Диссертация. Расчет тоннелей на сейсмические воздействия
 Скачать 4.33 Mb.
|
|
ГЛАВА 5 РАСЧЕТ ПОДЗЕМНЫХ СООРУЖЕНИЙ, ПЕРЕСЕКАЮЩИХ ЗОНЫ АКТИВНЫХ РАЗЛОМОВ 5.1 Введение Equation Chapter 5 Section 5 . При землетрясениях очень часто происходят подвижки слоѐв грунтов, обладающих различными свойствами. Тоннели, пересекающие такие границы, могут быть повреждения, если смещения этих слоѐв достаточно велики. Тоннели, расположенные в мягких грунтах, можно рассматривать как балки в упругой среде (или считать балками на упругом основании). Как правило, разломы обычно являются границами слоѐв грунтов с различными инженерно геологическими характеристиками. В этой главе исследуется напряжѐнно-деформированное состояние обделки тоннеля, пересекающего зону разлома двух блоков грунта с разными свойствами. Предполагается, что между блоками отсутствует заполнение грунтом с другими свойствами. Разработанная методика позволяет учитывать и такие случаи. На этом этапе расчѐта ставится цель получения аналитических решений и определения зоны влияния разлома. Моделирование основания представлено тремя моделями, соответствующими трем направлениям горизонтальному, продольному и вертикальному перемещениям. Рисунок 5.1 Зависимости давления и перемещения основания грунта 5.2 Расчѐт конструкция тоннеля при подвижке в зоне разлома, перпендикулярного его оси Для оценки реакции тоннеля, пересекающего разлом, на сейсмическое воздействие, представляющее перемещение границ разлома рассматривается модель тоннеля в виде балки на билинейном упругом основании с различными 88 характеристиками. Исходными данными являются параметры поперечного сечения обделки, характеристики грунта и величина относительного смещения слоѐв грунта. 5.2.1 Метод решения задачи Близкие к разлому участки основания характеризуются билинейными характеристиками, а другие – упругими. Предположим, что ближние к разлому участки тоннеля, протяжѐнностью 2 L и 3 L находятся в грунте, параметры которого характеризуются билинейными характеристиками, а участки тоннеля 1 L и 4 L находятся в грунтах с упругими свойствами. Разделим конструкцию на 4 элемента с длинами ( 1 4) i L i (рисунок 5.2 ). Рисунок 5.2 Расчѐтная схема тоннеля, расположенного на различных основаниях: (билинейном и упругом) Для каждого элемента будем использовать локальную систему координат (рисунок 5.3 ): x u u' (0) u (0) Q (0) M (0) k EI, i i i i L i O i i i i u' (L) u (L) Q (L) M (L) i i i i Рисунок 5.3 Локальная система координат элемента 89 В качестве модели тоннеля воспользуемся балкой Эйлера. Дифференциальные уравнения балки Эйлера на упругом основании в обобщѐнных финитных функциях [11] имеют вид: для первого участка: 4 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (0) ( ) (0) ( ) ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) d U EI k U EIu x EIu x Q L x L dx M L x L EIu L x L EIu L x L , (5.1) для четвертого участка: 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 (0) ) (0) ) (0) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d U EI k U Q x M x EIu x EIu x dx EIu L x L EIu L x L , (5.2) Дифференциальные уравнения балки на билинейном основании представятся в следующем виде: для второго участка: 4 2 01 2 1 01 01 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) (0) ) (0) ) (0) ( ) (0) ( ) ( ) ) ( ) ) ( ) ( d U EI k U k k u H x H x L Q x L dx M x L EIu x EIu x Q L x L M L x L EIu L x L 2 2 2 ) ( ) ( ) EIu L x L , (5.3) для третьего участка: 4 3 02 3 2 02 02 2 3 3 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) (0) ) (0) ) (0) ( ) (0) ( ) ( ) ) ( ) ) ( ) ( d