Решение задач в пакете MathCad Лабораторный практикум Костанай, 2017
 Скачать 1.93 Mb.
|
|
3.2 Трехмерные графики Для построения трехмерных графиков можно использовать наиболее простой и практически важный, быстрый метод построения трехмерного графика (і. В его основе лежит тот же принцип, который используется и при быстром задании двумерной зависимости пользователь определяет только вид функции, а все параметры построения, такие как шаг между узловыми точками, диапазон шкал осей и система координат, задаются автоматически системой. Типы трехмерных графиков следующие Contour Plot - график линий уровня (график поверхности 3D Bar Plot - график трехмерной гистограммы 3D Scatter Plot - график множества точек Vector і Plot - график векторного поля. График векторного поля немного отличается от других типов двумерных графиков. Его содержание заключается в построении некоторого вектора в каждой точке плоскости XY. Чтобы задать вектор на плоскости, необходимы два скалярных числа. Поэтому в с принято, что векторное поле задает комплексная матрица. Действительные части каждого ее элемента задают проекцию вектора на ось Ха мнимые - на ось Y. Рисунок 3 – Область для создания трехмерных графиков Чтобы создать трехмерный график, нужно нажать кнопку с изображением каждого из типов трехмерных графиков на панели инструментов Graph Графики. В результате появится пустая область графика стремя осями (рис. 3) 12 и единым заполнителем в нижнем левом углу. В этот заполнитель ввести или имя z функции z(x,y) двух переменных для быстрого построения трехмерного графика, или имя матричной переменной z, которая задает функцию z(x,y) на плоскости XY. 3.2.1 Способ построения с использованием быстрого методу построения трехмерного графика Последовательность создания трехмерного графика с использованием быстрого метода построения трехмерного графика (і) следующая. 1. Сначала необходимо ввести графическую область трехмерного графика. Аналогично зависимости X-Y, сделать это можно тремя стандартными способами нажатием кнопки Surface Plot (Поверхность) панели Graph Графические, использованием одноименной команды меню І (Вставка) или нажатием комбинации клавиш Ctrl+2. Для построения трехмерных графиков существует только один маркер заполнения. В общем случаев нем должен быть прописан массив, который содержит координаты узловых точек по всем трем осям. 2. После того как графическая область введена, следует задать вид функции, которая определяет трехмерную область. В отличие от X-Y- зависимостей, просто ввести ее выражения в маркер нельзя - при этом будет выдано сообщение об ошибке і і і і (Данная переменная неопределенна. В маркер графической области вводится имя заданной функции, для которой строится трехмерный график. Однако, в отличие от двумерного случая, прописанным должен быть лишь непосредственно текст имени, без переменных в скобках. При использовании данной методики поверхность задается на стандартном интервале от -5 до 5 для переменных. Такой диапазон во многих случаях может быть неприемлемый. Для форматирования параметров графиков быстрого построения существует специальная вкладка і Plot Data Данные графика быстрого построения) окна форматирования трехмерных графиков 3D-Plot Format. Открывается это окно двойным нажатием левой кнопки мыши на графической области или с помощью команды Format Формат) ее контекстного меню (рис. 5). Все параметры настройки графика быстрого построения расположены на вкладке Plot 1 (График 1). В общем случае таких вкладок может быть больше, это связано стем, что на одной графической области может быть размещено несколько поверхностей. Чтобы это выполнить, просто вводятся через запятую имена функций, графики которых должны быть построены. Вкладка Plot 1 График 1) содержит три меню настраивания, два из которых Range 1 и Range 2 Ряди Ряд 2), идентичны друг другу. Эти меню отвечают за характеристики сетки построения поверхности вдоль каждой из осей переменных (соответствие переменной ряда определяется последовательностью введения ее при задаче имени функции) и содержат следующие параметры настраивания – Start (Начало. В поле данного параметра можно произвольным образом задать начальную точку построения прямоугольника поданной оси. 13 – End (Конец. В поле данного параметра определяется конечная точка интервала. – # of і (Количество линий сетки. Параметр определяет, на какое количество отрезков будет разбит интервал построения для выбранной переменной (что отвечает числу отображенных линий сетки. Эта величина обратная шагу изменения переменной. Аналогично двумерному случаю, интервал по каждой из осей переменных разбивается