Решение задач в пакете MathCad Лабораторный практикум Костанай, 2017
 Скачать 1.93 Mb.
|
|
Ïîâåðõíîñòü ïî ïàðàìåòðè÷åñêîìó âûðàæåíèþ Çà äàí èå ï îâ åðõí î ñòè â âåêòîðíî é ï àðà ìåòðè÷åñêî é ôî ðì å G 5 2 cos cos 5 2 cos sin 2 sin Èñõîäíûé ãðàôèê Ãðàôèê ïîñëå Рисунок 33 - Применение новой функции CreateMesh На рис. 34 показана технология применения этой функции. Построение слева дано при форматировании по умолчанию, а справа - после ввода функциональной окраски и поворота фигуры мышью. Ïðèìåíåíèå ôóíêöè è CreateMesh 1. Çàäàäèì ôóíêö 2-õ ïåðåìåííûõ 2. Çàäàäèì ïðåäåëû èçìåíåíèÿ ïåðåìåííûõ 3. Èñïîëüçóÿ Ôóíêö, ñîçäàäèì ìàòðèöó ïîâåðõ íîñòè H u v ( ) sin u v ( ) u0 2 u1 2 v0 2 v1 2 C Creat eMesh H Рисунок 34 - Построение объемной фигуры, образованной вращением кривой Еще один полезный пример применения функции CreateMesh - построение объемной фигуры, которая получается вращением кривой, заданной функцией f(x), вокруг оси Х или Y. На рис. 35 показан пример решения данной задачи. Слева на рис показана исходная кривая, заданная функцией ха справа дано построение объемной фигуры с применением форматирования для повышения наглядности графика. 72 Âðàùåíèå âîêðóã îñè Õ f x ( ) x cos x 2 a 2 b 2 mesh 30 F u v ( ) u G u v ( ) f u ( ) cos v ( ) H u v ( ) f u ( ) sin v ( ) S Creat eMesh F G H a b 0 2 mesh Ãðàôèê ôóíêöèè f(x) Ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ ãðàôèêà F(x) 2 0 2 2 0 2 f x ( Рисунок 35 - Построение объемных фигур с помощью функции Polyhendron В Mathcad 2000 PRO появилась новая функция для построения объемных фигур полиэдров - Polyhendron ("name"), где name - имя фигуры. Имя ряда фигур можно задавать явно, например Polyhedron("cube") для куба, но можно задавать его ив виде "#N", где N - номер фигуры. Рис. 36, 37 иллюстрируют применение данной функции вместе ввода данных шаблона для построения графиков трехмерных поверхностей. Построенная фигура может форматироваться, как и другие графики трехмерной поверхности, а также вращаться, приближаться и удаляться с помощью мыши. Ïîñòðîåíèå îáúåìíîé ôèãóðû ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Polyhedron(name) name "oct ahedron" Polyhedron name ( ) Polyhedron Рисунок 36 - Построение полиэдров Для описания произвольных полиэдров в Mathcad 2000 PRO служит функция PolyLoop, которая может задаваться в трех формах - PolyLoop(“name”) - PolyLoop(“#N”) - Описатель) 73 Аргументом функции является строка с именем, номером фигуры или ее описателем в случае создания составных полиэдров. В таблице 10.1 представлены описания составных полиэдров с помощью функции PolyLoop. Таблица 10.1 - Описание составных полиэдров с помощью функции PolyLoop Имя Номер кода Описатель Двойное имя pentagonol prism 1 2 5|2 Pentagonal di pyramid Icosohedron 27 5|2 3 Dodecahedron Cube 11 3|2 4 Octahedron Çàäàíèå ôèãóðû Cuboctahe dron è ïîñòðîåíå åå ãðàôèêà Polyhedron "#12" ( ) Cuboctahe dron name PolyLookup "#12" ( ) "cuboctahedron" "rhombic dodecahedron" "2|3 4" dual Wythoff Рисунок 37 – Кубоктаэдрон Большое число примеров применения функции PolyLoop можно найти в справочной системе Mathcad 2000 - раздел Polyhendron таблиц Reference Tables. На рис. 38 показана страница этого раздела, посвященная регулярными квазирегулярным полиэдрам. Всего в таблицах имеется около 60 полиэдров, заданных с помощью функции Poly Loop. Рисунок 38 - Страница раздела полиэдров 74 5 Построение на одном графике нескольких трехмерных объектов Новые версии Mathcad предоставляют возможность построения нескольких пересекающихся или непересекающихся поверхностей на одном графике. Для этого достаточно указать в шаблоне графика их описание в виде матриц (или наборов матриц в круглых скобках. Mathcad 2000 PRO позволяет строить на одном графике поверхности и объемные фигуры - полиэдры. На рис. 39 показано построение октаэдра, как бы находящегося внутри поверхности, заданной функцией z(х,у) =-cos(х-у). z x y ( ) cos x y ( ) z Polyhedron "Oct ahedro Рисунок 39 – Октаэдр 6 Построение контурных трехмерных графиков Один из широко распространенных типов графиков для представления поверхностей - график из линий равного уровня. Такие графики широко применяются, например, в картографии. Команда Contour Plot (контурный график) служит для построения шаблона таких графиков. Он подобен шаблону, описанному в предыдущем (рис. 40). Êîíòóðíûé ãðàôèê ïîâåðõíîñòè f x y ( ) sin x 2 y 2 x 0 20 y 0 20 M x y ( ) f x 10 ( ) 5 y 10 ( ) 5 Ìàòðèöà àïïëèêàò Рисунок 40 - Построение контурных трехмерных графиков 75 Представление графика с оцифровкой линий удобно для количественных оценок. 