|
|
Математика. Реферат Производная и ее приложения ученик 11А класса Новиков А. Проверила Шекера Г. В. г. Хабаровск
О
–
твет: 50 Ом 9.1. Применение производной к доказательству неравенств.
Одно из простейших применений производной к доказательству неравенств основано на связи между возрастанием и убыванием функции на промежутке и знаком ее производной. С помощью теоремы Лагранжа доказана теорема:
Теорема 1. Если функция  на некотором интервале  имеет производную  всюду на , то на монотонно возрастает; если же  всюду на , то на монотонно убывает.
Очевидным следствием (и обобщением) этой теоремы является следующая:
Теорема 2. Если на промежутке выполняется неравенство  , функция  и  непрерывны в точке  и  , то на выполняется неравенство  .
Предлагаю несколько задач на доказательство неравенств с использованием этих теорем.
Задача 1. Пусть  .Докажите истинность неравенства  . (1)
Решение: Рассмотрим на  функцию  . Найдем ее производную:  . Видим, что  при  . Следовательно,  на  убывает так, что при  . Но   Следовательно неравенство (1) верно.
Задача 2. Пусть  и  положительные числа,  Тогда очевидно, что  ,  . Можно ли гарантировать, что неравенство  (2)
верно а) при  ; б) при  ?
Решение: а) Рассмотрим функцию  . Имеем: 
Отсюда видно, что при  функция возрастает. В частности, она возрастает на интервале  Поэтому при  неравенство (2) справедливо.
б) на интервале  , т.е. убывает. Поэтому при любых и , для которых  , неравенство (2) неверно, а верно неравенство противоположного смысла: 
Задача_4'>Задача 3. Доказать неравенство:  при  (3).
Воспользуемся теоремой 2.  и  , верно неравенство  :  на промежутке  и выполнимо условие  где , в данном случае равно 0. Следовательно неравенство (3) верно.
Задача 4. Доказать неравенство:   (4).
Решение:  ,  ; 
Неравенство  при любых  верно. Значит неравенство (4) верно.
Задача 5. Доказать, что если , то  (5).
Решение: Пусть  Тогда
Чтобы найти, при каких значениях функция положительная, исследуем ее производную  . Так как при   то 
Следовательно, функция возрастает при . Учитывая, что  и непрерывна, получаем  , при .
Поэтому возрастает на рассматриваемом интервале. Поскольку непрерывна и  то  при . Неравенство (5) верно.
Задача 6. Выясним, что больше при  :  или  .
Решение: Предстоит сравнить с числом 1 дробь  .
Рассмотрим на  вспомогательную функцию  .
Выясним, будет ли она монотонна на отрезке . Для этого найдем ее производную (по правилу дифференцирования дроби):
 при  .
В силу теоремы 1 функция вырастает на отрезке . Поэтому, при  т.е. 
 при .
При решении задачи (6) встретился полезный методический прием, если нежно доказать неравенство, в котором участвует несколько букв, то часто целесообразно одну из букв (в данном примере это была буква ) считать применимой (чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы ее заменяли буквой , а значение остальных букв (в данном случае значение буквы ) считать фиксированными. Иногда приходится при решении одной задачи применить указанный прием несколько раз.
Задача 7. Проверить, справедливо ли при любых положительных  неравенство:  (6).
Решение: Пусть  Рассмотрим функцию
 .
При  имеем  .
Отсюда видно (теорема 1), что убывает на  Поэтому при  имеем  т.е. мы получили неравенство:
 (7).
Теперь рассмотрим другую вспомогательную функцию  . При  имеем: 
Следовательно,  убывает на  , т.е.  при  значит,  (8),
Из неравенств (7) и (8) следует неравенство (6). Для выяснения истинности неравенств иногда удобно воспользоваться следующим утверждением, которое непосредственно вытекает из теоремы 1:
Теорема 3: Пусть функция непрерывна на и пусть имеется такая точка с из , что на  и на  . Тогда при любом х из справедливо неравенство  причем равенство имеет место лишь при  .
Задача 8. Проверьте, справедливо ли для всех действительных х следующее неравенство:  
Решение: Выясним, где функция возрастает, а где убывает. Для этого найдем производную:
 .
Видно, что на  и на  . Следовательно, в силу теоремы 3 т.е. неравенство (9) справедливо, причем равенство имеет место лишь при  .
|
|
|
Скачать 1.6 Mb.