на заданное количество отрезков. Границы этих отрезков дают координаты узловых точек. При этом, если количество отрезков поравняется, а по Y - М, то для каждого значения X будет существовать М точек с разными координатами пои, наоборот, каждому Y будет отвечать N значений X. Визуально это можно представить в виде сетки, которая определяется шагом по каждой из переменных, а в узлах находятся точки, относительно которых определяется функция. Когда сетка разбивки задана, исчисляются значение функции в ее узлах. Если остановиться на этом этапе и визуализировать только точки, то будет построен так называемый точечный график (Data і. Каждая точка соединяется с соседней при помощи отрезков прямых, при этом применяются сглаживание и другие графические эффекты, в результате чего, в зависимости от величины шагов сетки, выходит более или менее гладкая поверхность. Рисунок 4 – Окно для форматирования трехмерных графиков Третье меню вкладки Plot 1 (График 1) - і System (Система координат) определяет, в какой системе координат следует отобразить данную зависимость. Возможные следующие варианты – і (Декартова. График отображается в декартовой системе координат. – і (Сферическую. График отображается в сферической системе координат. – Cylіndrіcal (Цилиндрическая. График отображается в цилиндрической системе координат. В диалоге 3-D Plot Format (Форматирование 3-D графика) доступно большое количество параметров, изменение которых способно повлиять на 14 внешний вид графика. Они сгруппированы по принципу действия на нескольких вкладках. Остановимся кратко на возможностях оформления трехмерных графиков. Изменение типа графика Чтобы изменить тип уже имеющегося графика например построить вместо поверхности график линий уровня и т.д.), надо установить соответствующий переключатель в нижней части вкладки General Общие) и нажать кнопку ОК. График будет преобразован (рис. Обращение графика Простейший способ ориентации системы координат с графиком в трехмерном пространстве - это перетаскивание ее указателем мыши. Можно перемещать при нажатой левой кнопке мыши указатель в границах графика, и будет видно, как вращается график. Изменение ориентации графика С помощью полей і (Вращение, і (Наклони і (Поворот) на вкладке General (Общие) определяют соответствующие углы вращения, наклона и поворота (в градусах) и тем самым задают направление всех трех осей координат в пространстве. Стиль осей можно изменить с помощью группы переключателей Axes Style (Стиль осей) и задать один из следующих стилей осей координат – і (Периметр, – Corner (Угол, – None (Нет) - осы отсутствуют. Если установить флажок Show Box (Показать куб, то координатное пространство будет изображено в виде куба. Масштабирование графика - можно задать числовое значение масштаба в поле Zoom (Масштаб) вкладки General (Общие. Рисунок 5 – Вкладка General (Display as) для изменения типа графика Форматирование осей выполняется с использованием вкладки Axes Оси) (рис. Вкладка Axes (Оси) содержит три вложенных вкладки, в которых задаются параметры для каждой из трех координатных осей. В частности, можно включить или отключить отображение линий сетки, нумерацию и задать диапазон по каждой из осей. 15 Рисунок 6 – Вкладка Оси) форматирования осей С помощью еще одной вкладки — Плоскости заднего плана) рис. 7) задается отображение проекций координатной сетки натри спрятанные плоскости трехмерного графика. Рисунок 7 – Вкладка Оси) форматирования осей С помощью вкладки Appearance (Оформление) (рис. 8) можно изменить стиль задания заливки линий для контурного и поверхностного графиков. При выборе переключателя і Surface (Заливка поверхности) из группы і і Опции заливки) можно получить доступ к опциям цвета (в группе Color і. Если выбрать переключатель і Color (Один цвет, то получится однотонная заливка поверхности. Если установить переключатель Colormap Цветовая схема, то поверхность или контурный график будут залиты разными цветами и оттенками, причем выбрать цветовую схему можно на вкладке Advanced (Дополнительно) (рис. 9). 16 Рисунок 8 – Вкладка Appearance (Оформление) стиля задания заливки Рисунок 9 – Вкладка Advanced (Дополнительно) для задания цвета в спецэффектов Заголовок графика можно изменить с помощью вкладки Title (Заголовок) рис. 10). Рисунок 10 – Вкладка TITLE для изменения заголовка графика 3.2.2 Способ построения трехмерного графика с помощью матрицы значений Существует еще один способ построения трехмерного графика с помощью матрицы значений, которая представляет собой таблицу из трех 17 колонок впервой будут расположены координаты точек по оси X, во второй - по оси Y, в третьей - по оси Z. В с существует специальная функция маtrіх(m,n,f) (матрица. Функция формирует матрицу, элементы которой равны значениям функции f(x,y), исходя из того условия, что x=i, y=j (те. переменные определяются равными соответствующим матричным индексам данного элемента. Количество строк создаваемой матрицы определяется в первом маркере имени функции (параметр m), количество колонок - во втором параметр n). Аналогично двумерному случаю, задать поверхность можно, используя оператор ранжированной переменной по готовым матрицам. 