7 Построение контурных графиков без явного задания матрицы Весть более удобный способ построения контурных графиков - без задания в явном виде матрицы узловых точек, используемых для построения кривых. В этом случае (рис. 41) достаточно в шаблоне ввода указать имя функции. При использовании цветной функциональной окраски описанные выше типы графиков выглядят весьма впечатляюще (см. рис. 41 справа. Но неплохие результаты получаются и при задании монохромной функциональной окраски. В этом случае гамма цветов заменяется разной плотностью серого цвета - от белого до черного (см. рис. 41 слева. Êîíòóðíûé ãðàôèê òðåõìåðíîé ïîâåðõíîñòè ïîñòðîåííûé ñ ç àäàíèåì òîëüêî å¸ ôóíêöèè f x y ( ) sin 0.2 x y ( ) f Рисунок 41- Контурный график 8 Вывод шаблона точечного трехмерного графика Построение точечного графика с заданием матрицы аппликат точек Нередко трехмерные поверхности представляют в виде находящихся в этом пространстве точек, кружочков или иных фигур. Каждая из этих фигур несет информацию о геометрическом положении ее центра в трехмерном пространстве. Такой график (рис. 42) создается командой 3D Scatter Plot точечный график. 76 Ãðàôèê ïîâåðõíîñòè 3D Sc atter Plot x 0 20 y 0 20 f x y ( ) sin x 2 y 2 M x y ( ) f x 10 ( ) 5 y 10 ( ) 5 Ìàòðèöà àïïëèêàò Рисунок 42 - График Scatter Plot Размеры точек, их вид и окраску можно изменять с помощью команд форматирования трехмерного графика. Объекты могут быть представлены не только в виде точек, но ив виде иных фигур - крестиков, окружностей, квадратов и др. Mathcad 2000 позволяет строить точечные графики без явного задания матрицы аппликат отображаемых точек. Достаточно указать в шаблоне графика имя функции двух переменных, задающей аппликаты точек (рис. 43). f x y ( ) sin Рисунок 43 - Точечный график Этот способ имеет то неудобство, что масштабы осей, установленные по умолчанию, не всегда приемлемы, поэтому требуется либо нормировать функцию, либо переформатировать график, изменив масштабы осей. На рис. 44 реализован первый случай. Разумеется, формирование графика позволяет получить и иные эффекты, например, вывод точек с функциональной окраской, вывод титульной надписи (см. рис. 44) и др. Mathcad 2000 имеет еще одну новую графическую функцию CreateSpace(F, t0, t1, tgrid, fmap). Эта функция отличается от функции Столько тем, что заданная в векторном виде функция F является функцией одной переменной tgrid, причем t0 и t1 устанавливают пределы ее изменения, а fmap - число линий сетки. С помощью функции CreateSpace 77 удобно строить точечные графики в виде пространственных спиралей и иных подобных геометрических образов. 1. Çàäàäèì â âåêòîðíîé ôîðìå ôóíêöèþ îäíîé ïåðåìåííîé t: 2. Îïðåäåëèì ïðåäåëû t è ÷èñëî òî÷åê ãðàôèêà grid: H t ( ) t sin t ( ) t cos t ( ) t t 0 0 t 1 16 t grid 160 3. Èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ , ñîçäàäèì ìàòðèöó C Creat eSpace H t 0 t 1 t grid ( ) 4. Èñïîëüçóÿ ïîñòðîåíèå ãðàôèêà òèïà , ïîëó÷èì Рисунок 44 - Применение функции CreateSpace 9 Обычное построение гистограмм Весьма распространенной формой представления поверхностей является представление рядом трехмерных столбиков, высота которых определяется значением координаты у. Для этого используется команда 3D Bar Plot трехмерная гистограмма. На рис. 45 показана стандартная технология построения таких графиков с заданием матрицы аппликат поверхности, представляемой столбиками. i 1 20 j 1 20 f x y ( ) cos x y ( ) M i j f Рисунок 45 - Использование команды 3D Bar Plot Подобные графики широко применяются при представлении сложных статистических данных. Обычно их построение считается высшим пилотажем, но Mathcad превращает его в обыденную операцию. При этом, как видно на рис. 46, достаточно наглядным является представление столбиками и сложных трехмерных поверхностей. 