U EI k U k k u H x H x L Q x L dx M x L EIu x EIu x Q L x L M L x L EIu L x L 3 3 3 ) ( ) ( ) EIu L x L , (5.4) где ( ) ( )[ ( ) ( )] i i i U x u x H x H x L ; ( ) H x - функция Хевисайда (функция единичного скачка); i L - координата конца части i-той балки, м; ) x - функция Дирака; 0 , j j k k - коэффициенты упругого отпора (j=1, 2); 90 0 j u - предельные перемещения обделки соответстветствующие коэффициентам j k (рисунок 5.4 ). u O p k j k 0j u 0j -u 0j p 0j -p 0j Рисунок 5.4 Зависимости давления от перемещений в билинейной модели грунта Применим преобразование Фурье к обеим частям уравнений (5.1), (5.2), (5.3) и (5.4) получим: 1 1 1 1 4 4 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 ( ) ( ) 4 ( ) (0)( ) (0)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i L i L i L i L Q L M L U u i u i e e i EI EI u L e i u L e i , (5.5) 2 2 2 4 4 1 01 2 2 01 2 01 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 (0) (0) 4 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) (0)( ) (0)( ) ( ) ( i L i L i L k k Q M U u e i EI i EI EI Q L M L u i u i e e i EI EI u L 2 2 2 3 2 2 ) ( ) ( ) ( ) i L i L e i u L e i , (5.6) 3 3 3 4 4 2 02 3 3 02 3 02 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 (0) (0) 4 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) (0)( ) (0)( ) ( ) ( i L i L i L k k Q M U u e i EI i EI EI Q L M L u i u i e e i EI EI u L 3 2 2 3 3 3 ) ( ) ( ) ( ) i L i L e i u L e i , (5.7) 4 4 4 4 2 3 4 4 2 4 4 4 2 3 4 4 4 4 (0) (0) 4 ( ) ( ) (0)( ) (0)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ivL ivL Q M U i u i u i EI EI u L e i u L e i , (5.8) где 4 1 1 4 k EI , 4 2 2 4 k EI , 4 01 01 4 k EI , 4 02 02 4 k EI 91 В правой части уравнений (5.5), (5.6), (5.7) и (5.8) содержится вся информация о воздействии на балку: перемещения, углы, поперечные силы и моменты изгиба на концах элемента. Обозначим правые части уравнений через ( ) об i Q x , (i=1÷4), которые назовѐм обобщѐнными нагрузками. Представим (5.5), (5.6), (5.7) и (5.8) в следующем виде: 1 1 4 4 1 2 2 4 4 01 3 3 4 4 02 4 4 4 4 2 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 об об об об Q x U Q x U Q x U Q x U , (5.9) В соответствии с теоремой Винера-Пэли-Шварца, числитель выражений (5.9) должен делиться без остатка на знаменатель. Из этого следует, что он должен быть равен нулю при значениях, равных корням знаменателя. Используя это условие, получим: 1 1 2 01 3 02 4 2 ( ) 0 ( ) 0 1, 2,3, 4 ( ) 0 ( ) 0 об j об j об j об j Q Q j Q Q , (5.10) где kj - корни уравнения 4 4 4 0 k (k=1,2,01,02) Решив уравнения, получим корни: 4 4 1 2 4 4 3 4 2 (1 ); 2 (1 ); 2 (1 ); 2 (1 ). i i k k k k k k i i k k k k k k e i e i e i e i , (5.11) 92 Рисунок 5.5 Схема расположение корней выражения 4 4 4 0 k Используя условие неразрывной балки, имеем: 1 1 2 2 2 3 3 3 4 1 1 1 ( ) (0); ( ) (0) ; ( ) (0); ( ) (0); ( ) (0); ( ) (0); ( 1, 2,3) i i i i i i i i i u L u u L u U u L u Q L Q M L M u L u i , (5.12) Поставим корни kj (k = 1,2; j = 1 4) в систему уравнения (5.10), получим четыре системы уравнений соответствующие четырем участкам тоннеля: 1 1 1 K u P , (5.13) 2 2 2 K u P , (5.14) 3 3 3 K u P , (5.15) 4 4 4 K u P , (5.16) где j u – матрицы условий границ элементов; j P – матрицы нагрузки элементов: 011 2 012 2 013 2 014 2 01 1 01 02 2 02 011 01 1 01 012 1 4 2 3 01 1 01 013 01 1 01 014 ( )(1 ) ( )(1 0 ( )(1 ) 0 , , 0 ( )(1 ) 0 ( )(1 ) i L i i L i L i L u k k e u k k e i EI u k k e i EI P P P P u k k e i EI u k k e i EI 021 3 022 3 023 3 024 3 3 021 021 3 02 2 02 022 012 3 02 2 