3.2.3 Способ построения с помощью специальной матричной функции CreateMesh Можно создать график также с помощью специальной матричной функции CreateMesh (Создать сетку. Функция CreateMesh(F,s,sl,t,tl,sgrіd,tgrіd,fmap) вводится в маркер графической области и имеет пустые маркеры, в которые последовательно вводятся – имя матрицы значений или функции F; – начальное значение первой переменной s; – начальное значение второй переменной sl; – конечное значение первой переменной t; – конечное значение второй переменной tl; – число линий сетки по первый переменной і – количество линий сетки по второй переменной і – карта отображения frnap. Кроме поверхностей в пространстве можно задавать и разного рода линии. Для этого существует специальная функция і) Создать пространство. Она имеет пять маркеров, в которые последовательно вводятся имя массива данных или системы параметрических уравнений, начальное и конечное значения параметра, количество разбивок промежутка параметра, карта отображения. Параметрическое закручивание разрешает создавать графики, которые заданы в параметрической форме. Последовательность действий при использовании алгоритма параметрического закручивания следующая. 1. Задать уравнение любой функции f(x). 2. Задать систему параметрического закручивания и соединить ее в один массив A(u,v) :=u, B(u,v):=f(u)cos(v), C(u,v):=f(u)sin(v), 18 М. Внести в маркер следующую запись CreateMesh(M, s,sl,t,tl,sgrid,tgrid). 4 Символьные вычисления При аналитических вычислениях результат получают в нечисловой форме в результате тождественных преобразований, среди которых более простыми есть раскрытия скобок. С помощью символьного процессора MathCad можно решать инженерные задачи в аналитическом виде и проводить широкий спектр аналитических преобразований, таких как, упрощение выражений и алгебраические преобразования, алгебраические и матричные операции, основные действия математического анализа, и т.д. Расписание алгебраического выражения - это математическое преобразование, которое переводит степени и произведения в более простые соотношения. При расписании тригонометрических выражений функции кратного аргумента превращаются в функции одинарного аргумента, и т.д.. MathCad разрешает упрощать логарифмические выражения, раскладывать на множители, приводить выражения к общему знаменателю, выносить множитель за скобки, раскладывать на элементарные дроби, выполнять подстановки и замены переменных. Символьные вычисления можно выполнять в таких вариантах – с помощью команд меню – с помощью оператора символьного вывода, ключевых слов символьного процессора и обычных формул. Для символьных вычислений с помощью команды предназначены главное меню і (Символика, которое объединяет математические операции. Для реализации второго подхода применяются все средства MathCad например, Calculator, і, и т.п.). С помощью меню і (Символика) можно выполнять такие операции і (Символика/Вычисление ) символьное вычисление, в том числе с плавающей точкой (риса Symbolіc/Sіmplіfy (Символика/Упрощение выражений) упрощение выражений і (Символика/Разложение выражений) разложение выражений на элементарные Symbolіc/Factor(Символика/Разложение на множители) разложение на множители Symbolіc/Collect(Символика/Подобные) приведение подобных 19 Symbolіc/Polynomіal Coeffіcіents (Символика/Полиномиальные коэффициенты) вывод коэффициентов полиномов Symbolіc/Varіable(Символика/Переменная/...) решение уравнения подстановка переменных дифференцирование интегрирование разложение в ряды разложение на элементарные дроби (рис.11,б)); Symbolіc/Matrіx(Символика/Матрицы) действия с матрицами (рис.11,в); Symbolі/Transform(Символика/Интегральные преобразования) преобразование Фурье, Лапласа) (рис.11,г). Последовательность выполнения вычислений можно задать с использованием Стиля Вычислений (рис, да) б) в) г) д) Рисунок 11 – Команды меню Symbolic 5 Действия с матрицами С помощью встроенных функций MathCad матрицы можно объединять, выделять в них подмассивы, определять размеры массивов, максимальные, минимальные значения, нахождение собственных чисел и векторов. Для матриц определенны следующие операции добавление, произведение, обращение, транспонирование, и т.