Решение задач в пакете MathCad Лабораторный практикум Костанай, 2017
 Скачать 1.93 Mb.
|
|
Министерство образования и науки Республики Казахстан Костанайский государственный университет имени А.Байтурсынова Кафедра математики А.А. Утемисова Решение задач в пакете MathCad Лабораторный практикум Костанай, 2017 УДК 511 ББК я У 84 Автор Утемисова Анар Алтаевна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики Рецензенты Баганов Николай Анатольевич – кандидат технических наук, доцент кафедры транспорт и сервис КИнЭУ им. М.Дулатова Ысмагул Роза Сапабековна – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики КГУ им. А.Байтурсынова Салыкова Ольга Сергеевна – кандидат технических наук, доцент кафедры программного обеспечения КГУ им. А.Байтурсынова Утемисова А.А. У 84 Решение задач в пакете MathCad. Лабораторный практикум / А.А. Утемисова / – Костанай: КГУ имени А. Байтурсынова, 2017.- 83 с. В лабораторном практикуме приведены теоретический материал и общие положения программной среды MathCad. Разработаны лабораторные работы для проведения автоматизированных вычислений с использованием программного комплекса MathCad. К каждой лабораторной работе приведены примеры выполнения и индивидуальные задания. Данный практикум предназначен для студентов очной формы обучения специальности В – Математика. ISBN 978-601-7933-89-0 ББК я У Утверждено и рекомендовано к изданию Учебно-методическим советом Костанайского государственного университета имени А. Байтурсынова 14 июня 2017 г, протокол № 4 © Костанайский государственный университет им. А. Байтурсынова ©Утемисова А.А., 2017 Содержание Введение ……………………………………………………………………… 4 Общие положения ………………………………………………………….… 5 1 Интерфейс пользователя 5 1.1 Математические панели 5 2 Создание формул 6 3 Графики 7 3.1 Двумерные графики ……………………………………………………… 8 3.2 Трехмерные графики …………………………………………………….. 11 4 Символьные вычисления ………………………………………………..…. 18 5 Действия с матрицами ……………………………………………………... 19 6 Нахождение корней уравнения, решение уравнений и систем уравнений …………………………………………………………………….. 20 7 Вычисление производных и интегралов. 21 8 Вычисление обычных дифференциальных уравнений 23 9 Программирование в Mathcad……………………………………………… 24 10 Обработка данных средствами Mathcad…………………………………. 26 Лабораторная работа № 1. Нахождение корней уравнения в Mathcad…... 28 Лабораторная работа № 2. Действия с матрицами в Mathcad……………. 33 Лабораторная работа № 3. Нахождение решений системы линейных уравнений в Mathcad……………………………………………………….. 37 Лабораторная работа № 4. Нахождение решений системы нелинейных уравнений в Mathcad……………………………………………………….. 44 Лабораторная работа № 5. Символьные действия математического анализа в Mathcad…………………………………………………………….. 47 Лабораторная работа № 6. Вычисление производных в задачах геометрии и частных производных. 51 Лабораторная работа № 7. Вычисление интегралов в задачах геометрии и механики ………………………………………………………………..……. 56 Лабораторная работа № 8. Решение обычных дифференциальных уравнений в Mathcad………………………………………………………….. 60 Лабораторная работа № 9. Интерполяция экспериментальных данных в Mathcad………………………………………………………………………… 64 Лабораторная работа № 10. Работа с трехмерной графикой. 67 Заключение …………………………………………………………………… 82 Список использованных источников. 83 4 Введение Для выполнения сложных расчетов, связанных с выполнением многих инженерных задач, может быть использована уникальная программа MathCad [1-6]. Эта автоматизированная система разрешает динамично обрабатывать данные в числовом и формульном (аналитическом) виде. Программа MathCad имеет также возможности проведения расчетов и подготовки форматированных научных и технических документов. Программа MathCad рассматривает широкий спектр задач, таких как – подготовка научно-технической документации, которая включает в себя текст, формулы в обычном для специалистов виде – вычисление результатов математических операций с числовыми константами, переменными и размерными физическими величинами – операции с векторами и матрицами – решение уравнений и систем уравнений (неравенств – построение двумерных и трехмерных графиков – тождественные преобразования выражений (в том числе их упрощение – аналитическое решение уравнений и систем – дифференцирование и интегрирование (аналитическое и численное – решение дифференциальных уравнений – анализ данных. Научно-технические документы, как правило, имеют формулы, результаты расчетов в виде таблиц данных и графиков, текстовые комментарии или описания, другие иллюстрации. В программе MathCad им соответствуют два вида объектов формулы и текстовые блоки. Формулы вычисляются с использованием числовых констант, переменных, функций (стандартных и определенных пользователем, а также с использованием общепринятых определений математических операций. С помощью С можно решать в широких пределах технические проблемы - от простого к самому сложному - численно или символьно. Более детально математические операции, которые присутствуют в программной среде MathCad, рассмотрены к каждой приведенной лабораторной работе. Рассмотрена работа с матрицами, возможность решения линейных и нелинейных систем уравнений, линейная и сплайнова интерполяция, символьные алгебраические вычисления, символьные действия из математического анализа (дифференцирование, интегрирование, и т.