78 Mathcad 2000 дает возможность упростить построение трехмерных гистограмм за счет указания в шаблоне ввода графика только имени функции. Пример такого построения дан на рис. 46. f x y ( ) cos x y ( ) f Рисунок 46 - Трехмерная гистограмма В отношении трехмерной гистограммы возможны все операции форматирования, включая поворот графиков мышью. 10 Обычное построение графиков векторного поля Еще один вид представления поверхности - векторное представление. Оно задается построением коротких стрелочек - векторов. Стрелка обращена острием в сторону нарастания высоты поверхности, а плотность расположения стрелок зависит от скорости этого нарастания. На рис. 47 показан пример подобного графика. Для его построения используется команда Vector Field Plot векторное поле. В данном случаев шаблон ввода вводится имя матрицы М. i 1 20 j 1 20 f x y ( ) sin x y ( ) M i j f Рисунок 47 - Векторный график Эти графики применяются редко из-за трудности построения множества стрелок, для каждой из которых надо рассчитывать градиент поля. Но Mathcad дает удобную возможность широкого применения этого вида графиков. Он 79 особенно удобен для представления электромагнитных, тепловых, гравитационных и иных полей. Еще один способ построения графиков векторного поля заключается в задании поверхности в параметрической форме. Этот случай представлен на рис. 48. xlow 2 xhigh 2 xn 10 V x y ( ) y 2 1 x 2 y ylow 2 yhigh 4 yn 10 i 0 xn 1 xind i xlow i xhigh xlow xn 1 j 0 yn 1 yind j ylow j yhigh ylow yn 1 F i j V xind i yind j M i j F i j 0 N i j F i j 1 M Рисунок 48 - График векторного поля в параметрической форме 11 Расширенные возможности построения графиков Форматирование трехмерных графиков в Mathcad 8.0/2000 - довольно сложный процесс, поскольку число параметров форматирования достигает многих десятков. Для облегчения задания трехмерных графиков используется специальный мастер, разбивающий процедуру форматирования на несколько вполне очевидных этапов. Для этого вначале надо ввести функцию или матрицу поверхности, как описывалось выше, а затем выбрать команду Insert вставка (график) 3D Wizard (мастер трехмерной графики. В окне документа появится первое окно мастера - Plot Type (тип графика, показанное на рис. 49. Рисунок 49 - Окно мастера Plot Type В этом окне требуется выбрать необходимый тип графика. Установить переключатель Surface Plot и щелкнуть на кнопке Далее, чтобы перейти к 80 следующему окну мастера - Appearance (вид. В нем установить переключатель Fill Surface and Draw Lines (окрашенная поверхность с линиями. Далее, можно вывести последнее окно мастера - Coloring (задание цветовой гаммы. Здесь установить переключатель Color using lighting (цвет определяется высотой. Нажать кнопку Готово, если введенные параметрывы считаете правильными. Кнопка Назад позволяет вернуться к предыдущему окну, если вы решите изменить введенные ранее параметры. По завершении работы с мастером на месте курсора ввода (красный крестик) появится шаблон трехмерного графика, для его построения надо вместе ввода графика указать имя функции, для которой будет построен график. После этого, отведя указатель мыши от поля графика, надо щелкнуть левой кнопкой мыши - график будет тут же построен, что и иллюстрирует рис. f x y ( ) sin 0.2x Рисунок 50 - Построенный график Mathcad 2000 предусматривает возможность оперативной смены типа графика, отображающего какую-либо поверхность. Для этого достаточно вывести на экран окно форматирования, дважды щелкнув мышью в области графика. Появится окно, оно будет открыто на вкладке General (общие, позволяющей задавать общие параметры форматирования, включая отмеченную выше возможность оперативной смены типа графика соответствующие переключатели расположены в нижней части вкладки. Для изменения типа графика надо установить один из шести переключателей в нижней части вкладки и щелкнуть на кнопке Применить. Тут же будет построен график без удаления окна форматирования. После этого можно продолжить форматирование графика. Задания 1. Постройте на одном рисунке три пересекающиеся поверхности z1(x,y):=- cos(x*y), z2(x,y):=cos(x*y), z3(x,y):=x*y/25. Рисунок отформатируйте с применением функциональной окраски. 