Примеры решения задач по оптике. Решение Освещенность величина, обратно пропорциональная площади. Площадь прямоугольного объекта s 5 8 4 (м 2 )

• Название: Решение Освещенность величина, обратно пропорциональная площади. Площадь прямоугольного объекта s 5 8 4 (м 2 )
• Анкор: Примеры решения задач по оптике.docx
• Дата: 21.03.2018
• Размер: 402.78 Kb.
• Имя файла: Примеры решения задач по оптике.docx
• Тип: Решение; #17017
• страница: 7 из 7

5.1. Расчет матрицы Гаусса оптической системы

Значения элементов матрицы Гаусса для сопряженных плоскостей:

• 
  А носит значение линейного увеличения.
  
• 
  Для случая сопряженных опорных плоскостей элемент B=0.
  
• 
  Элемент С не зависит от положения опорных плоскостей и всегда равен оптической силе c обратным знаком.
  
• 
  Элемент D - величина обратная элементу А, и для афокальной системы имеет смысл углового увеличения: D=
  

Задача 1.

Предмет величиной 5 мм находится на расстоянии 150 мм перед выпуклоплоской линзой с радиусом поверхности 50 мм, толщиной 10 мм и показателем преломления 1.5. Определить размер и положение изображения относительно последней поверхности S'. Решить задачу с помощью матриц. Осуществить проверку решения.

Решение:

Сначала необходимо определить параксиальные характеристики системы. По соотношениям, приведенным в практической работе 4, получим: f'=100; S_H=0 ; S'_H=-6.67.



Составляем матрицу преобразования лучей системой, опорные плоскости которой расположены в плоскостях предмета и изображения для данной задачи. Очевидно, что преобразований будет три, от предмета до главной плоскости - перенос T₀, на главных плоскостях - преломление R₁, до изображения - перенос T₁.

Итак, матрицы:

Матрица всей системы G=T₁·R₁·T₀. Правила перемножения матриц можно посмотреть в "Приложении П3. Арифметические операции над матрицами". Результат произведения матриц даст нам матрицу с одним неизвестным - a':



Условие сопряжения опорных плоскостей гласит, что элемент матрицы В=0. Составляем уравнение 150-0.5a'=0, значит, a'=300.

S'=S'_H+a'=300-6.67=293.33 мм.

Определение величины изображения. Изображение y'=y·β

Увеличение системы равно значению элемента А. β=1-3= -2.

y'= -2·5= -10.

Ответ: S'=293.33 мм, y'= -10 мм.

Проверка:

100/a'=1-(-100)/(-150)=1-2/3=1/3

a'=300, значит, S'=293.33 мм

Увеличение , значит, β= -(-100)/(-50)= -2.

Ответ: S'=293.33 мм, y'= -10 мм.

Задача 2.

Фокусное расстояние линзы f'=100 мм. Предмет находится на расстоянии a= -150 мм от передней главной плоскости линзы. Изображение формируется на расстоянии 300 мм от задней главной плоскости линзы. Найти значения элементов матрицы преобразования лучей при условии, что опорные плоскости совпадают с плоскостями предмета и изображения.

Решение:

Все элементы матрицы имеют свое назначение. Элементы A и D зависят от линейного увеличения системы.

β= -f/z= -(-100)/(a-f)=100/(-150+100)=-2.

Тогда A=-2; D=1/А=-0.5.

Необходимо определить силу линзы Ф=1/f'=0.01, значит C=-0.01.

Элемент В для сопряженных плоскостей равен 0.

Ответ: Матрица преобразования лучей данной системой: .

5.2. Расчет характеристик многокомпонентных оптических систем с использованием матриц

Вопросы расчета характеристик можно рассмотреть в основных определениях и соотношениях в параграфе "6.3. Матрицы оптической системы, состоящей из нескольких компонентов"

5.2.1. Пакет из плоскопараллельных слоев

Пакет плоскопараллельных слоев - это система, состоящая из сред с различными показателями преломления. Оптическая сила таких элементов равна нулю .



Приведенная матрица переноса для пакета плоскопараллельных слоев будет выглядеть следующим образом:

, где

Задача 1.

Пакет плоскопараллельных слоев состоит из трех пластин в воздухе, находящихся на расстоянии 11.00 и 5.00 мм соответственно. Толщины пластин d1=10.5 ; d2=9.00 и d3=3.4 мм. Показатели преломления n1=2.1 ; n2=1.5 и n3=1.7. Найти матрицу преобразования лучей данной системы. Решение: Матрица пакета слоев будет иметь вид:

Необходимо определить приведенные толщины слоев t: t1=10.5/2.1=5; t2=9/1.5=6; t3=2. И общая толщина всего пакта слоев равна сумме приведенных толщин и воздушных промежутков: t=5+11+6+5+2=29 мм.