п.), определение решения дифференциальных уравнений, специальные функции. Основные положения, которые рассматриваются в этой работе, относятся к базовому программному продукту MathCad . Сейчас есть несколько его версий [3, 6], каждая из них имеет свои особенности, но основные операции для выполнения вычислений присутствуют во всех новых разработках MathCad . 5 Общие положения Объекты программы MathCad: формулы и текстовые блоки, - располагаются в документе MathCad, который называется рабочий лист. В процессе выполнения расчетов формулы обрабатываются постепенно, слева направо и сверху вниз. Ввод информации выполняется вместо положения курсора, который может быть представлен водном из трех видов - курсор в виде крестика используется, если этот курсор определяет местоположение следующего объекта - угловой курсор используется при введении формул. Этот курсор указывает на текущий элемент выражения - текстовый курсор (образная вертикальная черточка) используется при введении текста. 1 Интерфейс пользователя 1.1 Математические панели Математических панелей в MathCad девять. Приоткрываются панели с помощью соответствующих команд панели Math (Математические) (рис, однако можно использовать и стандартный метод обращения к меню Toolbars Инструменты, меню і (Вид. Кратко охарактеризуем все панели семейства Math (Математические. – Calculator (Калькулятор, Арифметика. На данной панели расположены арифметические операторы, цифры от 0 до 9, наиболее распространенные функции и математические константы, а также операторы вывода риса (Графические, Графики. С помощью этой панели можно вызвать шаблоны для построения разнообразных графиков и поверхностей. На панели также расположены ссылки на инструменты для анализа данных (рис, б. – і (Матричные, Матрица. На панели расположены операторы создания, обращение, транспонирование матрица также операторы матричных индексов и колонок. На панели также расположены операторы для работы с векторами (рис, в. – і (Выражения. На панели находятся ссылки на все операторы ввода и вывода в MathCad, а также шаблоны для создания пользовательских операторов (рис, г. – Calculus (Вычислительные, Вычисление, Матанализ. На панели находятся применяемые при решении задач математического анализа операторы определенного и неопределенного интегралов, производных, лимитов, сложений и произведений, символ бесконечности (рис, д. – Boolean (Булевые, Логика. Эта панель предназначена для задания логических операторов рисе і (Программирование. Панель содержит операторы языка программирования MathCad (рис, ж. 6 – Greek (Греческие, Греческий Алфавит. На данной панели расположенные буквы греческого алфавита (рис, з. – і (Символика, Символы. Панель предназначена для проведения аналитических преобразований (рис, и. а) б) в) где) ж) з) і) Рисунок 1 – Математические панели инструментов программы MathCad 2 Создание формул Формулы - основные объекты MathCad. Новый объект по умолчанию является формулой. Для того, чтобы начать ввод формулы необходимо установить крестообразный курсор в нужное место и начать ввод букв, цифр, знаков операций. При этом создается область формулы, в которой появляется угловой курсор. Элементы формул можно вводить с клавиатуры или с помощью панелей. Формулы, которые введены в MathCad, автоматически приводятся к стандартной научно-технической форме записи. В программе MathCad можно использовать буквенные определения, которым сопоставляются числовые значения, и которые рассматриваются как переменные. Буквенные значения задаются с помощью оператора присваивания он вводится символом ":="). Таким же образом можно задавать числовые последовательности, аналитически определенные функции, матрицы, векторы. При введении бинарного оператора за знаком операции автоматически появляется заполнитель в виде прямоугольника, в это место вводится следующий операнд. Для управления порядком операций используются круглые скобки, которые можно вводить вручную. Угловой курсор разрешает автоматизировать