную жесткость поперечного сечения стыка при изгибе для сборных обделок: 3 cos ( ) cos sin 2 S S j j S E I l EI l , (4.82) где: 3 S I R t - осевой момент инерции поперечного сечения кольца. 4.7.2.2 Эквивалентная жесткость сборной обделки тоннеля при изгибе Угол поворота поперечного сечения эквивалентного кольца состоит из суммы углов поворота кольца и стыка ( C j ), поэтому: Oz j Oz s Oz s S S eq j M l M l M l EI E I EI , (4.83) где: eq EI - эквивалентная жесткость сечения обделки при изгибе. 82 Или: j s s S S eq j l l l EI E I EI , (4.84) Используя выражения (4.82) и (4.84), получим эквивалентную жесткость сечения обделки при изгибе в виде: 3 3 cos cos cos sin 2 S S eq EI E I , (4.85) 4.7.3 Численное моделирование и анализ конструкции сборной обделки Для оценки точности аналитической модели выполнено численное моделирование оценки жесткости сборной обделки при изгибе. Рассмотрим конструкцию, состоящую из четырех эквивалентных колец, в виде консольной балке, нагруженной на конце сосредоточенной силой P (рисунок 4.4 ). Полагая, что поперечный стык имеет жесткость ( / ) j C Нм рад , перепишем выражение (4.82) для жесткости j C в виде: 3 cos cos sin 2 j S S j j S EI E I C l l , (4.86) Рассмотрим две расчетной схемы. Первая расчетная схема состоит из колец с жесткостями сечений при изгибе S S E I , и шарниров с жесткостью j C (рисунок 4.4 , б). Такая схема использована с использованием программного комплекса SAP2000. Вторая расчетная схема состоит из монолитной обделки с эквивалентной жесткостью сечения при изгибе (рисунок 4.4 , в). Эта схема использована для получения аналитического решения. 83 Рисунок 4.4 – Моделирование и расчетная схема сборной обделки тоннеля Рассмотрим сборную железобетонную обделку со следующими параметрами [28]: - наружный радиус обделки 3,1 R м ; - толщина обделки 0,35 t м ; - модуль упругости бетона 7 2 3, 45 10 / S E КН м ; - коэффициент Пуассона бетона 0,3 C ; - количество болта в поперечном стыке 17 n ; - длина болта 0, 4 j l м ; - диаметр болта 0,03 j d м ; - модуль упругости болта 8 2 2,1 10 / j E КН м Приведены примеры при различных ширинах колец. Результаты расчѐтных параметров представлены в таблице 4.4. 84 Таблица 4.4 – Параметры конструкции сборной обделки. S l м S S E A КН / j K КН м рад 2 S S E I КНм 2 j EI КНм / j C КНм рад 2 eq EI КНм 1 2.22E+08 6.31E+06 0.9547 9.53E+08 2.786E+07 6.966E+07 6.491E+07 1,4 - - 0.8884 - 2.689E+07 6.722E+07 8.565E+07 1,8 - - 0.8352 - 2.606E+07 6.515E+07 1.044E+08 Для сравнения получены перемещения свободного конца обделки. Таблица 4.5 – Перемещения свободного конца сборной обделки (мм). Метод решения P КН 1 S l м 1,4 S l м 1,8 S l м Численное решение 2000 0,650 1,351 2,289 Аналитическое решение 0,657 1,367 2,383 Погрешность 1,06% 1,17% 4,1% Численное решение 4000 1,300 2,701 4,579 Аналитическое решение 1,315 2,734 4,766 Погрешность 1,14% 1,2% 3,9% Численное решение 6000 1,950 4,052 6,868 Аналитическое решение 1,972 4,101 7,150 Погрешность 1,11% 1,19% 3,94% Численное решение 8000 2,600 5,402 9,158 Аналитическое решение 2,629 5,468 9,533 Погрешность 1,10% 1,21% 3,93% 85 Рисунок 4.5 – Отношения между нагрузками и вертикальными перемещениями свободного конца сборной обделки 86 Сравнивая перемещения, полученные с использованием модели с эквивалентной жѐсткостью с решениями, полученными численными методами, можно отметить, незначительное отличие результатов ( таблице 4.5 , рисунок 4.5 ). Модель сборной обделки в виде балки с эквивалентной жѐсткостью хорошо описывает поведение тоннеля при изгибе. Это позволяет сделать заключение, что такие модели могут использоваться при расчѐте тоннелей на сейсмические воздействия. 4.8 Выводы по главе Предложен упрощенный аналитический способ расчѐта тоннелей на сейсмические воздействия, направленные вдоль оси тоннелей. Получено выражение для определения эквивалентной изгибной жѐсткости сборных обделок тоннелей. Такой параметр необходим при расчѐтах, в которых тоннели рассматриваются как балки с постоянной жѐсткостью на упругом основании Винклера или на упругом основании с двумя коэффициентами постели. |