Математика. Реферат Производная и ее приложения ученик 11А класса Новиков А. Проверила Шекера Г. В. г. Хабаровск
![]()
|
9.4.Разложение выражения на множители с помощью производной.Задача 1. Разложить на множители выражение: ![]() Решение: Считая ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Поэтому ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Получим ![]() Задача 2. Разложить на множители выражение: ![]() Решение: Поскольку переменная ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, исходное выражение (3) равно ![]() Задача 3. Разложить на множители выражение: ![]() Решение: Обозначив данное выражение через ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для разложения на множители второго множителя используем тот же приём, но в качестве переменной рассмотрим ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() отсюда: ![]() ![]() ![]() Таким образом исходное выражение (4) равно ![]() 9.5. Применение производной в вопросах существования корней уравнений.С помощью производной можно определить сколько решений имеет уравнение. Основную роль здесь играют исследование функций на монотонность, нахождение её экстремальных значений. Кроме того, используется свойство монотонных функций: Задача 1. Если функция ![]() ![]() ![]() Решение: Область определения данного уравнения - промежуток ![]() ![]() ![]() Тогда, на ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() и таким образом функция ![]() Задача 2. При каких значениях ![]() ![]() Решение: область определения уравнения - отрезок ![]() ![]() ![]() Тогда на открытом промежутке ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Так как функция ![]() ![]() ![]() Заключение Настоящая работа даёт учащимся новый подход к многим преобразованиям в математике, которые стандартным путём трудно разрешимы или разрешимы, но громоздкими способами. Рассмотренные подходы нестандартного характера для учащихся покажутся новыми и необыкновенными, что расширит их кругозор и повысит интерес к производной. Итак, геометрический смысл производной: производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0. Физический смысл производной: производная функции y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x0 Экономический смысл производной: производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора. Производная находит широкое приложение в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени; для нахождения наибольших и наименьших величин. Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул. Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.). Производная применяется в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории, физике, алгебре и геометрии. |