такие действия 7 – для выделения элементов формулы, которые в рамках операции должны рассматриваться как одно целое, используется клавиша Space; – при нажатии каждого раза на клавишу Space угловой курсор расширяется, включая элементы формулы, которые расположены рядом сданным после введения знака операции элементы в пределах углового курсора автоматически заключаются в скобки. Если все значения переменных известны, то для вычисления числового значения выражения (скалярного, векторного или матричного) необходимо подставить все числовые значения и выполнить заданные действия. В программе MathCad применяется оператор вычисления, который вводится символом "=". Кроме того, есть возможность задавать значение известных параметров, провести вычисление с представлением аналитическими формулами, результат присвоить некоторой переменной, а потом использовать оператор вычисления для вывода значения этой переменной. Комментарии, описания и иллюстрации располагаются в текстовых блоках, которые игнорируются при проведении расчетов. При изменении любой формулы программа автоматически выполняет необходимые вычисления, обновляя при этом значения и графики, которые изменились. При проведении расчетов с использованием реальных физических величин учитывается их размерность. В программе MathCad единицы измерения (в любой системе) присоединяются к значению величины с помощью знака умножения. 3 Графики Графики, которые строятся на основе результатов вычислений также рассматриваются как формулы. В Mathcad встроено несколько типов разных графиков, которые можно разбить на две группы двумерные и трехмерные графики. Все основные типы графиков и инструменты работы сними расположены на рабочей панели Graph (Графические) семейства Math (Математические) (рис.2,б): – График кривой в двумерной декартовой системе координат (X-Y Plot). – График кривой в полярной системе координат (Polar Plot). – Поверхность (Surface). – Контурный график (Contour Plot). – Столбиковая трехмерная (3D) диаграмма (3D Bar Plot). – Точечный трехмерный (3D) график (3D Scatter Plot). – Векторное поле (Vector Field). Аналогично панели Graph (Графические) список всех типов графиков Mathcad расположен в одноименном подменю меню Insert (Вставка. 8 3.1 Двумерные графики В Mathcad существует несколько способов задания кривых в декартовой системе координат, однако первый шаг для всех один и тот же. Первым шагом есть введения специальной заготовки для будущего графика - так называемой графической области. Ввести графическую область как для декартового, таки для любого другого графика можно из панели Graph Графические, командой одноименного меню І (Вставка) или нажатием комбинации клавиш і. Графическая область представляет собой две вложенные рамки. Во внутренней отображаются непосредственно кривые зависимости. Пространство между рамками служит для визуализации разного рода служебной информации. Графическую область можно увеличивать и уменьшать с помощью специальных маркеров, расположенных на ее внешней рамке. Перемещать по документу и удалять графические области можно также, как простые формулы. Окно форматирования вида графической области (і Свойства) также целиком совпадает с аналогичным окном для формул. Открыть его можно с помощью одноименной команды контекстного меню графика (вызывается щелчком правой кнопкой мыши на графической области. В окне Properties (Свойста) могут быть полезными два параметра, расположенных на вкладке Display. – Highlight Region (Цветная область. Установив этот флажок можно на палитре Choose Color (Выбор цвета) определить наиболее подходящий цвет заливки для графической области. – Show Border (Показать границу. Параметр отвечает за отображение внешней границы графической области. По умолчанию граница не визуализируется. После того как графическая область будет введена, в общем случае нужно задать два размерных вектора, которые определяют значение координат точек. Сделать это можно разными способами. Наиболее простым методом задания координатной сетки есть так называемый быстрый метод. При его применении пользователь задает только имя переменной и вид функции, а шкалы осей и величину шага между узловыми точками автоматически определяет система. Чтобы построить кривую функции быстрым методом, можно выполнить следующую последовательность действий. 1. Ввести графическую область. 2. В специальном маркере, расположенном в центре под внутренней рамкой графической области, задать имя переменной. 3. В центральный маркер, расположенный полевую сторону от внутренней рамки, ввести функцию или имя функции. К недостаткам рассмотренного метода относится прежде всего то, что область изменения переменной для всех функций определяется одинаково от -10 до 10. 