2. Построение на одном графике двух трехмерных поверхностей с разными способами задания 81 G 5 2 cos cos 5 2 cos sin 2 sin z x y ( ) x 2 y 2 30 G z 1. Постройте графики функций х"2+у"2 и cos(x*y) и отформатируйте их для получения наибольшей наглядности. Контрольные вопросы 1. Какие типы трехмерных графиков позволяет строить Mathcad? 2. Опишите шаблон трехмерного графика. 3. Какими способами можно вывести шаблон трехмерного графика 4. Как строится трехмерный график при параметрическом задании функции 5. Как вывести панель форматирования трехмерного графика 82 Заключение Мы довольно полно рассмотрели универсальную математическую систему MathCad. Эта система достигла весьма высокого уровня развития самые изысканные математические возможности здесь сочетаются с естественными удобным пользовательским интерфейсом и богатой графикой. Перечислим основные достоинства MathCad `a. Во-первых, это универсальность пакета MathCad, который может быть использован для решения самых разнообразных инженерных, экономических, статистических и других научных задач. Во-вторых, программирование на общепринятом математическом языке позволяет преодолеть языковой барьер между машиной и пользователем. Потенциальные пользователи пакета - от студентов до академиков. И в-третьих, совместно применение текстового редактора, формульного транслятора и графического процессора позволяет пользователю входе вычислений получить готовый документ. Наверное, люди ещё не привыкли к тому, что решить систему дифференциальных уравнений из пяти переменных шестого порядка можно не только с помощью карандаша и бумаги, но и с помощью компьютера и MathCad `a. Зачем человеку с высшим образованием, который знает и может решить эту систему, решать её на бумаге, когда можно переложить эту рутинную работу на плечи мощных вычислительных машин. Другое дело учащиеся учебных заведений. Они конечно же, решат эту систему, но получив в ответе массу чисел и выражений, не будут знать, где ответ и правильный ли он. Потому что они не понимают смысла того, что делают. Поэтому, компьютеры в учебных заведениях безусловно, нужны, но только для студентов старших курсов. Ну а студентам младших курсов они нужны лишь для того, чтобы учится на них работать и программировать, а использование готовых программных продуктов возможно лишь только при понимании задачи знания принципа её решения. Приятно быть сильным физически, но быть сильным интеллектуально не менее приятно. Именно эти чувства испытываешь при работе сом Список использованных источников 1 Дьяконов В. Mathcad 2000: учебный курс - СПб: Питер, 2000. - 592 с. 2 Кирьянов ДА. Самоучитель MathCad 11.– Санкт-Петербург: БВХ- Петербург, 2003.– 540 с. 3 Симанович СВ. Информатика. Базовый курс. – Санкт-Петербург: Питер, 2004.– 640 с. 4 Гурский ДА. Вычисления в MathCad. – Минск Новое знание, 2003.– 814 с. 5 Гурский ДА, Турбина Е.А. MathCad для студентов и школьников. Популярный самоучитель Санкт-Петербург: БВХ- Петербург, 2005.– 40 с. 6 Гурский ДА, Турбина Е.А. Вычисления MathCad 12– Санкт-Петербург: Питер, 2006.– 546 с. 7 Дж. Гленн Брукшир. Введение в компьютерные науки = Computer Science: An Overview. — е изд. — М Вильямс, 2001. — 688 с. 8 Грошев АС. Информатика. Учебник для вузов. — Архангельск Арханг. гос. техн. унт, 2010. — 470 с 9 Охорзин В.А. Прикладная математика в системе MATHCAD Учебное пособие. е изд. СПб.: Лань, 2009. - с. 10 Охорзин В.А. Компьютерное моделирование в системе Mathcad. М Финансы и статистика, 2006. -с. Ивановский Р. Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad. М БХВ-Петербург, 2008. - с. 12 Очков В.Ф. Mathcad 14 для студентов и инженеров. С.-Пб.: БХВ- Петербург, 2007. 13 Алексеев ЕР, Чеснокова О. В. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9. М НТ Пресс, 2006. - с. 14 Черняк А, Черняк Ж, Доманова Ю.Высшая математика на базе Mathcad. Общий курс С-Пб.:БХВ-Петербург, 2004. |