п.. Создать матрицу можно следующим образом записать оператор присваивания, для введения правой части использовать команду Іnsert/Matrіx или на панели инструментов і. В окне, которое раскроется, задать число строки столбцов матрицы. Вектор является матрицей 20 с одним столбцом. Ввести значение элементов матрицы в соответствующие места. Дальше можно выполнять все необходимые операции с матрицами Для работы с элементами матрицы используются индексы элементов. Нумерация строки столбцов матрицы начинается из нуля. Индекс элемента определяется на панели инструментов і кнопкой і (рис.1,в), например Mn,k. Два индекса, которые определяют элемент матрицы, отделяются запятой. Номер столбца матрицы отображается как верхний индекс, который заключен в угловые скобки, для чего используется кнопка Column на панели инструментов і, например, М . Для проведения операций с матрицами используется меню і и команда і (рис. 12). Рисунок 12 – Меню Symbolic для работы с матрицами в символьном виде. 6 Нахождение корней уравнения, решение уравнений и систем уравнений Для числового поиска корней уравнения в MathCad используется встроенная функция root. Она позволяет решать уравнение вида f(x)=0, где уравнение, корни которого необходимо найти, х - неизвестная. Использование функции root требует задания начального приближения. Функция polyroot возвращает вектор, который имеет все корни уравнения, коэффициенты которого задаются вектором v. Коэффициенты у вектора v располагаются в порядке возрастания степеней в уравнении. Существует возможность символьного решения уравнения. Для этого необходимо обратиться к меню Symbolіc/Varіable/Solve. Корни уравнения выводят в виде вектора. Можно также находить решение уравнения графически. Графическое решение заключается в определении по графику функции, которая отвечает левой части уравнения, при какой величине аргумента данная функция принимает значение, равное правой части уравнения. Все методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно разделить на две основных группы прямые (метод Крамера, метод Гауса, и т.п.) и итеративные методы. При использовании прямых методов расчеты можно вести как численно, таки символьно. Итеративные методы применяются в численных решениях. 21 Для решения систем линейных и нелинейных уравнений используется "блок решений, который начинается из ключевого слова і и заканчивается вызовом функции і. Между ними находятся уравнение. Всем неизвестным в уравнении должны быть присвоены начальные значения. В уравнении, для которого необходимо найти решение, нужно использовать знак логического равенства = на панели инструментов і. Как аргументы в функции должны быть неизвестные, которые необходимо найти. Решение системы линейных уравнений с помощью встроенной функции А возвращает вектор решений b. Матрица А - квадратная невырожденная, вектор b - вектор правых частей в системе уравнений. С помощью символьного процессора MathCad можно получать аналитические решения системы уравнений, используя оператор solve. В этом случае система должна быть занесена в виде вектора в левый маркер оператора. Переменные, значения которых отыскиваются, следует вводить через запятую в правый маркер оператора solve. Ответ будет возвращен в виде матрицы, в строках которой будут записаны найденные значения неизвестных системы уравнений. Аналитические решения можно также получить с помощью "блока решений, который начинается из ключевого слова і Приближенные решения системы уравнений можно получить с использованием встроенной функции і x1,...). Эта функция подобная по своей работе к функции і, однако она имеет другие условия для завершения итеративного процесса поиска решений. Функция і позволяет находить решение в том случае, когда их не находит функция і. 7 Вычисление производных и интегралов Аналогично большинству других наиболее важных математических операций, в MathCad существует численное и символьное дифференцирование. Символьный метод имеет преимущества в том плане, что результат можно получить в виде функции, которую можно будет использовать в дальнейших расчетах. Численный же подход имеет преимущества в некоторых специфических задачах. MathCad позволяет вычислять как обычную производную, таки производные более высоких порядков, а также частные производные (рис. 13). Оператор простого дифференцирования на панели Calculus для вычисления первой производной имеет два маркера, принцип заполнения которых следующий в верхний вводится функция, в нижний - переменная, по которой вычисляется производная. |