Сопротивление материалов. Решение Жесткий брус ав закреплен с помощью шарнирнонеподвижной опоры и поддерживается двумя деформируемыми стальными стержнями ае и вк. На опоре с (рис. 2) две составляющие реакции Z

Название	Решение Жесткий брус ав закреплен с помощью шарнирнонеподвижной опоры и поддерживается двумя деформируемыми стальными стержнями ае и вк. На опоре с (рис. 2) две составляющие реакции Z
Анкор	Сопротивление материалов
Дата	19.08.2022
Размер	172.08 Kb.
Формат файла
Имя файла	1.docx
Тип	Задача #648735

ЗАДАЧА №2
Абсолютно жесткий брус АВ опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен с помощью шарниров к двум стальным стержням (рис. 1).

Требуется подобрать сечения стержней по условию их прочности, приняв запас прочности по отношению к пределу текучести n_т = 2,5.

Соотношение площадей поперечных сечений стержней указано на расчетных схема, модуль упругости стали для всех вариантов Е = 2·10⁵ МПа.

Рисунок 1
Дано: а = 1,5 м; b = 1,5 м; с = 1,0 м; Р = 2 кН; Сталь – 40Х; σ_т = 800 МПа.

Решение:
Жесткий брус АВ закреплен с помощью шарнирно-неподвижной опоры и поддерживается двумя деформируемыми стальными стержнями АЕ и ВК. На опоре С (рис. 2) – две составляющие реакции Z_С и Y_С, реакции в стержнях направлены вдоль их осей и приложены к брусу АВ в точках А и В.

Рисунок 2
Для плоской системы сил в общем случае ее приложения к конструкции можно составить только три независимых уравнения равновесия. В рассматриваемой задаче к брусу АВ приложено четыре неизвестных усилия: две реакции в шарнире и два усилия в стержнях. Разность между числом неизвестных усилий (N₁, N₂, Z_С, Y_С) и числом уравнений статики (ΣМ_С = 0, ΣZ = 0, ΣY = 0) показывает, что для определения этих неизвестных необходимо составить еще одно уравнение, в которое входили бы интересующие нас величины. Такое уравнение или несколько подобных уравнений можно получить из геометрических зависимостей между деформациями элементов заданной конструкции.

Таким образом, степень статической неопределимости конструкции равна

n = 4 – 3 = 1.

Или говорят, что конструкция 1 раз статически неопределима.

Рассмотрим конструкцию после деформации ее элементов (рис. 3). Под действием силы Р жесткий брус может повернутся вокруг точки С, при этом стержни АЕ и ВК будут деформированы. Точки А и В описывают при повороте бруса дуги окружностей, которые ввиду малости перемещений заменяют касательными, т.е. считается что эти точки перемещаются по перпендикулярам к радиусам АС и ВС этих дуг. Точка А смещается вверх и занимает положение А₁, точка В – вниз, занимая положение В₁. Брус, как абсолютно жесткий элемент конструкции, – положение А₁В₁. Очевидно, что стержень ВК сжат и стал короче на величину ВВ₁ = Δl₂. Соединив точки Е и А₁, находим на чертеже положение стержня АЕ после его деформации. Опустив перпендикуляр из точки А₁ на первоначальное положение оси стержня – прямую АЕ, находим точку А₂.

Рисунок 3

Отрезок АА₂ = Δl₁ – удлинение стержня АЕ.

Действительно, Δl₁ = А₂Е – АЕ, и стержень АЕ растянут.

Выяснив направление усилий в стержнях, показываем векторы этих уравнений на схеме недеформированного состояния конструкции (рис. 2) и составляем уравнение ее равновесия:

. (1)

Определения составляющих реакции Z_С, Y_С для решения данной задачи не требуется, и два других уравнения статики не составляются.

Для вычисления усилий в стержнях N₁ и N₂ необходимо иметь еще одно уравнение, называемое уравнением совместности деформаций. Это уравнение получаем из геометрических соотношений между деформациями элементов заданной конструкции. При этом ввиду малости деформации изменением угла наклона стержня АЕ пренебрегаем, считая что