9 Для того, чтобы изменить область изменения, нужно просто уменьшить интервал изменения переменной или функции. Для этого необходимо выделить графическую область щелчком левой кнопки мыши. Непосредственно под крайними значениями (для оси X) или полевую сторону от них (для оси Y) появятся цифры, которые отражают максимальные и минимальные величины координат узловых точек графика. Чтобы изменить их значения необходимо удалить старые величины и ввести другие. Изменения границ по оси X вызывает автоматический перерасчет крайних значений по оси Y. На практике же, как правило, приходится определять границы сразу по обеим осям. Это связано стем, что хорошо подобрать интервал по оси значений функции системе удается далеко не всегда. Это можно сделать для настраивания вида графика рассмотренной функции, изменяя диапазон как по оси X, таки по оси Y. В ряде случаев намного удобнее задать векторы данных самостоятельно. Выполнить это можно с помощью оператора ранжированной переменной вводится из панели і (Матричные. Чтобы задать вектор значений переменной с помощью оператора Range і Ранжированная переменная, выполняется следующая последовательность действий. 1. Ввести имя переменной вместе с оператором присваивания. 2. Задать левую границу интервала построения и поставить запятую. 3. Ввести оператор ранжированной переменной. 4. В левом маркере введенного оператора задать вторую точку на промежутке (тем самым определяется шаг. 5. В правый маркер оператора ранжированной переменной вводится значение правой границы на интервале. В результате переменная и функция будут заданы в виде двух размерных векторов, по которым будет построен график. Использование способа построения графика с помощью оператора ранжированной переменной имеет очень важное преимущество перед быстрым методом, поскольку позволяет задавать произвольным образом шаг между узловыми точками. Построить график в с можно и по готовым векторам или таблицам данных, полученных, например, при эксперименте или выполнении лабораторной работы. В сна одну графическую область можно поместить до 16 кривых. Чтобы добавить к уже имеющемуся графику еще один, можно выполнить следующую последовательность действий. 1. Установить курсор по правую сторону от выражения, которое определяет координаты последнего ряда данных по оси Y (предварительно выделив его. 2. Опустить курсор на строку ниже, нажать на знак запятой (,) ив маркер, который появился, ввести выражение для новой функции или имени функции. 10 С помощью описанного метода можно построить графики функций одной переменной. Если же кривые, которые нужно отобразить на одной области, зависят от разных переменных, то их, полностью аналогично добавлению новых функций, следует ввести через запятую в нижний маркер в том же порядке, в котором вводились соответствующие им функции. Задание графиков в полярной системе координат с технической точки зрения не имеет ровно никаких принципиальных отличий от создания графиков на декартовой плоскости. Для начала нужно ввести графическую область. Выполнить это можно или с помощью специальной кнопки Polar Plot Полярный график) панели Graph (Графические, или комбинацией клавиш Ctrl+7. Как ив случае зависимости X-Y, для полярного графика существует два основных метода построения быстрый способ построения и использование ранжированных переменных. При задании полярной системы координат по быстрому методу система автоматически определит область изменения угла от 0 до 360°. В отличие от области изменения угла, величину диапазона полярного радиуса можно задать произвольным образом непосредственно на графической области. Для форматирования графика необходимо дважды нажать на область графика. Для управления отображением линий на графику существует вкладка Traces (Линии) (риса, где приведен формат каждой линии и элементы управления изменением формата. Поле Legend Label (Описание) задает описание линии, которое отображается, если снять флажок і Legend Закрыть описание) (рис. б. Маркеры для отдельных точек можно выбрать из списка Symbol (Символ, из списка і (Тип линии) выбирается тип линии, а из списка Color (Цвет) - цвет графика. Список Type (Тип) определяет средство связи отдельных точек графика, а список і (Толщина) - толщину линии на графике (рис.2,в). Форматирование данных графика выполняется с использованием диалогового окна Result Format (рис, г. Аналогично можно построить и отформатировать график в полярных координатах. Для его построения нужно воспользоваться командой І Graph/Polar Plot. а) б) в) 11 г) Рисунок 2 – Диалоговые окна для форматирования графиков |