Ответ: Матрица преобразования пакета:

Причем, вопрос в задачах может касаться не только всей матрицы, но и отдельных ее элементов. Как видите, сложный расчет в данной матрице касается только одного элемента B, тогда как остальные требуют не расчета, а простого знания структуры матрицы.

5.2.2. Оптическая система с нулевыми расстояниями между компонентами

Рассмотрим оптическую систему, в которой расстояния между компонентами равны нулю . Матрица такой системы:

  

то есть оптические силы таких компонент складываются:

Задача 2.

Компонент из трех тонких линз (с нулевыми расстояниями между ними) находится в воздухе. Определить значение элемента C матрицы преобразования лучей. Известно, что фокусные расстояния имеют следующие значения: f'₁=10, f'₂=-20 и f'₃=5 мм.

Решение

Общая оптическая сила этой системы будет равна сумме отдельных оптических сил. Необходимо определить приведенные силы линз Ф:
Ф₁=0.1, Ф₂=-0.05 и Ф₃=0.2.

Общая суммарная сила системы Ф=0.3-0.05=0.25 [1/мм=кдптр].

Элемент матрицы С=-Ф=-0.25

Ответ: Элемент матрицы С=-0.25

В задачах может быть предложен поиск и других элементов матрицы, но расчета требует только элемент С, а остальные нам известны заранее. Также задачи могут касаться поиска фокусного расстояния одного из элементов по заданной общей оптической силе.

5.3. Расчет характеристик двухкомпонентных оптических систем с использованием матриц

5.3.1. Двухкомпонентная оптическая система

Рассмотрим оптическую систему, состоящую из двух компонентов, разделенных ненулевым промежутком. Матрица такой системы: , а оптическая сила:      

Задача 1.

Оптические силы первого и второго компонентов двухкомпонентной оптической системы равны 10 и 1 дптр соответственно, расстояние между компонентами равно 50 мм. Чему равна оптическая сила системы?

Решение:

Общая оптическая сила этой системы будет равна : Ф=1+10-1·10·0.05=11-0.5= 10.5 (дптр).

Ответ: Оптическая сила Ф=10.5 дптр.

5.3.2. Афокальные (телескопические) системы

В афокальных (телескопических) системах линейное и угловое увеличение не зависят от положения сопряженных опорных плоскостей и, следовательно, не зависят от положения предмета и изображения. Линейное увеличение такой системы:


Подробнее этот вопрос рассмотрен в параграфе "6.3.3. Двухкомпонентная оптическая система".

Задача 2.

Дана афокальная система из двух линз: f'₁=20 мм, f'₂=-40 мм. Найти угловое увеличение системы.

Решение:

Для афокальных систем угловое увеличение - величина, обратная линейному увеличению. По соотношениям, известным для линейного увеличения системы, имеем: β=40/20=2. Соответственно, W=0.5.

Ответ: Линейное увеличение β=2; угловое W=0.5.

5.4. Расчет параксиальных характеристик линзы с использованием матриц

Матрица тонкой линзы

Линзы и диоптрические (преломляющие) элементы можно рассматривать как многокомпонентные системы, состоящие из поверхностей, разделенных промежутками. Например, линзу в воздухе можно представить в матричном виде:

После преобразований матрица линзы (опорные плоскости в вершинах) примет вид: В этой матрице хорошо видны зависимости элементов от основных кардинальных характеристик системы.

Задача

Перед стеклянным стержнем с выпуклой поверхностью радиусом 20 мм на расстоянии 100 мм расположен предмет. Величина предмета y=10 мм. Определить величину и положение изображения внутри стеклянного стержня, если показатель преломления среды стержня n=1.5.

Решение:

Сначала необходимо определить этапы построения изображения этой системой.

Этапа получается три: перенос от предмета до преломляющей поверхности - T₀, преломление - R, перенос до изображения - T₁.

Определим матрицы:

;



Произведение матриц даст нам матрицу G преобразования лучей этой системой.





Положение изображения:

Для сопряжения ОП и ОП' условие B=0.

100-x=0. Значит, х=100 - изображение находится на расстоянии 100 мм от края стержня.

Размер изображения:

Величина A - линейное увеличение, а величина D - обратная ей.

Значит, β=1/-1.5=-0.66. Величина изображения y'= β·y=-0.66·10=-6.6 мм. Изображение будет перевернутым.

Ответ: Перевернутое изображение величиной 6.6 мм будет находиться внутри стержня на расстоянии 100 мм от края.

Пример определения параксиальных характеристик системы по матрице Гаусса изложен в "Приложении П2. Вычисление и отображение параксиальных характеристик при помощи матричной оптики".