02 023 013 3 02 2 02 024 014 ) ( )(1 ) ( )(1 ) ( )(1 ) L i L i L i L i U i EI u k k e i U i EI u k k e i U i EI u k k e i U i EI , (5.17) j K – матрицы жесткости элементов представлены в следующих видах: 93 11 1 11 1 11 1 11 1 12 1 12 1 12 1 12 1 13 1 13 1 13 1 13 1 14 1 2 3 2 3 11 11 11 11 11 2 3 2 3 12 12 12 12 12 1 2 3 2 3 13 13 13 13 13 2 3 14 14 14 i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i e i e i e i e EI EI e i e i e i e EI EI K e i e i e i e EI EI e i e i EI 14 1 14 1 14 1 2 3 14 14 L i L i L e i e EI , (5.18) 011 2 011 2 011 2 011 2 012 2 012 2 012 2 012 2 013 2 013 2 3 2 3 011 011 011 011 011 011 2 3 2 3 012 012 012 012 012 012 2 2 3 013 013 013 013 1 1 1 i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i e i e i e i e EI EI EI EI i e i e i e i e EI EI EI EI K i e i e i EI EI EI 2 013 2 013 2 014 2 014 2 014 2 014 2 2 3 013 013 2 3 2 3 014 014 014 014 014 014 1 i L i L i L i L i L i L e i e EI i e i e i e i e EI EI EI EI , (5.19) 021 3 021 3 021 3 021 3 022 3 022 3 022 3 022 3 023 3 023 2 3 2 3 021 021 021 021 021 021 2 3 2 3 022 022 022 022 022 022 3 2 3 023 023 023 023 1 1 1 i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i e i e i e i e EI EI EI EI i e i e i e i e EI EI EI EI K i e i e i EI EI EI 3 023 3 023 3 024 3 024 3 024 3 024 3 2 3 023 023 2 3 2 3 024 024 024 024 024 024 1 i L i L i L i L i L i L e i e EI i e i e i e i e EI EI EI EI , (5.20) 21 4 21 4 22 4 22 4 23 4 23 4 24 4 24 4 2 3 2 3 21 21 21 21 21 2 3 2 3 22 22 22 22 22 4 2 3 2 3 23 23 23 23 23 2 3 2 3 24 24 24 24 24 1 1 1 1 i L i L i L i L i L i L i L i L i i e i e EI EI i i e i e EI EI K i i e i e EI EI i i e i e EI EI , (5.21) Учитывая равенства перемещений, углов поворота, моментов изгиба и поперечных сил при сопряжении участков тоннеля и соотношения (5.13), (5.14), (5.15) и (5.16), мы получим общую систему уравнений, состоящую из 16 уравнений и 16 неизвестных, в виде: 94 K U P , (5.22) где [ ] K – общая матрица жесткости элементов; 1 2 3 4 0 0 K K K K K , (5.23) U – общая матрица условий границ элементов; P – общая матрица нагрузки: 1 2 3 4 P P P P P , (5.24) При решении системы уравнения (5.22), используется итерационный метод последовательных приближений. Первым приближением является решение в упругой стадии. На следующем этапе рассматривается решение, учитывающее пластическое поведение на малой части балки вблизи границе. Полученное решение позволяет определить расстояние, на котором реактивный отпор достигает условия пластичности. Решение повторяется до тех пор, пока наибольшие напряжения в грунте достигнут предельных упругих значений. Алгоритм решения представлен ниже. 95 Рисунок 5.6 Блок схемы программы Для определения функции прогиба элементов необходимо выполнить обратное преобразование Фурье: 1 1 4 4 1 1 ( ) ( ) 2 4 об i x Q x u x e d , (5.25) 2 2 4 4 1 1 ( ) ( ) 2 4 об i x Q x u x e d , (5.26) 3 3 4 4 2 1 ( ) ( ) 2 4 об i x Q x u x e d , (5.27) 4 4 4 4 2 1 ( ) ( ) 2 4 об i x Q x u x e d , (5.28) Для вычисления интегралов используется теория вычетов [ 2, 13 ]. Используя аналитические выражения для прогибов, определим моменты изгиба и поперечные силы в сечениях тоннельной обделки. нет да да нет Начало Начальные данные L ле , L пр , dU, k i , k 0i , [ i ], EI, предполагаем L 2 = L 3 = 0 Вычисление условий границ L 1 = L ле – L 2 , L 4 = L пр – L 3 Конец L 2 = L 2 + L 1 1 1 1 [ ] ( ) / [ ] 1 пла k u L (0), (0), (0), (0) ( ), ( ), ( ), ( ) i i i i i i i i i i i i Q M u u Q L M L u L u L Дополнение L и [ ] (%) 2 3 3 2 [ ] ( ) / [ ] 1 пла k u L L 3 = L 3 + L |