рк 3. Российский государственный социальный университет итоговое практическое задание по дисциплине механика
 Скачать 77.12 Kb.
|
ИТОГОВОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ по дисциплине «механика» Задачи статики гибкой нити в инженерном деле. (тема практического задания)
Москва 2019 В технике встречается еще один вид растянутых элементов, при определении прочности которых важное значение имеет собственный вес. Это — так называемые гибкие нити. Таким термином обозначаются гибкие элементы в линиях электропередач, в канатных дорогах, в висячих мостах и других сооружениях. Пусть (Рис.1) имеется гибкая нить постоянного сечения, нагруженная собственным весом и подвешенная в двух точках, находящихся на разных уровнях. Под действием собственного веса нить провисает по некоторой кривой АОВ. Горизонтальная проекция расстояния между опорами (точками ее закрепления), обозначаемая  , носит название пролета.Нить имеет постоянное сечение, следовательно, вес ее распределен равномерно по ее длине. Обычно провисание нити невелико по сравнению с ее пролетом, и длина кривой АОВ мало отличается (не более чем на 10%) от длины хорды АВ. В этом случае с достаточной степенью точности можно считать, что вес нити равно- мерно распределен не по ее длине, а по длине ее проекции на горизонтальную ось, т. е. вдоль пролета l.  Рис.1. Расчетная схема гибкой нити. Эту категорию гибких нитей мы и рассмотрим. Примем, что интенсивность нагрузки, равномерно распределенной по пролету нити, равна q. Эта нагрузка, имеющая размерность сила/длина, может быть не только собственным весом нити, приходящимся на единицу длины пролета, но и весом льда или любой другой нагрузкой, также равномерно распределенной. Сделанное допущение о законе распределения нагрузки значительно облегчает расчет, но делает его вместе с тем приближенным; если при точном решении (нагрузка распределена вдоль кривой) кривой провисания будет цепная линия, то в приближенном решении кривая провисания оказывается квадратной параболой. Начало координат выберем в самой низшей точке провисания нити О, положение которой, нам пока неизвестное, очевидно, зависит от величины нагрузки q, от соотношения между длиной нити по кривой и длиной пролета, а также от относительного положения опорных точек. В точке О касательная к кривой провисания нити, очевидно, горизонтальна. По этой касательной направим вправо ось  .Вырежем двумя сечениями — в начале координат и на расстоянии от начала координат (сечение m — n) — часть длины нити. Так как нить предположена гибкой, т. е. способной сопротивляться лишь растяжению, то действие отброшенной части на оставшуюся возможно только в виде силы, направленной по касательной к кривой провисания нити в месте разреза; иное направление этой силы невозможно.На рис.2 представлена вырезанная часть нити с действующими на нее силами. Равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q направлена вертикально вниз. Воздействие левой отброшенной части (горизонтальная сила Н) направлено, ввиду того, что нить работает на растяжение, влево. Действие правой отброшенной части, сила Т, направлено вправо по касательной к кривой провисания нити в этой точке. Cоставим уравнение равновесия вырезанного участка нити. Возьмем сумму моментов всех сил относительно точки приложения силы Т и приравняем ее нулю. При этом учтем, опираясь на приведенное в начале допущение, что равнодействующая распределенной нагрузки интенсивностью q будет  , и что она приложена посредине отрезка . Тогда Рис.2. Фрагмент вырезанной части гибкой нити  ,откуда
Отсюда следует, что кривая провисания нити является параболой. Когда обе точки подвеса нити находятся на одном уровне, то  Величина  в данном случае будет так называемой стрелой провисания. Ее легко определить. Так как в этом случае, ввиду симметрии, низшая точка нити находится посредине пролита, то  ; подставляя в уравнение (1) значения  и  получаем:
Из этой формулы находим величину силы Н:
Величина Н называется горизонтальным натяжением нити. Таким образом, если известны нагрузка q и натяжение H, то по формуле (2) найдем стрелу провисания . При заданных  и натяжение Н определяется формулой (3). Связь этих величин с длиной  нити по кривой провисания устанавливается при помощи известной из математики приближенной формулы) Составим еще одно условие равновесия вырезанной части нити, а именно, приравняем нулю сумму проекций всех сил на ось : Из этого уравнения найдем силу Т — натяжение в произвольной точке  Откуда следует, что сила Т увеличивается от низшей точки нити к опорам и будет наибольшей в точках подвеса — там, где касательная к кривой провисания нити составляет наибольший угол с горизонталью. При малом провисании нити этот угол не достигает больших значений, поэтому с достаточной для практики степенью точности можно считать, что усилие в нити постоянно и равно ее натяжению Н. На эту величину обычно и ведется расчет прочности нити. Если все же требуется вести расчет на наибольшую силу у точек подвеса, то для симметричной нити ее величину определим следующим путем. Вертикальные составляющие реакций опор равны между собой и равны половине суммарной нагрузки на нить, т. е.  . Горизонтальные составляющие равны силе Н, определяемой по формуле (3). Полные реакции опор получатся как геометрические суммы этих составляющих: Условие прочности для гибкой нити, если через F обозначена площадь сечения, имеет вид:  Заменив натяжение Н его значением по формуле (3), получим:  Из этой формулы при заданных , ,  и  можно определить необходимую стрелу провисания . Решение при этом упростится, если в включен лишь собственный вес; тогда  , где  — вес единицы объема материала нити, и т. е. величина F не войдет в расчет. Если точки подвеса нити находятся на разных уровнях, то, подставляя в уравнение (1) значения  и  , находим  и  :  Отсюда из второго выражения определяем натяжение  а деля первое на второе, находим:  или  Имея в виду, что  , получаем: или  Подставив это значение  в формулу определенного натяжения Н, окончательно определяем:
Два знака в знаменателе указывают на то, что могут быть две основные формы провисания нити. Первая форма при меньшем значении Н (знак плюс перед вторым корнем) дает нам вершину параболы между опорами нити. При большем натяжении Н (знак минус перед вторым корнем) вершина параболы расположится левее опоры А (Рис.1). Получаем вторую форму кривой. Возможна и третья (промежуточная между двумя основными) форма провисания, соответствующая условию  ; тогда начало координат  совмещается с точкой А. Та или иная форма будет получена в зависимости от соотношений между длиной нити по кривой провисания АОВ (Рис.1) и длиной хорды АВ.Если при подвеске нити на разных уровнях неизвестны стрелы провисания и , но известно натяжение Н, то легко получить значения расстояний а и b и стрел провисания, и . Разность h уровней подвески равна: Подставим в это выражение значения и , и преобразуем его, имея в виду, что  : откуда  а так как то и  Следует иметь в виду, что при  будет иметь место первая форма провисания нити, при  — вторая форма провисания и при  — третья форма. Подставляя значения  и в выражения для стрел провисания и  , получаем величины и :  Теперь выясним, что произойдет с симметричной нитью, перекрывающей пролет , если после подвешивания ее при температуре  и интенсивности нагрузки  температура нити повысится до  а нагрузка увеличится до интенсивности  (например, из-за ее обледенения). При этом предположим, что в первом состоянии задано или натяжение  , или стрела провисания (Зная одну из этих двух величин, всегда можно определить другую.)При подсчете деформации нити, являющейся по сравнению с длиной нити малой величиной, сделаем два допущения: длина нити 'равна ее пролету, а натяжение постоянно и равно Н. При пологих нитях эти допущения дают небольшую погрешность. В таком случае удлинение нити, вызванное увеличением температуры, будет равно  где  — коэффициент линейного температурного расширения материала нити.При повышении температуры нить удлиняется. В связи с этим увеличится ее стрела провисания и, как следствие, уменьшится ее натяжение. С другой стороны, из-за увеличения нагрузки, как видно из формулы (3), натяжение увеличится. Допустим, что окончательно натяжение увеличивается. Тогда удлинение нити, вызванное увеличением натяжения, будет, согласно закону Гука, равно:  Если  окажется меньше, чем то величина  будет отрицательной. При понижении температуры будет отрицательной величина  .Таким образом, длина нити во втором ее состоянии будет равна длине при первом ее состоянии с добавлением тех деформаций, которые произойдут от повышения температуры и натяжения:  Изменение длины нити вызовет изменение и ее стрелы провисания. Вместо , она станет .Теперь заменим в последнем уравнении  и  их известными выражениями, а деформации и  — также их полученными ранее значениями. Тогда уравнение для S2примет следующий вид: В этом уравнении заменим и их значениями по формуле (2): и  Тогда, после некоторых преобразований, уравнение для расчета натяжения может быть написано в виде:  Определив из этого уравнения натяжение , можно найти по формуле (2) и стрелу .В случае, если при переходе от первого ко второму состоянию нагрузка не изменяется, а изменяется лишь температура, то в последнем уравнении интенсивность заменяется на  . В случае, если при переходе от первого ко второму состоянию не изменяется температура, а изменяется лишь нагрузка, то в этом уравнении средний член в квадратной скобке равен нулю. Полученное уравнение пригодно, конечно, и при понижении температуры и уменьшении нагрузки.В тех случаях, когда стрела провисания не является малой по сравнению с пролетом, выведенные выше формулы, строго говоря, неприменимы, так как действительная кривая провисания нити, цепная линия, будет уже значительно отличаться от параболы, полученной нами благодаря предположению о равномерном распределении нагрузки по пролету нити, а не по ее длине, как то имеет место в действительности. Точные подсчеты показывают, что значение погрешности в величине натяжения Н, вызванной этим предположением, таково: при отношении  погрешность не превосходит 0,3%, при  ошибка составляет уже 1,3%, а при  погрешность несколько, превосходит 5%. |
